有一些理论凝聚态系统的领域，在任何能力下都不使用微分几何。然而，在其他一些领域，它可以广泛应用。

在一个特别大的领域，它也被认为是一个热点领域，因为它吸引了大量的理论关注，有几个令人兴奋和重要的应用，微分几何构成了那里发现的一切的基础。请允许我详细说明。

这一切都始于量子霍尔效应。如果你有一个二维系统加上一个磁场，就有一个物理量，叫做霍尔电导率，它在宏观上是量子化的。这个霍尔电导率本质上告诉我们有多少电子形成了垂直于外部电场的电流。霍尔电阻率，ρxy，是这个的反量，用来测量当你施加一个垂直于它的电场时得到电流的难易程度。虽然我不打算详细说明，但实验结果给了我们如下图：

我们看到霍尔电阻率以整数步长表示，步长与整数n成正比。如果你停下来思考一下，你会意识到这是一件非同寻常的事情，因为这是我们很少看到的量子效应之一，量子效应通常导致微观量被量化，实际上给了我们一个被量化的宏观量！

现在我们来看看与微分几何有关的部分。在微分几何中，有一个量用来测量弯曲空间的曲率。在拓扑材料中，相关空间称为第一布里渊区(FBZ)。你可以把它想象成真实空间的一个类比。你可以把真实空间想象成三个空间坐标x,y,z的集合，每一个都对应一个长度。你也可以形成一个更抽象的空间由三个坐标组成它们对应于粒子的动量，有三个分量kx,ky,kz。我们称这个空间为动量空间。现在假设我们有一个晶格，像这样：

这就是石墨烯的晶格，一种现在非常著名和非凡的材料。显然，这样的格具有一定的周期性。如果这个周期性存在，那么它也存在于动量空间中。为了捕捉这些系统背后的基本物理原理，我们可以只局限于动量空间中不重复的部分。这就形成了前面提到的第一布里渊区。因为我们在这个受限空间而不是全动量空间，这个空间的每一点都不是动量，而是一种叫做晶体动量的东西它抓住了周期性背后的基本物理原理。我们用kx,ky,kz表示FBZ的坐标。由于它是一个周期空间，FBZ的对边被识别出来;你可以把它想成是把相反的边粘在一起。它看起来像一个环面：

现在我们回到这个空间的曲率。在文学中，这被称为贝里曲率。结果表明，与霍尔电阻率(如第一幅图所示)相关的整数n与FBZ上Berry曲率的积分成正比：

在元素的区域空间和FBZ积分。因为这是在FBZ上的积分，它实际上是在环面上的积分。贝瑞曲率几何量，而编码(顾名思义)底层空间弯曲和扭转的方式。它对整个FBZ的积分是一个有趣的量，因为它不关心形状的细节，而只关心空间的整体或“宏观”性质，比如它的洞的数量。它被称为拓扑不变量。

现在，有些材料甚至在没有磁场的情况下也能表现出量子霍尔效应(其与霍尔电导率相关的整数来自于Berry曲率的积分)。由于Berry曲率的积分是拓扑不变量，这些材料被称为拓扑绝缘体。它们也可以是三维的，FBZ的形状是三维的环面。拓扑绝缘体的一个例子是石墨烯，正是这种拓扑不变量赋予了它许多杰出的特性，如对杂质的电导率的稳定性。

这是凝聚态物理的一个巨大领域，已经蓬勃发展了15年，吸引了许多其他物理领域的理论物理学家的注意，其中一个着名的例子是粒子物理学。

霍尔电导率的量子化源于拓扑不变量，这一事实解释了为什么量子效应如此稳健，为什么量子化可以在宏观上看到。这一领域的基础深深植根于微分几何，每一篇复习论文和教科书都提到了几何量，如贝里曲率！