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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求积公式，则（ ）A B C D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A B C D 单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则。

2、 ， .2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得 分评卷人 三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案 1. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1） 写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案 1.解 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式。

3、用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案 3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ， 方程的根 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案 4 解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 得 分评卷人 四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得 得，。所求公式至少有两次代数精确度。又由于 。

4、故具有三次代数精确度。一、 填空（共20分，每题2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ， 则二阶差商 3. 设, 则 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 。 7、设 ，则 和 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 填空题答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、 8、 收敛。

5、 9、10、二、计算题 （共75 分，每题15分）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式计算题1.答案 1、（1） （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？计算题2.答案 2、由 ，可得 ， 3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：（提示： 利用Simpson求积公式。）计。

6、算题4.答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 5利用矩阵的LU分解法解方程 组 计算题5.答案 5、解：三、证明题 （5分）1设 ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有 位有效数字。(2). 对, 差商( )。(3). 设, 则 。(4).牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，。

7、0.2955），（0.40，0.3894）。计算题1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。计算题2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案 3）迭代公式 4).（15分）求系数。计算题4.答案 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）。

8、先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ).3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式收敛的充要条件是 。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。填空题答案132.3.4. 5.迭代矩阵， 得 分评卷人 二、判断题（共10分）1. 若，则在内一定有根。 ( )2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的。

(4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=( )，=( ), 插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得( ).计算题1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性。

10、)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案 4. （15分）设初值问题 .(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4.答案 4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。计算题5.答案 5 =1+2( ， 一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、设是n次。

11、拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。5、则。填空题答案1.相对误差 绝对误差 2. 13. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0二、计算题1、已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。计算题1.答案 解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。计算题2.答案 解：3、（15分）确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.。

12、答案 解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。4、（15分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。计算题4.答案 解：设则可得 于是，即。5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。计算题5.答案 解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解线性方程组计算题6.答案 解：即多年的财务工作实践给了我巨大的舞台来提高自已观察问题、分析问题、处理问题的能力，使我的业务水平和工作能力得到了长足的进步，但我也清醒地认识到，自己的工作中还存在许多不足之处，今后，我将更加注意学习，努力克服工作中遇到的困难，进一步提高职业道德修养，提高业务学识和组织管理水平，为全县交通事业的发展作出新的贡献。【精品文档】第 20 页。

【学习网址：MOOC---郑州轻工业大学---数学建模与实验】数学建模专栏

• 笔记01【第1、2章】【概述、软件介绍】
• 笔记02【第3章】【数据处理方法】
• 笔记03【第4章】【规划模型】
• 笔记04【第5章】【图与网络模型】

第2章 软件介绍作业1

1、指数函数-平面图形-作图（plot）

2、极坐标作图（polar）

3、参数函数作图（plot）

4、空间曲面图形作图（meshgrid）

5、题解and运行截图

第2章 软件介绍作业2

3.1、数据插值练习题

1、估计每隔1/10小时的温度值。

2、作出山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

3.2、数据拟合练习题

4、非线性最小二乘拟合获得待定系数

1．求下列线性规划问题的解.

2．使用 fmincon 求解下列非线性规划问题。

第5章 图与网络模型

作业1、给出8个城市间的最小生成树

作业2、试求从仓库可运往市场的最大流量

第2章 软件介绍作业1

用subplot分别在不同的坐标系下作出四条曲线：

• 平面图形（参数方程）：plot
• 空间三维曲线：plot3

步长越小，越密集，光滑程度越好！

1、指数函数-平面图形-作图（plot）

1）曲线的图形，要求曲线颜色为蓝色，曲线形式为虚线，标记符为“o”，图形的标题为“平面图形作图”;

2、极坐标作图（polar）

四叶玫瑰线  ；(polar函数)，要求图形的标题为“极坐标作图”；

3、参数函数作图（plot）

叶形线，要求图形颜色为红色，图形曲线为点画线”.-”，图形标题为：“参数函数作图”；

向量运算：加“.” 。

4、空间曲面图形作图（meshgrid）

5、题解and运行截图

保存图形【英文 命名】【文件 --> 另存为】

• .fig：保留文件所有信息。
• .png（文件小，不太清晰）
• .bmp（所占空间大）

第2章 软件介绍作业2

建立一个命令M-文件：求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。

3.1、数据插值练习题

1、估计每隔1/10小时的温度值。

在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。

2、作出山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为

试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

通过此题对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。

3.2、数据拟合练习题

分别用多项式拟合的方法,在不同阶次下 拟合 函数y=(x2-3x+5)e-5xsinx中给出的数据。

该数据的三次多项式拟合：

就不同的次数进行拟合：

拟合最高次数为8的多项式：

4、非线性最小二乘拟合获得待定系数

由下面语句生成一组数据，其中ai为待定系数。

1．求下列线性规划问题的解.

2．使用 fmincon 求解下列非线性规划问题。

作业1、给出8个城市间的最小生成树。

北京(Pe)、东京(T)、莫斯科(Mo)、纽约(N)、渥太华(O)、墨西哥城(Me)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如表5.1所列，给出8个城市间的最小生成树。

a=a+a'; % 以上：构造8个城市间的模型 % G必须是稀疏矩阵 直接调用算法，可以不转化为稀疏矩阵 Tree：最小生成树 Pred：前驱节点

建模过程中，如果能够将结果转为可视化的图(或 表...)，一定要转化为可视化的图(或 表...)。 

文字描述，看起来 比较费劲（尤其对于 非专业阅读者）。

view()函数：画图 biograph 【解法2：直接使用Kruskal算法，可以不将矩阵转为稀疏矩阵】

作业2、试求从仓库可运往市场的最大流量

某产品从仓库运往市场销售。已知各仓库的可供量、各市场需求量及从i仓库至j市场的路径的运输能力如表5.2所列（0表示无路可通），试求从仓库可运往市场的最大流量，各市场需求能否满足？

3个发点，4个收点 --> 构造虚拟点：1个发点、1个收点 ------ 集中发货点 发给 A、B、C（容量是可供应量），收点（需求量）

发点到收点的最大流（两点之间，经过中间网络的最大流）

% 解：应用最大流算法必须是单源单汇的网络，因此，构造一个虚拟发点Vs，
% A、B、C的可供应量分别为20、20、100，可令弧VsA、VsB、VsC上的容量分别为
% 20、20、100。构造一个虚拟收点Vt，由于市场1、2、3、4的需求量分别为20、20、
% 向图G=(V,E,W),其中顶点集V,弧集为E,W为对应各弧容量的邻接矩阵，计算时，
% 从仓库到市场的最大流问题归结为求Vs到Vt的最大流。用matlab求解如下：
% 求得从仓库运往1、2、3、4市场流量为20、20、50、20，最大流量为110，其中市场3不能满足需求。

分段线性插值；样条差值；高维差值。

1.1分段线性差值：是将两个相邻节点用直线连起来。在计算x点的差值时，只用到x左右的两个节点，相连接成线性函数。当节点增多时，分段越多，误差越小。不光滑。y=interp1(x0,y0,x)  %x0和y0是已知的节点数组，x是差值点数组，y是差值结果的数组。 1.2三次样条差值：每小区间是三次多项式；在定义域上二阶导数连续。光滑。

1.3 拉格朗日插值法多用于理论分析，在采用拉格朗日插值方法进行插值计算时通常选取n < 7。
分段线性插值函数（仅连续）与三次样条插值函数（二阶导数连续）虽然光滑性差，但他们都克服了拉格朗日插值函数的缺点，不仅收敛性、稳定性强，而且方法简单实用，计算量小。因而应用十分广泛。

应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z 为矩阵，它的行数为y 的维数，列数为x 的维数，表示得到的插值，

拟合函数y=f(x),使f(xi)与yi的误差平方和在最小二乘意义下最小。

评价拟合效果：残差平方和最小。

拟合不一定过已知点，而差值一定过。

Matlab 中没有现成的Hermite 插值函数，必须编写一个M 文件实现插值。
设n个节点的数据以数组x0（已知点的横坐标）， y0（函数值）， y1（导数值）
输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。编写一个名为hermite.m 的M 文件：

红色是线性差值，蓝色是样条差值

如果只观测x>3时的情况：

可见，Lagrange插值无法使用，而三次样条差值结果最好。

在一丘陵地带测量高程，x 和y 方向每隔100米测一个点，得高程如2表，试插值一曲面，确定合适的模型，并由此找出最高点和该点的高程。

其中X、Y、Z 均为n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、
YI 是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值ZI 为网格（XI，YI）处的函数值。XI
与YI 应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。）

在某海域测得一些点（x,y）处的水深z 由下表给出，在矩形区域（75,200）
×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。