三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D

如果先做二重积分??z

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2

当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)

（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

第1讲 向量及其线性运算随堂测验

2、在如图的正方体中，向量共面.

第2讲 利用坐标作向量的线性运算随堂测验

第3讲 数量积 向量积 混合积随堂测验

1、在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：

2、设的三边 三边中点依次为试用向量表示 并证明

3、求平行于向量的单位向量.

4、试证明以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形.

5、设已知两点和 计算向量的模、方向余弦和方向角.

6、一向量的终点在点 它在轴、轴和轴上的投影依次为4, -4和7, 求这向量的起点的坐标.

(3) 与的夹角的余弦.

8、设为单位向量，且满足 求

2. 向量的运算 平面与直线方程

1、求向量在向量上的投影.

2、设 问与有怎样的关系，能使得与轴垂直？

5、试用向量证明不等式： 其中为任意实数，并指出等号成立的条件.

7、一平面过点且平行于向量和 试求这平面方程.

8、分别按下列条件求平面方程： (1) 平行于面且经过点 (2) 通过轴和点 (3) 平行于轴且经过两点和

9、求过点而与两直线 和 平行的平面的方程.

10、求直线在平面上的投影直线的方程.

第4讲 平面与直线及其方程随堂测验

第5讲 点直线平面间的关系随堂测验

第6讲 曲面及其方程随堂测验

3. 点直线平面间的关系 曲面及其方程

1、求点到平面的距离.

2、求直线与平面的夹角.

3、求点到直线 的距离.

4、设一平面垂直于平面 并通过从点到直线 的垂线，求此平面的方程.

5、求过点, 且平行于平面 又与直线 相交的直线的方程.

6、已知点 及点 试在轴上求一点 使的面积最小.

7、方程表示什么曲面？

8、将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

9、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形： (1) (2)

第7讲 二次曲面与空间曲线随堂测验

第8讲 平面点集与多元函数的基本概念随堂测验

第9讲 多元函数的连续性及偏导数的概念随堂测验

4. 二次曲面与空间曲线 多元函数的概念

1、说明旋转曲面是怎样形成的.

2、画出方程 所表示的曲面.

3、画出下列各曲面所围立体在第一卦限内的图形： (1) (2)

4、求上半球 与圆柱体的公共部分在面和面上的投影.

5、求旋转抛物面 在三坐标面上的投影.

7、求函数 的定义域. (要求：求出定义域后需图示)

8、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1) (2)

5. 多元函数连续性 偏导数 高阶篇导数

2、函数 在何处是间断的？

3、求函数 的偏导数.

5、曲线 在点处的切线对于轴的倾角是多少？

第10讲 高阶导数随堂测验

第11讲 全微分随堂测验

第12讲 多元复合函数求导随堂测验

6. 全微分 多元复合函数求导

1、画出下列各曲面所围立体的图形： (1) 抛物柱面 平面 及 (2) 抛物柱面 平面 及 (3) 圆锥面 及旋转抛物面

4、求下列函数的全微分： (1) (2)

5、求函数 当 时的全增量和全微分.

6、考虑二元函数的下面四条性质： (1) 在点连续； (2) 在点连续； (3) 在点可微分； (4) 存在. 若用表示可由性质推出性质, 则下列四个选项中正确的是（ ）. (A) (B) (C) (D) (要求：说明理由)

9、求函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数).

10、设 其中具有二阶导数，求

第13讲全微分形式不变性随堂测验

第14讲隐函数的求导随堂测验

第15讲多元函数微分学在几何中的应用随堂测验

7. 全微分形式不变性 隐函数求导

1、设 其中为可导函数，验证

2、设函数， 其中具有二阶连续偏导数，求

3、设的所有二阶偏导数连续，而 证明

5、设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足

7、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： (1) 设 求 (2) 设 其中具有一阶连续偏导数，求

8、设, 而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数. 试证明 其中

8. 几何应用 方向导数与梯度

1、设 是空间中的质点在时刻的位置，求质点在时刻的速度向量和加速度向量以及在任意时刻的速率.

2、求曲线 在与相应的点处的切线及法平面方程.

3、求曲线 在点处的切线及法平面方程.

4、求曲面 在点处的切平面及法线方程.

5、求椭球面 上平行于平面的切平面方程.

6、求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦.

7、求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.

8、求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数.

9、求函数在点处沿方向角为 的方向的方向导数.

10、求函数在曲线上点处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数.

11、求函数 在球面 上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数.

12、求函数 在点处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数.

第16讲方向导数与梯度随堂测验

第17讲多元函数的极值随堂测验

9. 多元函数的极值及其求法

2、求函数在适合附加条件 下的极大值.

3、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.

4、抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.

5、设有一圆板占有平面区域 该圆板被加热，以致在点的温度是 求该圆板的最热点和最冷点.

8、求函数 当 时的全增量和全微分.

9、设 具有连续偏导数，而 求

10、设 其中具有连续的二阶偏导数，求

第18讲二重积分的定义与性质随堂测验

第19讲利用直角坐标计算二重积分随堂测验

4、设在上连续，如果那么

第20讲利用极坐标计算二重积分随堂测验

10. 二重积分的定义与性质 利用直角坐标计算二重积分

1、设有一平面薄板（不计其厚度）占有面上的闭区域，薄板上分布有面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷

2、设 其中又 其中 试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.

3、试确定积分区域， 使二重积分 达到最大值.

4、根据二重积分的性质，比较积分与的大小，其中是三角形闭区域，三顶点分别为

5、利用二重积分的性质估计积分 的值，其中

6、计算下列二重积分，要求画出积分区域： (1) 其中 (2) 其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域； (3) 其中是顶点分别为和的三角形闭区域.

7、画出积分区域，并计算二重积分 其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域.

8、如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积，即 积分区域 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积，即

9、化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是由直线及双曲线所围成的闭区域.（要求画出积分区域）

10、改写二次积分 的积分次序. （要求画出积分区域）

11、设平面薄片所占的闭区域由直线 和轴所围成，它的面密度 求该薄片的质量.

12、求由曲面 及 所围成的立体的体积.

11. 利用极坐标计算二重积分 三重积分的概念及计算

1、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

3、利用极坐标计算 其中是由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域.

4、选用适当的坐标计算下列各题： (1) 其中是由直线及曲线所围成的闭区域； (2) 其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； (3) 其中是由直线所围成的闭区域； (4) 其中是圆环形闭区域

5、设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段狐与直线所围成，它的面密度为 求这薄片的质量.

6、计算以 面上的圆周 围成的闭区域为底，而以曲面 为顶的曲顶柱体的体积.

7、设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度为 计算该物体的质量.

8、计算 其中是由曲面与平面和所围成的闭区域.

9、计算 其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.

10、计算 其中是由平面以及抛物柱面所围成的闭区域.

11、计算 其中是由锥面与平面所围成的闭区域.

12、利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积.

第21讲三重积分随堂测验

第22讲利用柱面坐标和球坐标计算三重积分随堂测验

第23讲重积分的应用随堂测验

5、设连续，且其中是由所围成的区域，则等于（

12. 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 重积分的应用

1、利用柱面坐标计算三重积分： 其中是由曲面及所围成的闭区域.

2、利用球面坐标计算三重积分： 其中是由球面所围成的闭区域.

3、选用适当的坐标计算下列三重积分： (1) 其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域； (2) 其中是由球面所围成的闭区域； (3) 其中是由曲面及平面所围成的闭区域； (4) 其中闭区域由不等式所确定.

4、求上、下分别为球面和抛物面所围立体的体积.

5、求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.

6、设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度 求该薄片的质心.

7、设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域 求转动惯量.

8、求半径为、高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度）.

第24讲第一类曲线积分随堂测验

第25讲第二类曲线积分随堂测验

第26讲格林公式随堂测验

1、计算下列二重积分： (1) 其中是顶点分别为和的梯形闭区域； (2) 其中； (3) 其中是圆周所围成的闭区域； (4) 其中

2、计算下列三重积分： (1) 其中是两个球：和的公共部分； (2) 其中是由球面所围成的闭区域； (3) 其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域.

3、设在面内有一分布着质量的曲线弧 在点处它的线密度为. 用对弧长的曲线积分分别表达： (1) 这曲线弧对轴、对轴的转动惯量、； (2) 这曲线弧的质心坐标.

4、计算下列对弧长的曲线积分： (1) 其中为圆周； (2) 其中为圆周 直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； (3) 其中为曲线上相应于从0变到2的这段弧； (4) 其中为折线

5、设螺旋形弹簧一圈的方程为 其中 它的线密度 求： (1) 它关于轴的转动惯量； (2) 它的质心.

6、计算下列对坐标的曲线积分： (1) 其中是抛物线上从点到点的一段弧； (2) 其中为圆周（按逆时针方向绕行）； (3) 其中为有向闭折线，这里的依次为点

7、一力场由沿横轴正方向的恒力所构成. 试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.

8、把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中为：沿上半圆周从点到点

14. 格林公式 积分与路径无关的等价条件

1、利用曲线积分，计算星形线所围成的图形的面积. (图形见上册P372)

2、计算曲线积分 其中为圆周的方向为逆时针方向.

3、确定正向闭曲线，使曲线积分达到最大值.

4、设边形的个顶点按逆时针方向依次为 试利用曲线积分证明此边形的面积为

5、证明曲线积分 在整个面内与路径无关，并计算积分值.

6、利用格林公式，计算下列曲线积分： (1) 其中是三顶点分别为和的三角形正向边界； (2) 其中为抛物线上由点到点的一段弧.

7、验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个 (要求：求函数时用三种方法)

8、设有一变力在坐标轴上的投影为 这变力确定了一个力场. 证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.

9、确定常数 使在右半平面上的向量 为某二元函数的梯度，并求

10、计算曲线积分： 其中为上半圆周 沿逆时针方向.

第27讲积分与路径无关的等价条件随堂测验

第28讲第一类曲面积分随堂测验

第29讲第二类曲面积分随堂测验

1、当是面内的一个闭区域，曲面积分与二重积分有什么关系？

2、计算 其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.

3、计算下列对面积的曲面积分： (1) 其中为平面在第一卦限中的部分; (2) 其中为锥面被柱面所截得的有限部分.

4、求抛物面壳的质量，此壳的面密度为

5、当为面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？

6、计算下列对坐标的曲面积分： (1) 其中是球面的下半部分的下侧； (2) 其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.

16. 两类曲面积分间的关系 高斯公式 斯托克斯公式

1、计算曲面积分 其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧.

2、把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分，其中是抛物面在面上方的部分的上侧.

3、试将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分，并计算其值，其中是球面外侧在的部分.

4、利用高斯公式计算曲面积分： (1) 其中为平面所围成的立体的表面的外侧； (2) 其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧； (3) 其中是平面所围成的立方体的外侧.

5、求向量穿过曲面流向指定侧的通量：为圆柱 的全表面，流向外侧.

6、利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1) 其中为圆周 若从轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向； (2) 其中是圆周 若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向.

第30讲高斯公式随堂测验

第31讲斯托克斯公式随堂测验

第32讲级数的定义及收敛级数的性质随堂测验

17. 级数的概念 正项级数

1、写出级数 的前五项.

2、根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： (1) (2) (3) (4)

4、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判断下列级数的收敛性： (1) (2) (3)

5、用比值审敛法判断下列级数的收敛性： (1) (2)

6、用根值审敛法判定下列级数的收敛性： (1) (2) 其中均为正数.

第33讲正项级数随堂测验

第34讲交错级数、条件收敛与绝对收敛随堂测验

第35讲函数项级数、幂级数、Abel定理随堂测验

18. 交错级数 幂级数

2、判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) (2) (3) (4) (5)

第36讲幂级数的和函数随堂测验

第37讲函数展成幂级数随堂测验

第38讲三角级数、三角函数系的正交性随堂测验

19. 幂级数的和函数 函数展成幂级数

1、P281：2 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： (1) (2) (3) (4)

2、P289：2(2)(4)(6). 将下列函数展开成的幂级数(可以用符号，也可以写出幂级数的前五项)，并求展开式成立的区间： (1) (2) (3)

3、P289：3. 将下列函数展开成的幂级数，求展开式成立的区间： (1) (2)

4、将函数 展开成的幂级数.

1、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为 将展开成傅里叶级数.

2、将函数展开成傅里叶级数：

3、设周期函数的周期为. 证明： 若 则的傅里叶系数

4、填空： (1) 对级数是它收敛的______条件，不是它收敛的______条件； (2) 部分和数列有界是正项级数收敛的______条件； (3) 若级数绝对收敛，则级数必定______；若级数条件收敛，则级数必定______.

6、设正项级数 和 都收敛，证明级数 也收敛.

第39讲函数的Fourier级数随堂测验

第40讲正弦级数与余弦级数随堂测验

第41讲一般周期函数的Fourier级数随堂测验

21. 正弦级数余弦级数 一般周期函数的Fourier级数

1、下题给出了四个结果，从中选出一个正确的结果(要说明理由). 设是以为周期的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数为（ ）. (A) (B) (C) (D)

2、设级数收敛，且 问级数是否也收敛？试说明理由.

3、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性： (1) (2)

5、求下列幂级数的收敛区间： (1) (2)

6、求下列幂级数的和函数： (1) (2)

7、求下列数项级数的和： (1) (2)

8、将函数展开成的幂级数.

9、将函数 展开成正弦级数.

第42讲微分方程的基本概念、可分离变量、齐次方程随堂测验

第43讲一阶线性微分方程、可降阶的高阶方程随堂测验

第44讲高阶线性微分方程及解的结构随堂测验

1、指出函数 是否为方程 的解. (要求有验证过程)

3、求微分方程 满足初值条件 的特解.

4、一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.

7、用适当的变量代换将下列方程化成可分离变量的方程，然后求出通解： (1) (2) (3)

23. 线性微分方程解的结构 常系数齐次微分方程

1、下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ (1) (2)

2、验证 及 都是方程 的解，并写出该方程的通解.

3、设物体A从点（1,0）出发，其运动速度大小为常数v，方向与y轴的正向相同. 物体B从原点（0,0）与物体A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向物体A. 求物体B的运动轨迹.

4、验证（是任意常数），是方程的通解.

6、求微分方程 满足初值条件 的特解.

第45讲常系数齐次微分方程随堂测验

第46讲常系数非齐次微分方程随堂测验

24. 常系数非齐次微分方程

1、求下列各微分方程的通解： (1) (2)

2、设函数连续，且满足 求

3、填空： (1) 是______阶微分方程； (2) 一阶线性微分方程的通解为______； (3) 与积分方程等价的微分方程初值问题是______； (4) 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为______.

4、以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： (1) 设非齐次微分方程有两个不同的解：与，为任意常数，则该方程的通解是（ ）： (A) (B) (C) (D) (2) 具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）： (A) (B)

5、求以下式所表示的函数为通解的微分方程： （其中为任意常数）.

7、已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.

高等数学（下）期末考试

19-20第二学期“高等数学(下)”试卷