绝对值定积分怎么算问题：如图所示，为什么b-a小于等于积分区域b-a？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-12 02:04 标签： 绝对值定积分怎么算

  1. λ→0和划分的小区间总数n→0的区别：n→0时，不能保证每个小区别的长度都趋于0，比如在划分区间时，让其中某一个小区间为定长区间，然后让剩下的空间划分趋于无穷大，此时，结果就有一个固定的误差值，从而得不到精确值；λ→0时则不存在此问题，可以得到精确值；

    备注：定积分的求和公式中，f(ε-i)为区间[x-(i-1),x]之间的任意一点，在上式(1)中，计算小矩形面积时，该面积的长为从f(ε-i)开始的直线；

  2. 定积分与不定积分的区别及关系

    定积分是一个实数，而不定积分则是一个函数集；

    连续函数一定有原函数(或不定积分)，且；

  3. 注：定理1和定理2为定积分存的充分条件，定积分存在的必要条件为函数有界；

  4. 由定积分的几何意义得到的一个有用的公式

  5. 定积分没有简单的，有关可积性的充分必要条件；但有充分条件；

    1）在闭区间上连续的函数是可积的；


    2）在闭区间上有界，且只有有限个间断点的函数是可积的；如下图，该积分可以由三个曲边梯形的面积之和得到；

    3）单调有界函数f(x)永远是可积的；


  6. 梯形法和抛物线法的几何图形(a为梯形法，b为抛物线法)

  7. 定积分的计算------牛顿-莱布尼茨公式

    如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，关且存在原函数F(x),则



  9. 性质6也叫积分估值定理，几何解释为，即定积分的区域包含了小矩形m(b-a)的面积，大矩形的面积M(b-a)包含了定积分的面积；

    积分中值定理的几何解释：

    积分区间内总存在某一点ε，使得以ε为高，ab为边长的矩形面积等于定积分的面积，即图形中的浅蓝色区域的面积等于曲边梯形abf(x)的面积；

    积分中值定理在开区间上，即ε∈(a,b)时也是成立的；

    推广：积分第一中值定理


  10. 不管函数f(x)是否连续，其积分上限函数总是连续的；

    (4)式也可以写成，该公式揭示了定积分与不定积分(原函数)的联系，是微积分学中最重要的定理，被称为微积分基本定理；

    ※牛顿-莱布尼茨公式只能用于函数的连续区间；对于有间断点的函数和分段函数，可以采用分段积分的方法；

    求一个函数反函数的定积分时，如下图，可以用矩形OABC的面积减去原函数f(x)的定积分得到；

  11. 积分上(下)限函数的导数

    积分下限函数，因从而得到

    积分上限为函数时，积分上限函数的导数可以看成是一个复合函数；

    上下限均为函数时，有；(备注：可以看成是上限和下限之和)

    下题在积分过程中，积分表达式中的x应视为常数！

    一般情形：，在积分时，凡与积分变量t无关的乘积因子都视为常数，可以提到积分号前面；即公式里的g(x);

  12. 换元公式时的注意事项：

    上面的换元法相当于不定积分的第二类换元法，当用第一类换元法求定积分时，积分的上限和下限不变；

    积分上下限需改变的第二类换元法示例：

    代入积分上限得 a=asint，从而得到新的积分上限为t=π/2，代入积分下限得0=asint，从而得到新的积分下限为t=0;，全部替换后得到；

  13. 积分上限函数和不定积分的奇偶性

    对于不定积分偶函数的原函数(不定积分)一般不是奇函数(只有当常数C为0时是奇函数，C不为0时是奇函数加偶函数，为非奇非偶函数)；但奇函数的原函数(不定积分)，则一定是偶函数(偶函数加偶函数还是偶函数);

  14. 更一般的情形:设函数f(x)在[a,b]上单调，则有

  15. 1）积分区间是有限的区间：[a,b];

    2）被积函数f(x)在区间[a,b]内是有界函数；

    取消这两个限制后，就得到两种反常积分；

    如果以上极限存在，则称反常积分收敛，其极限值为反常积分的积分值；如果以上极限不存在，则称反常积分发散；

    如果到+∞和-∞的反常积分都存在，则有；到+∞和-∞的反常积分时，如果有一个发散，则总体发散；如果两个都收敛，则总体收敛；(※发散时，极限不一定是趋于无穷大的，极限不存在时也是发散的)

    一个重要的反常积分：一般性推广：；


  16. 瑕积分两边都收敛时的图形为：；

    瑕积分示例：，注：和不定积分不同，当x→a时，该函数值趋向于无穷大，函数是发散的；

    该示例的另一种简便解法：，先求不定积分，再用牛顿-莱布尼茨公式求解；

    一些重要的无界函数的反常积分：


定积分的性质与计算方法

摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常

丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。

关键词:定积分 性质 计算方法

最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b

其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件，

()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则

例：利用定义计算定积分1

解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了

便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i

如果f可积,这个结论是对的.但用积分中值定理来证,需要f连续.

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