求不定积分经典例题100个分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-30 10:22 标签： 不定积分经典例题100个

　　通过本节课的学习，理解原函数的概念．

施光燕　　　教授　　　大连理工大学

　　这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数．
　　 已知总成本C (x)，求边际成本C (x)，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC．我们引进一个概念：
　　我们来看具体的问题：
　　大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了．

分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x1>x2，有f(x1)>f(x2)．

判断下列函数的奇偶性：

分析：利用定义1.3，也可以利用关于奇偶函数的几个结论．

由此可知y＝x3－1 不是奇函数．又显然
由此可知 y＝x3－1 不是偶函数．
（2）因为 y＝x 是奇函数， y＝cosx 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数．

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1、第5章 不定积分5.1 原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数yf(x)出发，去求它的导数f(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?定义 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F(x)f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。例1 求下列函数的一个原函数： f(x)2x f(x)cosx解：(x2)2x x2是函数2x的一个原函数 (sinx)cosx sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个

2、原函数呢?因为一个函数的原函数不是唯一的。 例如在上面的中，还有(x21)2x， (x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C (C为任意常数)都是函数f(x)2x的原函数。定理5.1 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，C是一个任意常数，那么， F(x)C也是f(x) 在该区间I上的原函数 f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示为F(x)C证明： F(X)CF(x)(C)f(x) F(x)C也是f(x)的原函数 略 这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)C的形式。定义5.2 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的

3、不定积分，记作f(x)dx， 其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量。 求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数，因此，f(x)dxF(x)C 其中C是任意常数，叫做积分常数。例2 求下列不定积分 x5dx sinxdx解： 是x5的一个原函数 cosx是sinx的一个原函数 661xCxdxx6561Cxxdxcossin二、 不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线yF(x)称为f(x)的一条积分曲线，曲线yF(x)C表示把曲线yF(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲线族。例4 求斜率为2x

F(x)dxF(x)C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，所得结果与F(x)相差一个常数C kf(x)dxkf(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的前面 f(x

1(24解CeCeedxedxexxxxxx3ln13)3ln()3()3(3:解5.2 不定积分的计算一、 直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定积分的方法称为直接积分法。 运用直

例如求cos2xdx，被积函数的自变量是2x，积分变量是x。 这时，我们可以设被积函数的自变量为u，如果能从被积式中分离出一个因子u(x)来，那么根据f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C就可以求出不定积分。 这种积分方法叫做凑微分法。

13、结果。例5：求x2e-2xdx解：令u(x)x2，v(x)e-2x，则v(x)于是xe221dxexexdxexxxx)21(1(dxexeexdxxeexxxxxxCexeexxxx由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。

- x122xCxxxdxxxxxdxx4ln22ln2ln222则一般原则对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，指数函数、三角函数应放在右边。 有些单独一个函数的不定积分也要用分部积分法解。例3：求lnxdx

ex(si3nx3cos3x)C5.4 有理函数积分法一、有理函数的定义 有理函数是指分子、分母都是多项式的分式函数，形如101)()()(xQxPxRmn二、真分式的部分分式分解 设分子的次数为n，分母的次数为m。 当nm时，该分式

16、称为真分式； 当nm时，该分式称为假分式。 假分式可以写成多项式与真分式的和。这里主要讲解真分式的部分分式分解。例分解 成部分分式解：因为分母含有(x1)的三重因式，所以设33)1(1xxx3233) 1() 1(1) 1(1xDxCxBxAxxx等式右边通分后得 比较等式两边分子各项的系数得 1解得：1 1 2这种方法称为待定系数法323) 1() 1()

1(2解求例2.当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分。Cxxxdxxxxdxxdxxdxxxxdxxxxdxxxx32arctan31)134ln(1)32(19)2(:22解求例三、分母可以因式分解的有理函数1.若被积函数是假分式，先把它分解成一个多项式与一个真分式之和,2.

　　不定积分是微积分中的重要概念，其计算也是重要运算。在近年来的考研真题中多次出现，其多为综合性的解答题，难度多为中等难度，应该熟练掌握。而定积分也是微积分中的重要概念，定积分的性质变化多样，是我们考研中所常见的内容。有些单独成题，有些嵌入计算题之中。有些题是考查性质的结论，有些题目是考查性质条件的掌握，比较灵活多变，此类题目多见于选择题和填空题，其难度为中等难度。接下来，跨考教育数学教研室吴方方老师就为大家详细讲解积分的计算方法及注意事项。

　　关于不定积分的计算方法，我们有换元法和分部积分法。其中换元法又分为第一类换元法(凑微分)和第二类换元法。对于含有根号的积分，通常是先换元，以消去根式符号。而有些题目在用分部积分法时，要先对被积函数变形，使得运算的式子简化了，也减少了出现运算错误的可能性，倘若你做这类题不这样对被积函数进行变形，而是直接利用分部积分法计算，将使运算变得复杂化，这种情况也是考生所遇到的典型问题。

　　关于定积分，其计算方法除不定积分中的方法外，还有一些特殊情形要求我们要掌握的。比如对称区间上的定积分，我们在做这类题时，首先要先注意下其被积函数的奇偶性。

　　对于对称区间上的被积函数奇偶性来考虑题，可能大部分同学是知晓的。而有一些题目我们往往是用定积分的几何意义来简化求解的，而对用利用定积分的几何意义来做题，是相当多的学生所不知道的。除了对称区间上的以为，对于具有周期性的被积函数我们在做题时也要非常谨慎的待。

　　若 ，则有： 积分值与积分的起点和终点无关，与积分长度有关。对于这种周期函数的积分性质也是我们同学们要牢牢掌握的知识点。这样对于我们在做相关题目时会非常的方便和简单。

　　变限积分也是我们考研中常考的内容，微分学中函数的各种性态的研究都曾以可变限积分函数出现于试题中，此类试题多出现于选择题、填空题、解答题，题目难度和不定积分、定积分的难度相当都属于中等难度的试题。而对于变限积分的求导也是我们要掌握的知识点，这个属于函数求导那一块的内容，要求我们熟练的掌握各类变限积分的求导方法。

　　因此，关于一元函数积分学这一部分大都是出一些小的题型，但其内容在考研中属于很重要的地位，这就要求我们必须掌握这一部分的知识点和其各种性质。

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