正项级数极限判别法判别法?

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目:数学
知识点:正项级数敛散性的判别方法
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以这部分内容为摆渡数学习题班(冲刺班)讲义内容,相关习题将会汇编成冲刺 版习题集,习题答案并不是讲义全部内容,如果造成理解不便,敬请原谅。1. 比值审敛法(达朗贝尔判别法)该判别法的特点是利用级数本身前项与后项之比的极限判别其收敛性,不需另找比较级数.当正项级数的一般项u_{n} 中含有 n !,n^{n},\sin x^{n} 或 c^{n}(c 为常数)等因子时,用比值审敛法比较简便例【719】用比值审鉃法判别级数的敛散性(1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{4^{n}}(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \cdot n !}{n^{n}}解:(1)依题意可得:\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{(n+1) !}{4^{n+1}} / \frac{n !}{4^{n}}\right]=(1 / 4) \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1)=+\infty \\由比值审敛法知所给级数发散(2)依题意可得:\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{2^{n+1} \cdot(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} / \frac{2^{n} \cdot n !}{n^{n}}\right] \\=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\right]=2 / e<1 \\1. 根值审敛法(柯西判别法)例 【720】讨论级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{\ln (1+n)}(a>0) 的敛散性.解:依题意可得:\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=a / \lim _{n \rightarrow \infty}[\ln (n+1)]^{\frac{1}{n} .} \\下求分母的极限.因\lim _{x \rightarrow+\infty}[\ln (x+1)]^{\frac{1}{x}}=\ln \left[\lim _{x \rightarrow+\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]=\ln e=1 \\所以\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left\{a /\left[\ln (x+1)^{\frac{1}{x}}\right]\right\}=a / 1=a \\因而由根值审敛法知(1) a>1 时,原级数发散;(2) 0< a< 1 时,原级数收敛;(3) a=1 时,根值审敛法失效,改用比较审敛法判别之.因 u_{n}=\frac{1}{\ln (1+n)}>\frac{1}{n+1}, 而 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} 发散,故原级数发散.综上得到, 当 0< a< 1 时级数收敘, a \geq 1 时发散.3. 等价无穷小代换法例 【724】判别 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \sin \frac{1}{n} 的敛散性.解:当 n \rightarrow \infty 时, \sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}, 故级数\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \sin \frac{1}{n} \text { 与 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p+1}} \\有相同敛散性.而 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p+1}}, 当 p>0 时收敛, p \leq 0 时发散, 所以原级数在 p>0 时收敛,在 p \leq 0 时发散往期知识点-数学概念篇列11.映射4.函数极限性质7.极限存在准则10.微分中值定理13.曲率16.分布积分法19.无界函数审敛法22.平面方程25.空间曲线投影28.向量函数求导31.梯度34.含参积分37.收敛级数性质40.矩阵与方程组43.相似与二次型46.样本均值|方差列22.函数特性5.连续性与间断点8.高阶导|莱布尼茨11.洛必达法则14.不定积分理解17.不定积分技巧20.微分方程基础23.空间曲线26.多元复合函数29.曲线法平面32.拉格朗日35.格林公式I38.级数审敛法41.线性相关44.概率运算|概型列33.数列收敛6.最值|介值|零点9.参数与隐函数12.泰勒公式15.换元积分法18.反常积分审敛法21.微分方程进阶24.旋转曲面27.隐函数定理30.方向导数33.二重积分技巧36.格林公式推论39.幂级数审敛法42.正交与特征值45.贝叶斯公式往期知识点-数学技巧篇列11.定义域求解4.数列极限技巧7.中值不等式10.洛必达法则13.分部积分法16.三角不定积分19.变限积分证法22.变限积分根值25.定积分不等式228.平面曲线积分31.旋转曲面34.复合函数求导列22.函数求解技巧5.高阶导数求解8.区间不等式11.方程根的个数14.三角函数积分17.变限积分求解20.变限积分性质23.定积分简化26.反常积分敛散129.向量运算法则32.二元函数极限35.简化二重积分列33.夹逼定理6.中值等式命题9.数值不等式12凑微分求积分15.定积分简化18.变限积分极限21.定积分方程根24.定积分不等式127.反常积分敛散230.点线面距离33.可微偏导连续36.二次积分转换

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