矩阵有几行就有几个秩吗的秩是什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-24 03:17 标签： 矩阵有几行就有几个秩吗
视频选自马同学图解数学系列，欢迎加入学习三年前曾经写过如何理解矩阵的秩，该文主要讲了矩阵的秩的几何意义。这期间我们的图解线性代数课程历经数次修改，已经面目全非。教学相长，我们对知识的看法也在不断刷新，基于此，本文尝试提供一个关于秩的一个全新的视角，一个可能不严谨但是更直观的视角。矩阵的秩可以直观地理解为筛眼的大小：下面就来解释这句话是什么意思？1 矩阵的作用假设对于向量\boldsymbol{x_1} 、\boldsymbol{x_2} 、\boldsymbol{x_3} 、\boldsymbol{x_4} 有：A\boldsymbol{x_1}=\boldsymbol{y_1},\quad A\boldsymbol{x_2}=\boldsymbol{y_2},\quad A\boldsymbol{x_3}=\boldsymbol{y_3},\quad A\boldsymbol{x_4}=\boldsymbol{y_4}\\上述关系可以用图像来表示，左侧的向量\boldsymbol{x_1} 、\boldsymbol{x_2} 、\boldsymbol{x_3} 、\boldsymbol{x_4} ，在A 的作用下，变为了右侧的向量\boldsymbol{y_1} 、\boldsymbol{y_2} 、\boldsymbol{y_3} 、\boldsymbol{y_4}将各个向量依次连起来就得到了两个矩形。那么可以这么理解，左侧的矩形在A 的作用下，变为了右侧的矩形：2 矩阵的秩如果A 的秩不一样，那么左侧的矩形在A 的作用下，右侧就可能得到不同的图形：有一个很明显的特点，矩阵的秩rank(A) 越小，得到的图形越小（这里直接给结论了，细节就不展开了，详细了解可以参看如何理解矩阵的秩，或者在我们的图解线性代数课程中查看）： \begin{array}{c|c|c}
\hline
\quad 左侧\quad&\quad 秩\quad&\quad 右侧\quad\quad \\
\hline \\
\quad \mathbb{R}^2\ 中的矩形\quad&\quad\begin{aligned}rank(A)=2\\rank(A)=1\\rank(A)=0\end{aligned}\quad&\quad\begin{aligned}矩形\\线段\\点\ \ \end{aligned}\quad\\
\\
\hline \end{array} \\3 矩阵是筛子因为上面的结论，所以可以将矩阵A 看作一个筛子：那么矩阵的秩rank(A) 可以看作筛眼的大小，rank(A) 越小对应的筛眼越小（忽略掉筛子的形状，下面用带网格的圆来表示筛子）：筛眼越小，自然漏过去的越小。4 矩阵复合的秩把矩阵的秩看作筛眼的大小还是有一定解释能力的。比如矩阵的秩有如下的性质，该性质也称为矩阵复合的秩：rank(AB)\leq\min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\\A 、B 可以看作两个筛子：可以用带网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同：当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小：所以此时有：rank(AB) < \min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\\当然还有可能A 、B 如下：这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼：所以此时有；rank(AB) = \min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\\综合起来就是：rank(AB)\leq\min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\\5 满秩矩阵复合的秩满秩矩阵P 可以看作完全没有筛眼的筛子：这样两者复合，筛眼大小就完全取决于A ：所以可得到满秩矩阵复合的性质：rank(PA)=rank(A)\\5 结语用筛眼比做矩阵的秩这个比喻虽然形象，但并不严谨。更多，更系统的线代知识，可以在马同学的网站上进行学习更多内容推荐马同学图解数学系列

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