线性相关的定义为什么可以用秩证明线性相关的定义吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-04 08:52 标签： 为什么可以用秩证明线性相关
多动图预警。如果有帮到你，欢迎点赞！在线性代数里，向量是初学者最熟悉东西，我们把向量放在一起，就能组成向量组。简单来说，矩阵就可以看作是向量组。所以我们先讨论向量，看看如何通过内积运算，来判断两个向量方向的相似程度。通过将多个向量线性组合，我们可以表示更多的向量，甚至能表示某个多维空间中所有的向量，那么如何知道向量组究竟最多能张开为几维空间？了解了这些之后，我们就能够轻松地理解为什么说“秩”是矩阵的等级。向量简介我们很早就接触过向量，关于向量，现在你能想到什么呢？是的，高中物理里的矢量是向量。物理中的向量具有两部分：方向和大小。我们习惯用一个箭头来表示向量，向量可以任意平移，只要他的方向和大小保持不变。在坐标系中，我们可以用一组坐标来表示向量的终点，起点是原点。从起点开始用一个箭头指向终点，这样一个向量就被确定了下来。向量可以在平面中任意移动，但我们习惯性地将它放在原点处。平面向量和向量加法扩展到三维空间是一样的，有3个数的向量，就是三维空间的向量。抽象来看，向量就是一串数字，用括号括在一起。这是一种非常直观的表达方式，将实际生产问题中的数字这样放在一起，依靠以后学到的矩阵运算，我们可以很好地处理和挖掘这些数据。向量可以竖着写，也可以横着写。竖着写的叫列向量，可以看作是只有一列的矩阵；横着写的叫行向量，可以看作是只有一行的矩阵。列向量和行向量这里右上角标的“T”是矩阵中的转置运算，暂且可以理解为把原来横着放的竖过来；或把原来竖着放的横过来。Tip：我们更经常用列向量的形式，即竖着写。因为我发现很多地方都是这样，自己写向量的时候，也是优先写竖着写，我们可以稍微留意下。书本上先介绍行列式和矩阵，然后是向量。我们之所以先讨论向量，是因为向量、矩阵、行列式，他们三者实际的关系是：矩阵可以看作是向量的组合，可以看作是几个列向量左右并起来，也可以看作是几个行向量上下堆起来。将矩阵看作是列向量的组合行列式是方形矩阵的一种运算结果，是一个数值。说实话，两个竖线看着真像绝对值。这里需要注意的是，只有方形矩阵才有行列式。行列式不是今天讨论的重点。向量内积：描述两个向量方向的相似程度向量内积的运算非常简单，就是将两个长度一样的向量中对应位置的元素相乘，最后相加在一起。已知两个向量：{\boldsymbol \alpha}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\\vdots \\ a_n \end{bmatrix}, {\boldsymbol \beta}=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots \\ b_n \end{bmatrix}，\\内积为[{\boldsymbol \alpha},\ {\boldsymbol \beta}] =a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n 关于向量方向的相似程度，我们认为当两个向量方向越重合，两个向量的方向越相似。这有三种情况：两个向量方向相同，内积最大；两个向量垂直，内积为0；两个向量方向相反，内积最小。向量内积：正交时为0当然，想要更好地度量两个向量的方向相似程度，可以将内积结果再分别除以两个向量的长度，这个过程即单位化。一般向量的长度就是各元素平方和的平方根，也叫作“范数”，关于这个我们暂且先不多说。垂直是在二维空间内的形象定义，所以更一般地（比如在其他维度的空间中），我们更习惯用“正交”来表示两向量内积为0的情况。现在需要记住正交的情况，即内积为0，两向量正交。此时，两个向量的方向各管各的，丝毫没有交际，相当于在十字路口分别，形同陌路。但我们喜欢这样的结果，因为还有什么比0更简单的结果了吗？比较有意思的是，并不是内积最小，两向量最不相似。内积为0时，两向量正交，方向最不契合；内积最小时，即为最小负数时，两向量方向相反，这是一种反方向上的“最相似”。这可能有悖我们平时的逻辑。向量组的线性相关性：更多的向量！一般我们手头拥有的向量数量是有限的，但实际中肯定有无限多个向量。通过线性组合，我们可以得到更多其他的向量。线性组合本身的定义很简单：线性就是向量前面乘上一个系数，将向量缩放；组合就是将他们相加，遵循向量加法原则。比如，当我们拥有两个不在一条直线上的二维向量，通过线性组合，我们就可以得到平面上任意一个二维向量。向量α和β的线性组合换一种说法，只要拥有这样不在一条直线上的向量，我们就拥有了整个二维平面上的向量。或者说这两个向量可以张开为一个平面（二维空间）。一旦两个向量在同一直线上，我们就只能拥有方向和这一直线相同的所有向量。或者说这两个向量可以张开为一条直线（一维空间）。两个不在一条直线上的三维向量也能张开为一个平面，下面是在三维空间中的平面。三维空间中，两向量的线性组合事实上，两个向量“不在一条直线上”这一条件就是指这两个二维向量“线性无关”。与线性无关相对的一个词，即“线性相关”，在同一直线上的向量线性相关。怎么严格定义线性相关呢？我的理解就是如果某个向量能用其它向量的线性组合所表示，那么他们就是线性相关的。书上最开始的定义不是这样的。第一次看到书上线性相关的定义，我是比较懵的，他的描述如下：线性相关的经典定义注意这里的0是零向量。虽然这种定义更为实用，但我更喜欢他的另一种表述。首先，我们需要进行一点推导，既然这一组k不全为0，其中至少有一个系数k不为0，我们就假设第i个k是非零的，然后稍微移动一下。线性相关更容易理解的定义当向量组中至少有一个向量可以由其余向量的线性组合表示，则向量组线性相关。之前两个向量在一条直线上的情况里，其中一个向量就能被另一个向量线性表示（乘一个系数）。相对地，线性无关即向量组中，任何一个向量都不能被其他向量线性表示，每个向量都是独特的、不可替代的。此时，当且仅当所有系数k都为0时，线性无关的向量组才能线性表示零向量。两个不在同一直线的向量，就是这种情况。系数全为0时，两向量的线性组合才为零向量Tip：有多少个线性无关的向量，即有多少个不可替代的向量，就能表示多少维空间内所有的向量。这里还有一个非常显而易见的结论，我们可以在向量组内进行线性组合，组合出来的新向量依旧在原向量组所能表示的空间内，不会跳出这个空间。也就是说，向量之间进行线性组合处理后，向量组对空间的“表述能力”保持不变。像下面这样，第一个向量加上第二个向量后，仍在该平面内：粉向量加上绿向量后，仍在这个平面内矩阵的初等变换，就是对矩阵的行向量或列向量不断地进行线性组合变化，比如把第二个行向量加到第一个行向量。像上面演示的一样，这并不会改变这些向量（矩阵）的“表述能力”，即不会改变他们最大所能描述的空间维度。书上也把能相互进行初等变换的矩阵，称为相互“等价”的，感觉还是挺贴切的，他们的表述能力一样。两三个向量的情况比较简单，假如我们的向量组里面有好多向量，怎么知道：向量组里实际有多少个向量线性无关？即这个向量组最多能表示几维空间内的所有向量？如何找出这几个线性无关的向量？接下来的内容能帮助我们回答这些问题。向量组的秩&矩阵的秩我直接把向量组当作矩阵，矩阵当作向量组啦。先解决第一个问题，即如何得到向量组中，放在一起能保证线性无关的向量的最大个数。其实我们就是把这个最大个数叫作“秩”，一般记作R。秩？从来没见过的字吼，但我们得习惯这么称呼他，记住这就是一个数。从定义来看向量组里同时线性无关的向量最多有R个，向量组最多能张开为R维空间。从另一个角度看，我们去掉了线性相关的向量，即淘汰了”冗余“信息，因为这些向量能被别的向量线性表示，最后线性无关的向量数量就是秩，所以秩在一定程度上体现了矩阵实际包含信息的能力。我们还管放在一起保证线性无关的、向量数量最多的向量组叫“极大线性无关组”，“极大”二字表示这个线性无关的子向量组中，向量的数量已经尽量大了。现在我们可以把在上一小节最后提到的结论换一个说法（不改变表述能力那个）：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。书上也有这样的结论，现在你应该能很好地理解这句话了吧。如何得到秩？我们可不可以不断地进行线性组合，找到那几个能被其他向量表示的向量，去掉他们，剩下的向量就能保证线性无关了。这个逻辑很简单，但是实际运算，想想都觉得麻烦，还得一个一个地去找。不断进行线性组合这一思想是正确的，但肯定不能盲目地、一个一个地尝试。书本上告诉我们的方法，就能又快又准得到矩阵的秩：先对矩阵做初等行变换将其化为阶梯形矩阵（我们刚说过，初等变换不改变矩阵的秩）；确定阶梯形矩阵中非零行的行数。将矩阵变为阶梯形的过程，就是在尝试找出能被其他行向量线性表示的行向量，最后全为0的行向量就是能被被的向量线性表示的向量。剩下的不全为0的行向量，不能被其他行向量线性表示，所以这些向量就是极大线性无关组，非零行的行数也就是“秩”了。肯定有人和我一样，会想既然能处理行向量，那么能不能通过处理列向量来得到秩呢？即计算列向量的阶梯矩阵，得到的结果会和行向量的一样吗？非常神奇的是，结果是一样的。矩阵的秩是唯一的，无论我们以列向量的角度，还是行向量的角度去看待它。回顾向量的关键在于“线性相关”“线性无关”“秩”等概念，我们可以试试一些题目来查看自己是否已经掌握了这些内容。说实话，我总会烦恼似懂非懂的感觉，所以最后我想列出一些词语，让你回忆一下，如果你的脑子不是一片空白，那么本篇文章就有意义。如果很难回忆起全部，或者对一些概念有些混乱。不着急，我们再看一遍，再练一练。向量内积、向量正交；向量的线性组合；向量组的线性相关、线性无关；矩阵的初等变换；矩阵的秩；怎么得到矩阵的秩。最后说一个我老感觉绕的结论，大家可以细品：r个线性无关的n维向量，能张开为n维空间中的r维空间

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