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目：数学
知识点：泰勒公式推导
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完整版内容在《轻松上岸》考研复习全书中，23年考研数学基础班已经开始。1. 铺垫设f(x)在x_{0}处具有n阶导数,试找出一个关于 \left(x-x_{0}\right) 的n次多项式(公式可以左右滑动)p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}(1) \\来近似表达f(x),要求使得p_{n}(x)与f(x)之差是当x \rightarrow x_{0}时.是比\left(x-x_{0}\right)^{n}高阶的无穷小.下面我们来讨论这个问题.假设p_{n}(x)在x_{0}处的函数值及它直到n阶导数在x_{0}的值依次与f\left(x_{0}\right), f^{\prime}\left(x_{0}\right), \cdots, f^{(n)}\left(x_{0}\right)相等,即满足p_{n}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right) \\p_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \\p_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \\\cdots\cdots\cdots\cdots \\p_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=f^{(n)}\left(x_{0}\right) \\按这些等式来确定多项式(1)的系数为a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}为此,对(1)式水各阶导数,然后分别代入以上等式,得p_{n}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right) \Rightarrow a_{0}=f\left(x_{0}\right)\Rightarrow a_{0}=f\left(x_{0}\right)\\p_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Rightarrow 1 \cdot a_{1}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Rightarrow a_{1}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\\p_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \Rightarrow 2 ! a_{2}=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\Rightarrow a_{2}=\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\\p_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=f^{(n)}\left(x_{0}\right) \Rightarrow n ! a_{n}=f^{(n)}\left(x_{0}\right)\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{n !} f^{(n)} \\将求得的系数 a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} 代人(1)可得:p_{n}(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}\\+\cdots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}(2) \\2.泰勒(Taylor)中值定理1定义如果函数f(x)在x_{0}处具有n阶导数,那么存在x_{0}的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有(公式可以左右滑动)f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)(3) \\其中\boldsymbol{R}_{n}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{o}\left(\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right)^{n}\right) \\证明记R_{n}(x)=f(x)-p_{n}(x),则可知 R_{n}(x)为\left(x-x_{0}\right)^{n}高阶的无穷小,则(公式可以左右滑动)R_{n}\left(x_{0}\right)=R_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=R_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=R_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=0 \\由于f(x)在x_{0}处有n阶导数,因此f(x)必在x_{0}的某邻域内存在(n-1)阶导数,从而R_{n}(x) 也在该邻域内(n-1)阶可导,反复应用洛必达法则,得(公式可以左右滑动)\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}^{\prime}(x)}{n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}}=\\\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}^{\prime \prime}(x)}{n(n-1)\left(x-x_{0}\right)^{n-2}}=\cdots=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}^{(n-1)}(x)}{n !\left(x-x_{0}\right)}\\=\frac{1}{n !} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}^{(n-1)}(x)-R_{n}^{(n-1)}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{1}{n !} R_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=0 \\3. 泰勒(Taylor)中值定理2定义如果函数f(x)在x_{0}的某个邻域U\left(x_{0}\right)内具有(n+1)阶导数,那么对任一x \in U\left(x_{0}\right),有f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}\\+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x) \\其中R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \\这里\xi是 x_{0} 与x之间的某个值证明证：记R_{n}(x)=f(x)-p_{n}(x)只需证明R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}\left(\xi \text { 在 } x_{0} \text { 与 } x\text {之间 }\right) \\由假设可知R_{n}(x)在U\left(x_{0}\right)内具有(n+1)阶等数,且R_{n}\left(x_{0}\right)=R_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=R_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=R_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=0 \\对两个函数 R_{n}(x) 及 \left(x-x_{0}\right)^{n+1} 在以 x_{0} 及 x 为端点的区间上应用柯西中值定理（显然,这两个函数满足柯西中值定理的条件）,得\frac{R_{n}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}=\frac{R_{n}(x)-R_{n}\left(x_{0}\right)}{\left(x-x_{0}\right)^{n+1}-0}=\frac{R_{n}^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}{(n+1)\left(\xi_{1}-x_{0}\right)^{n}}\\\left(\xi_{1} \text { 在 } x_{0} \text { 与 } x
\text {之间 }\right) \\再对两个函数R_{n}^{\prime}(x) 与 (n+1)\left(x-x_{0}\right)^{n}在以x_{0}及\xi_{1}为端点的区间上应用柯西中值定理,得\frac{R_{n}^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}{(n+1)\left(\xi_{1}-x_{0}\right)^{n}}=\frac{R_{n}^{\prime}\left(\xi_{1}\right)-R_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)}{(n+1)\left(\xi_{1}-x_{0}\right)^{n}-0}\\=\frac{R_{n}^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)}{(n+1) n\left(\xi_{2}-x_{0}\right)^{n-1}}\\\left(\xi_{2} \text { 在 } x_{0} \text { 与 } \xi_{1} \text { 之间 }\right) \\照此方法继续做下去,经过(n+1)次后,得\frac{R_{n}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}=\frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\\\left(\xi \text { 在 } x_{0} \text { 与 } \xi_{n} \text { 之间,因而也在 } x_{0} \text { 与 } x \text { 之间 }\right) \\注意到R_{n}^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)\left(\right.因\left.p_{n}^{(n+1)}(x)=0\right) \\则由上式得R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}\left(\xi \text { 在 } x_{0} \text { 与 } x\text { 间 }\right) \\即原命题得证4. 泰勒灵活应用利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式,求极限\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x} \\解:由于分式的分母\sin ^{3} x \sim x^{3}(x \rightarrow 0) \\我们只需将分于中的 sin x 和 xcosx 分别用荣有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式表示,即\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+o\left(x^{3}\right)\\x \cos x=x-\frac{x^{3}}{2 !}+o\left(x^{3}\right) \\于是\sin x-x \cos x\\=x-\frac{x^{3}}{3 !}+o\left(x^{3}\right)-x+\frac{x^{3}}{2 !}-o\left(x^{3}\right)\\=\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\对上式作运算时,把两个比x^{3}高阶的无穷小的代数和仍记作o\left(x^{3}\right),故\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=\frac{1}{3} \\往期知识点-数学概念篇列11.映射4.函数极限性质7.极限存在准则10.微分中值定理13.曲率16.分布积分法19.无界函数审敛法22.平面方程25.空间曲线投影28.向量函数求导31.梯度34.含参积分37.收敛级数性质40.矩阵与方程组43.相似与二次型46.样本均值|方差列22.函数特性5.连续性与间断点8.高阶导|莱布尼茨11.洛必达法则14.不定积分理解17.不定积分技巧20.微分方程基础23.空间曲线26.多元复合函数29.曲线法平面32.拉格朗日35.格林公式I38.级数审敛法41.线性相关44.概率运算|概型列33.数列收敛6.最值|介值|零点9.参数与隐函数12.泰勒公式15.换元积分法18.反常积分审敛法21.微分方程进阶24.旋转曲面27.隐函数定理30.方向导数33.二重积分技巧36.格林公式推论39.幂级数审敛法42.正交与特征值45.贝叶斯公式往期知识点-数学技巧篇列11.定义域求解4.数列极限技巧7.中值不等式10.洛必达法则13.分部积分法16.三角不定积分19.变限积分证法22.变限积分根值25.定积分不等式228.平面曲线积分31.旋转曲面34.复合函数求导37.正项级数敛散40.比较审敛法43.函数变幂级数46微分求函数49.行列式性质52.逆矩阵求法55.伴随矩阵58.分块矩阵运算61.矩阵秩的求法64.线性表示定理67.反求齐次方程列22.函数求解技巧5.高阶导数求解8.区间不等式11.方程根的个数14.三角函数积分17.变限积分求解20.变限积分性质23.定积分简化26.反常积分敛散129.向量运算法则32.二元函数极限35.简化二重积分38.交错级数收敛41.幂级数审敛法44.常数项级数47.行列式运算50.范德蒙行列式53.矩阵方程求解56.矩阵行列式59.高次幂矩阵62.线性相关|无关65.方程组解|判定68.方程组解关系列33.夹逼定理6.中值等式命题9.数值不等式12凑微分求积分15.定积分简化18.变限积分极限21.定积分方程根24.定积分不等式127.反常积分敛散230.点线面距离33.可微偏导连续36.二次积分转换39.常数项级数42.幂级数和函数45.常系数微分48.对角线行列式51.可逆阵求解54.对称与反对称57.零相关行列式60.矩阵初等变换63.向量组线性66.基础解系求法

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展开全部泰勒公式详细推导过程如下：泰勒公式推导：将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。其中，Rn（x）＝f（n＋1）δ（x－x0）＾（n＋1）／（n＋1）！，此处的δ为x0与x之间的某个值。f（x）称为n阶泰勒公式，其中，P（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x－x0）＋．．．＋f（n）（x0）（x－x0）＾n／n！称为n次泰勒多项式。在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项。另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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展开全部1+x的n次方展开式公式是：（x-1)^n=Cn0x^n+Cn1x^（n-1）（-1）^1+Cn2x^（n-2）（-1）^2+……+Cn（n-1）x（-1）^（n-1）+Cnn（-1）^n（x+1）^n。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者，泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要，透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。泰勒中值定理：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和。f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)。其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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