如何求变限函数求极限极限？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-08-02 13:48 标签： 变限函数求极限
无穷远到底是多远，我能到达吗，无限接近到底是多近，我能触摸吗？这个看似哲学性的问题，在数学中却是有精确定义的。数学中的函数极限，就是对函数去到无穷远处和无限接近某一点的趋势的描述。1 极限的精确定义先贴基本定义：设 \displaystyle f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} 是一个定义在实数上的函数。 并在某个开区间 {x>A} 或 {x<A} 上有定义。 L 是一个给定的实数。 c 是一个实数，并且函数 f 在 c 的某个去心邻域上有定义。如果对任意的正实数 \epsilon
，都存在一个正实数 \delta
，使得对任意的实数 x ，只要 f 在点 x 处有定义，并且 x 在 c 的某个 \displaystyle \delta
-（去心）邻域中（即 \displaystyle \vert x-c\vert \leqslant \delta
），就有\displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \epsilon
，那么就称 L 是函数 f 在 x 趋于 c 时的极限，或简称 L 为 f 在 c 的极限，记为 \displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L
。反之则称 L 不是 f 在 x 趋于 c 时的极限。维基教科书语句很长，名词很多，其实把三个名词讲清楚，极限的精确定义就有了：函数为什么要在去心邻域内有定义？极限能否为 +\infty
？什么是任意正实数 \epsilon
和正实数 \delta
？2 初见极限2.1 数列极限与函数极限讲极限就要从数列极限讲起。人们把无穷数列收敛于一个确定的实数L，就把L叫做此无穷数列的极限。例如\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L,a_ n=1-(\frac{1}{10})^ n如果我们把此无穷数列看成是一个从 N\to R 的一个函数，那么函数 f(x) 在c的极限，就可以看做两个无限逼近c点的无穷数列。那么求 f(x) 在c点的极限，就是求这两个无穷数列的极限。举一个具体函数的例子2.2 单边极限与极限函数f(x)求 x\to c 的极限。我们将f(x)在c点的左侧看做是一个 x^{-}\to c 的无穷数列，将此无穷数列称为 f(x),x\to c的左极限。相应的，将f(x)在c点的右侧看做是一个 x^{+}\to c 的无穷数列，将此无穷数列称为f(x),x\to c 的右极限。只有左极限与右极限相等时， f(x),x\to c 的极限才存在，且等于左（右）极限。这个很好理解，因为如果两边极限不同：又如果一边存在极限，而另一边不存在：极限也就懵逼了，手心手背都是肉，该听谁的？索性就都不听吧。即只有当左极限右极限存在，且相等时，极限才存在。对应到刚刚那个函数极限，在图中f(x)在0点的左极限等于右极限等于0，因此函数f(x)在c点的极限是0.3 邻域与去心邻域3.1 邻域上面是对极限的第一印象，但有点问题。举个例子：数列 \{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1} ,通项式为：\begin{eqnarray} a_ n= \begin{cases}
-n(n<3)\cr -\frac{1}{n}(n\geqslant 3) \end{cases}\end{eqnarray}将其展开就是 \{ -1,-2, -\frac{1}{3},-\frac{1}{4},-\frac{1}{5}...\} 这个无穷数列显然也是有极限的：\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0它的图像是：再举一个例子:数列 \{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1} ,,通项式为：\begin{eqnarray} a_ n= \begin{cases} (-1)^ n(n<5)\cr 3(n\geqslant 5) \end{cases}\end{eqnarray}将其展开就是 \{ -1,1,-1,1, 3,3,3,...\}
。它的图像是：可见无穷数列的有极限并不是要求数列中所有项都是单调的向极限值靠拢的。回到刚刚那个函数的例子，换一下问题，求f(x)在1点的极限呢？很明显在x<0时，f(x)在1点的左极限并不等于1.因此，描述 f(x) 在 x\to 1 的趋势，至少可以将整个函数在定义域内分成三个部分。在 x\leqslant -1 时， x\to 1 ， f(x)\to 1 （黑色部分）在 -1<x\leqslant 0 时， x \to 1 ， f(x)\to 0 （红色部分）在 x>0 时， x \to 1 ， f(x)\to 1 （蓝色部分）可见并不是整个定义域内当 x\to 1 时， y\to 1 。由此我们就需要定义一个范围的半径。把半径加上中心的这两个元素放在一起就有了邻域这个概念。回到上面的图，我们就能说， f(x) 在半径为0.5(当然也可以是0.4，0.3，总之足够小就行)的邻域内在 x\to 1 时 f(x)\to 1 。3.2 去心邻域邻域的概念让我们知道了极限的作用范围，可这是有瑕疵的。让我们来看这种情况\lim _{x\to c}f(x)=L (x\neq c)这时候在以c为中心的邻域内 f(x) 在c点无定义，此时还能够求 f(x),x\to c 的极限吗？当然是可以的。首先看看什么叫无限接近。类比到无穷数列，n是无限接近 +\infty
的。但这个数列中并没有一项是 a_{+\infty } ，非正式的写法：\{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1}=\{ a_1,a_2,...a_ n...\} \neq \{ a_1,a_2,...a_ n...a_{+\infty }\} 再来看无穷远处的值是否影响无穷数列的极限。用一个非正式的写法：设 a_{+\infty }=-L因为 a_{+\infty } 并不在 \{ a_ n\} ^{\infty } 数列中，所以即使 a_{+\infty }=-L ， \{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1}=L 。甚至L可以根本不存在来到函数极限时，趋于某一点的函数极限，若函数在此点并无定义，则其实就是两个无限逼近同一个值的无穷数列。由此我们可以得到:求函数 f(x),x\to c 的极限的作用范围应该是c点的去心邻域而不是邻域。我们将之前的 f(x)=x^2 修改为 f(x)=x^2(x\neq 1) ,仍然求函数在 x\to 1 处的极限。我们就能说，f(x)在半径为0.5的去心邻域内在 x\to 1 时 f(x)\to 1可见函数只要在去心邻域内有定义就可以了。邻域的半径告诉我们，两个人该从哪里踏上这对相向而行的列车，去心邻域告诉我们，两个人虽无限接近，却永不会相见。4 极限能否为 +\infty 极限存在的定义，是f(x)在逼近此点时，函数值收敛于一个给定的实数L。那么如果 +\infty
是实数， \displaystyle \lim _{x \to a} f(x) 极限存在，否则 \displaystyle \lim _{x \to a} f(x) 是发散的，极限不存在。4.1 +\infty
是不是实数我们来看看实数是如何发展出来的：也就是说从自然数系扩展到实数系是在数轴上一个一个填坑的过程。数轴上的坑被填满，实数域就出现了。那么 +\infty
能够被填到实数的数轴上吗？我们知道如果A是一个实数，那么一定存在一个实数B=A+1假设 +\infty
是一个实数，那么一定存在一个数等于 +\infty +1 ,这明显违反了 \infty
的定义。在实分析中，符号 \infty
称为“无穷大”，代表无界极限。 x \to +\infty
表示 x \quad
超出任意给定值， x \to -\infty
表示 x \quad
最终小于任意给定值。维基百科因此 +\infty
放不进实数的数轴上， +\infty
也就不是一个实数。4.2 极限不能是 +\infty 在实数域中，如果函数f(x)趋向实数c时，收敛到某实数L，我们就说此函数是收敛的，并且它的极限是L，记做\lim _{x \to c} f(x) = L反之，如果函数f(x)趋向实数时，不收敛到任何数L，我们就说此函数是发散的，并且认为\displaystyle \lim _{x \to c} f(x) 无定义。通常 \displaystyle \lim _{x \to c} f(x) 发散到 +\infty
记做：\lim _{x \to c} f(x) = +\infty 即极限不能等于 +\infty 4.3 超实数域后来有人把 +\infty
放在实数域正半轴的端点上 -\infty
放在实数负半轴的端点上，组成了超实数域。超实数域的极限，这里就不讨论了。5 \epsilon
与 \delta 无限接近L在数学里怎么描述呢？如果我与L的距离小于等于任意一个正实数 \epsilon
，是不是就能说无限接近L？因此如果有 \displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \epsilon
,我们就可以说 f(x) 与L之间的距离是趋近于无穷小的。但函数有函数的规则，我想无限接近，是不是能无限接近呢，有没有x满足 f(x) 无限接近呢？因此如果存在 x 满足 \displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \epsilon
，那么函数 f(x) 在 c 点无限接近L。 x 与 c 的距离就是去心邻域的半径。即： \displaystyle \vert x-c\vert \leqslant \delta
记做\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L即 \epsilon
只是对f(x)无限接近L的描述， \delta
只是x无限接近c的描述最后给一幅经典的极限图6 结语无穷远是多远，我不知道，也无法到达，我只知道那里有远方。无限接近是多近，我不知道，也无法触摸，我只知道那里将是归宿。更多内容查看马同学图解数学系列教程

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展开全部两个特殊的极限公式如下：一个是当x趋向于0时,sinx/x=1；另一个是当x趋向于0时, (1+x)^ (1/x)=e。极限在数学上的定义：某一个函数中某个变量，此变量在变化的永远的过程中，逐渐向某一个确定的数值不断逼近，而永远不能够重合到的过程中，此变量的变化被人为规定为永远靠近而不停止。极限是一种变化状态的描述。函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹逼定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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行者刺青2022-07-26 08:09:161243高等数学中求极限怎么找一个函数的等价无穷小呢？高数请问该等价无穷小怎么算的？如何求等价无穷小？高等数学等价无穷小的几个常用公式，怎么求一个函数的等价无穷小？怎样寻找任意一个函数的等价无穷小代换函数？本文导航高等数学中求极限怎么找一个函数的等价无穷小呢？高数请问该等价无穷小怎么算的？如何求等价无穷小高等数学等价无穷小的几个常用公式怎么求一个函数的等价无穷小？怎样寻找任意一个函数的等价无穷小代换函数？高等数学中求极限怎么找一个函数的等价无穷小呢？这个很难的，可以考虑它的展开式，加上罗必塔法则来找这个很难的，可以考虑它的展开式，加上洛必达法则来找高数请问该等价无穷小怎么算的？等价无穷小替换公式如下 :以上各式可通过泰勒展开式推导出来。 等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。 扩展资料:求极限时，使用等价无穷小的条件：1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。如何求等价无穷小等价无穷小,是指两个在同一过程中的无穷小，它们的比在同一过程中的极限是1.求法就是按定义把它们两个相除。求它们的比的极限。所有求极限的方法都可以用!需要指出的是:你这个题中没指明哪个变化过程:应该是x→0举几个例子(包括你提的这个):后一个例子中，事先不能确定应该是x的几次方，因此用n,最后确定n=2,但极限还不是1.于是想到如下结论，高等数学等价无穷小的几个常用公式当x→0时sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna（1+x)^a-1~ax(a≠0)等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）扩展资料：等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。参考资料来源：百度百科-等价无穷小怎么求一个函数的等价无穷小？方程f(x)?0在(,)12kk上有且只有一个实根,与()()012fkfk?不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件。特别地,方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(,)12kk内,等价于()()012fkfk?,或()01fk?且22121kkakb????,或()02fk?且21222kakkb????。9。闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在axb2??处及区。怎样寻找任意一个函数的等价无穷小代换函数？计算极限时要求加减关系不能用等价无穷小，这说法也不全对，这么说是防止学生乱用公式，因为他们初学未必能掌握好"精度"这个东西其实只要知道泰勒级数展开，就能轻松应付等价无穷小就是泰勒级数展开的特殊情况，它只取头一项，忽略后面的高阶无穷小大部分等价无穷小公式通常都是取1阶但是，当分子或分母是2阶时，这个等价无穷小继续取1阶的话就会导致错误结果，所以应该要改为取2阶；当分子或分母是3阶时，等价无穷小就要取3阶，余数类推例如(e^x-1-x)/x^2，分母是2阶，这里e^x-1-x=(e^x-1)-x=x-x是错误的，但是取e^x-1-x=x^2/2就正确，你会发现它其实就是取泰勒级数的项例如[sin(tanx)-tan(sinx)]/x^7，这个分母是7阶，若你这样展开的话是错误的，sin(tanx)-tan(sinx)~sinx-tanx。这里就是误用等价无穷小公式的地方，你忽略了精度实际上sin(tanx)-tan(sinx)~-x^7/30，所以在展开过程中你不能把7阶以下的项都漏掉，当然7阶以上的可以忽略所以计算这种极限之前，你最好先分别估算一下分子和分母的阶数是什么，然后再计算.标签:
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