多元函数的拉格朗日中值定理求最值，用拉格朗日方程做法？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-09-12 14:36 标签： 多元函数的拉格朗日中值定理
题主可能没有搞清楚拉格朗日乘数法的常规考点，即用于计算区域边界处的驻点。这类题的常考题型（至少我上个月考完的大一微积分考试是这样）是求一个多元函数在某个区域上的最值，而最值点可能是以下三种类型：在区域内部的驻点，不可导点，在区域边界处的驻点。以二元为例，设这个多元函数为 f(x,y) ,设区域D： g(x,y)\leq0 ,处理这类题型大致分为以下步骤:1.求不可导点：对 f(x,y) 求偏导数，找出区域D上的不可导点。2.求区域内部的驻点：这一步与步骤1承接，求出 f_x^{'}(x,y),f_y^{'}(x,y) 后，解方程组 \begin{cases} f_x^{'}(x,y)=0\\ f_y^{'}(x,y)=0\\ \end{cases} 从而求出驻点。3.求出区域边界处的驻点：这一步运用到了拉格朗日乘数法，即构造 F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y) ，解方程组 \begin{cases} F_x^{'}(x,y,\lambda)=0\\ F_y^{'}(x,y,\lambda)=0\\ F_{\lambda}^{'}(x,y,\lambda)=0\\ \end{cases} 从而求出驻点。4.求出步骤1，2，3中得到的点对应的函数值，并加以比较（如果不容易比较可以进行适当放缩），最大的为函数 f(x,y) 在区域D上的最大值，相应地，最小的即为最小值。

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