【立体几何向量夹角公式】求折痕与边的夹角是多少？(见图)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-11-21 09:00 标签： 立体几何向量夹角公式
2023高考一轮复习讲与练
专题38 立体几何中的距离、截面、折叠问题
立体几何中的距离、截面、折叠问题
立体几何中的距离、截面、折叠问题
距离问题
点点距
点面距
截面问题形状面积
截面问题
形状
面积
折叠问题
练高考 明方向
1.（2022·新高考Ⅰ卷T19） 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，所以点A到平面的距离为；
【小问2详解】取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,设平面的一个法向量，则，可取，
设平面的一个法向量，则，可取，
则，所以二面角的正弦值为.
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 (　　)
A． B． C．1 D．
【答案】C
解析：
设球的半径为，则，解得：．
设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离．
3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B?CG?A的大小．
【答案】 (1)见详解；(2)．
【解析】（1）由已知得，,所以，故确定一个平面．
从而四点共面． 由已知得，故平面．
又因为平面,所以平面平面．
作,垂足为．因为平面,平面平面，
所以平面．由已知，菱形的边长为，，
可求得．以为坐标原点，的方向为轴的的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
设平面的法向量为，则 即
所以可取．又平面的法向量可取为，
所以．因此二面角的大小为．
4、(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，菱形的对角线与交于点，，
点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．
( = 1 \* ROMAN I)证明：平面；
( = 2 \* ROMAN II)求二面角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见答案；（Ⅱ）．
【解析】（I）由已知得，,又由得，故．
因此，从而,由,得．
由得．所以，．
于是，故．
又，而，所以．
（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系
则，，，，
，，．
设是平面的法向量，则，即
所以可以取．设是平面的法向量，则，
即，所以可以取．于是
．因此二面角的正弦值是．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明:平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
解析：（1）由已知可得，⊥，⊥，所以⊥平面．
又平面，所以平面⊥平面．
（2）作，垂足为．由（1）得，平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）可得，．又，，所以．又，，故．
可得．则为平面的法向量．设与平面所成角为，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面而积的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析一】根据题意，平面与正方体对角线垂直，记正方体为不妨设平面与垂直，且交于点．平面与平面与分别交于．正方体中心为,则容易证明当从运动到时，截面为三角形且周长逐渐增大:当从运动到时，截面为六边形且周长不变;当从运动到时，截面为三角形且周长还渐减小。我们熟知周长一定的多边形中，正多边形的面积最大，因此当运动到点时，截面为边长为的正大边形，此时截面面积最大，为
【解析二】由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为
所以当时，
7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______。

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