么理解泰勒公式呢？对f(x)这个“曲线”采点：在哪里采点呢？在 x0, x-x0, (x-x0)^2,(x-x0)^3 等处采点，这些点对应的坐标是 f(x0), f'(x0), \frac{1}{2}f''(x0) 等。把这些点“连成线”，就是f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+\frac{1}{2}f''(x-x0)^2+\frac{1}{3!}f'''(x-x0)^3+...如果我们对f(x)这样采点呢？于是我们把泰勒公式写成这样： f(x)=f(x0)+\frac{1}{1.5!}f^{(1.5)}(x0)(x-x0)^{1.5}+\frac{1}{3!}f'''(x0)(x-x0)^{3}+... 行不行呢？正文开始，刚才只是引言……从下面几个角度来类比地思考一下泰勒公式：1，如果给你一个杯子，给你苹果、核桃、大米、沙子、水，让你把这个杯子装满，你要怎么做呢？可以这么做：先把苹果放进去，让苹果“塞满”杯子。但是，这个杯子还有空隙。怎么填满空隙呢？那就把核桃放进去，让核桃“塞满”杯子。然后继续用沙子“塞满”杯子，用水“塞满”杯子。这时候，杯子被塞满了吗？并没有，因为水分子之间是有空隙的，你还可以用更细小的物质来塞满杯子。但更细小的东西也有空隙。所以，杯子永远不可能被真正意义上塞满。2，如果给你一个曲线（很随机的曲线，无法用任何方程表示），用数字来描述这个曲线。怎么做呢？离散化。在曲线上取很多的点，把这些点的坐标记录下来。然后就可以近似地还原它：3，如果给你一个空间中的点，你怎么来描述它呢？用三个数字（三维坐标）来描述。也就是，你要把空间分成三个维度：x，y，z方向。然后，三个数字可以一一对应空间中的所有点。这个过程是什么？可以理解为是“正交化”：x，y，z轴是正交的。对于正交化，还有一些类似的例子：如果让你准确地描述一个你看到的颜色，你要怎么描述呢？答案是，用红绿蓝三原色对应的三个分量来描述，就是说它是多少份的红色、多少份的绿色、多少份的蓝色合起来的，这就是RGB表述法。比如下面这个颜色，它的RGB值是(89,105,188)现在可以回到正题了——泰勒公式：1，泰勒公式是什么呢？给你一个函数，你近似地描述它在x0点附近的值（为了简化，我取x0=0）。你近似地用它在x0处的取值来描述。但是这样太粗糙了。于是你应该看一下x0那个点的斜率，把斜率考虑进来。但是还是有点粗糙，于是你应该把它的二阶导数也考虑进来。这就好比什么呢？这个f(x)是那个杯子，f(x0)是苹果，你先用苹果把杯子塞满。然后f'(x0)是核桃，你再用核桃把杯子塞满。f''(x0)是大米，f'''(x0)是沙子，等等。2，函数是个曲线，是个“复杂”的东西，如果我们能用几个“简单”的东西模拟就好了。就好比我们要记录一条曲线，怎么记录比较方便呢？在曲线上选几个点，把这些点的坐标记录下来，然后把这些点的坐标连起来，就近似地还原出了这个曲线。那么，如果函数是这个“曲线”，我们要记录的“直线”是什么呢？是多项式，多项式看起来比较简单。就是(x-x0), (x-x0)的平方，(x-x0)的三次方……这些多项式比较“简单”。于是，我们令 f(x)=f(x0)+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+... ，其中a1，a2，a3暂时未知的。也就是，我们对f(x)这个“曲线”采点：在哪里采点呢？在 x0, x-x0, (x-x0)^2,(x-x0)^3 等处采点，这些点对应的坐标是 f(x0), f'(x0), \frac{1}{2}f''(x0) 等。把这些点“连成线”，就是f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+\frac{1}{2}f''(x0)(x-x0)^2+\frac{1}{3!}f'''(x0)(x-x0)^3+...3，但是，有个问题可能你比较疑惑：既然是采点，就是可以任意选择间距。比如一个曲线，我们可以这样采点：也可以这样采点：两种采点方法都可以。但是，如果我们对f(x)这样采点呢？于是我们把泰勒公式写成这样： f(x)=f(x0)+\frac{1}{1.5!}f^{(1.5)}(x0)(x-x0)^{1.5}+\frac{1}{3!}f'''(x0)(x-x0)^{3}+... 行不行呢？显然是不行的。为什么不行？因为我们没法求1.5阶导数，没法求1.5的阶乘。我们只能求1阶，2阶，3阶导数，也就是，导数的次数只能是整数。但是，这么说显然说服力不够。因为你想的是，我可以定义1.5阶导数是什么样的，定义1.5的阶乘是什么样的，只要我们定义的合理，照样能把公式写成那个样子。就好比我们定义乘方运算的指数是分数形式、负数的时候是什么样，我们也定义了 x^2=-1 的解是什么样子。我们完全可以按照某种合理的规则，去定义一些“不存在”的东西。所以，如果你只是告诉我，我们只能求1阶导，2阶导，3阶导，没法求1.5阶导，所以没法写成那个样子，那么我的反驳是：只要我定义了1.5阶导是什么样子，我就能写成那个形式。所以，到底是为什么？为什么不能写成1.5阶导、3阶导、4.5阶导……的形式？其实这个问题我也没有想出一个非常有说服力的解释，在网上好像也没查到一个说法。但是我想出了一些我自己的一些理解。如果你有更有说服力的解释，希望你补充在评论区好让我也学习一下。我的解释是这样的：（我分层给出这个解释）1，第一层：如果把f(x)看做一个杯子，我们依次用苹果(x0)、核桃(x-x0)、沙子 (x-x0)^2 、水(x-x0)^3来塞满这个杯子。我们要小心地选择核桃的大小，让核桃的大小正好能卡在苹果留出来的缝隙当中：我们要小心地选择核桃的大小，如果核桃太大，它会把苹果留出来的空隙给“顶开”；如果核桃太小，它会没法填满苹果留出来的空隙：也就是，f(x0)留下来的空隙，只能用(x-x0)的一次方来填充，而不能用1.5次方、0.7次方等别的系数来填充。泰勒展开式中，x0之后的系数，只能是(x-x0)的一次方，而不能是1.5次方、0.7次方。把那个图像x0的位置放大了看：发现只有蓝色的线是正好贴在f(x)上的，而两个青色的线都没有贴住f(x)。而蓝色的线，正好是f(x0)的一阶导数、f(x0)的一次方同样的道理，核桃留下的空隙，只能用大小合适的大米来填充，大米留下的空隙，只能用大小合适的沙子来填充。(x-x0)的一次方留下的空隙，只能用(x-x0)的二次方来填充，而不能是1.7次方、2.5次方。但为什么大小合适的“大米”就是(x-x0)的一次方呢？可以理解为：正交性：(x-x0)的0次方和(x-x0)的1次方和(x-x0)的2次方……都是正交的，也就是下图这样：而(x-x0)的0次方、1.5次方、3次方、4.5次方不是正交的：f(x)=f(x0)+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+... 这个式子可以类比什么呢？类比线性方程组的基础解系：x=c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+... ，其中x1，x2，x3……是正交的（我们可以对x1，x2，x3正交化，让它变成正交的）。如果我们知道了x，想求系数c1, c2, c3……怎么办呢？那就对等式左右左乘 x_i 。比如i=2的时候：x_2^Tx=c_1x_2^Tx_1+c_2x_2^Tx_2+c_3x_2^Tx_3+... 其中右侧的众多项中，只有一项没有被消掉： {\color{red}{x_2^Tx}}=c_1x_2^Tx_1+{\color{red}{c_2x_2^Tx_2}}+c_3x_2^Tx_3+... 这样我们就求出了系数c2。类似地，我们可以求出所有的系数。对于下面的泰勒公式来说，f(x)=f(x0)+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+... 我们可以进行类似左乘的操作：在x0附近的地方，f(x0)是个常数，(x-x0)是无穷小，所以几乎不起作用。而(x-x0)的次方是更加小的无穷小，所以更加不起作用。“起作用”的只有第一项f(x0)。{\color{red}{f(x)}}={\color{red}{f(x0)}}+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+... 我们继续“左乘”：对整个式子求一阶导数：{\color{red}{f'(x)}}=0+{\color{red}{a1}}+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)^2+... 怎么理解这个式子呢？(x-x0)的0次方，也就是f(x0)这一项在求导之后变成了0，(x-x0)的1次方在求导之后变成了常数，(x-x0)的2次方在求导之后变成了(x-x0)的一次方，它是无穷小，而后面的式子求导之后是更小的无穷小。还原到原式以后是：{\color{red}{f(x)}}=f(x0)+{\color{red}{a1(x-x0)}}+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+... 类似地，对整个式子求二阶导数：{\color{red}{f''(x)}}=0+0+{\color{red}{2a2(x-x0)}}+6a3(x-x0)+... {\color{red}{f(x)}}=f(x0)+a1(x-x0)+{\color{red}{a2(x-x0)^2}}+a3(x-x0)^3+... 对这个式子的理解是，(x-x0)的2次方，在求二阶导之后变成了常数，前面的变成了0，后面的仍然是无穷小。刚才说过，(x-x0)的0次方，1次方，2次方……是一组正交的向量，而左乘的操作，就是把这些向量分别“标红”的过程。我们先看基础解系求系数的过程，用下图表示：然后看对泰勒公式左右两侧不求导、求一阶导数、求二阶导数的情况：或者可以进一步理解：对右侧不求导的时候，(x-x0)的0次方项是常数，其他所有项都是无穷小，相当于我们只看x轴的分量。而对右侧求1阶导数的时候，(x-x0)的1次方求导后的结果是常数，(x-x0)的0次方求导之后变成了0，在图像中的信息是：原来的x轴分量消失了，原来的y轴分量变成了x轴分量，原来的z轴分量变成了y轴分量。我们可以这么说：x轴是第一维度，y轴是第二维度，z轴是第三维度。我们在“正交化”的过程中，每次只关注第一维度的值。在不求导的时候，x轴就是第一维度。其他维度的值都“不存在”。求一阶导的时候，所有维度发生了“降落”：第二维度“降落”到第一维度，第三维度“降落”到第一维度。而原来的第一维度，降落为了0（也就是消失了）。维度降落的规则是：求导，多项式的次数-1。这就是为什么必须是(x-x0)的0次方，1次方，2次方……正交，而不是(x-x0)的0次方，1.5次方，4.5次方正交：因为维度降落的规则就是求导，而多项式求导的结果是，指数项减1。所以(x-x0)的指数必须是每次递增1，才能让它们正交。也可以把图画成这样：但是我对我自己的这套解释是不满意的。我解释泰勒展开式的多项式系数是0次方、1次方、2次方……而不是0次方、1.5次方、3次方、4.5次方，我是用求导对应维度下降和正交化来解释的，但是这个解释还是比较牵强：为什么求导会制造出正交的向量？这个我没有给出一个有说服力的解释。所以如果哪位读者有更好的解释，请你在评论区留言。我还有一个推测，不知道是否成立：其实泰勒公式可能也可以写成f(x)=f(x0)+\frac{1}{1.5!}f^{(1.5)}(x0)(x-x0)^{1.5}+\frac{1}{3!}f'''(x0)(x-x0)^{3}+... 但是f(x0)的1.5阶导数不好定义，也不好求，所以就没写成这种形式。但理论上讲，我们可能也可以定义出f(x0)的1.5阶导。当然这只是我的猜测，毫无依据。如果你有一些看法，欢迎在评论区补充。这个问题我在大一学泰勒公式的时候就有这个疑问：为什么展开式是0次方、1次方、2次方？能不能是1.2次方、2.5次方这些？我当时想的是，求导以后，指数降低1，所以我们只能让指数一个一个递增。但这个解释我当时觉得非常牵强，没什么说服力。我前两天想出来一套本文讲的这种解释方法，但感觉还是很乏力。暂时没有什么新的点子了。如果有人能给出更好的解释，请务必补充在评论区，本人感激不尽。

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