怎样解决定积分奇偶性公式的奇偶性问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-31 02:30 标签： 定积分奇偶性公式
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法
一、基本方法
（一）、奇偶函数和周期函数的性质
在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我 们有如下结论
1、 若f X是奇函数（即f X f x），那么对于任意 的常数a，在闭区间
a
a,a 上, f x dx 0。
a
2、 若f x是偶函数（即f x f x），那么对于任意的常数a，在闭区间 a,a
a a
上 f x dx 2 f x dx。
a 0
3、 若f x为奇函数时，f x在 a, a的全体原函数均为偶函数；当f x为偶函
x 数时，f X只有唯一原函数为奇函数即 f t dt .
0
x
事实上：设 f X dx f t dt C，其中C为任意常数。
0
x
当f x为奇函数时， f t dt为偶函数，任意常数C也是偶函数 f x的全体
0
x
原函数0ftdt C为偶函数;
X当f
X
当f x为偶函数时，°ftdt为奇函数，
任意常数C 0时为偶函数
x
0ftdt C既为非奇函数又为非偶函数,
f x的原函数只有唯一的一个原函
x
数即 f t dt是奇函数。
0
4、若f x
4、若f x是以T为周期的函数（即f T x
f x），且在闭区间
0,T上连续可
a T T
积，那么 a f XdX 0 f xdx
5、若f x是以
5、若f x是以T为周期的函数
（即 f T x
fx ），那么 0ft
dt以T为周期
的充要条件是T
的充要条件是
T
f t dt 0
0
事实上：x T xf t dt f t dt
事实上：
x T x
f t dt f t dt
0 0
x T
f t dt
x T
f t dt
0 0
f t dt，由此可得
x T x T
f t dt f t dt f t dt。
0 0 0
（二）、定积分中奇偶函数的处理方法
直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的 性质进行计算即可，但要注意积分区间。
拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶 函数和的形式，则分开积分会简化计算。
拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以
按照如下方法处理：设p x f x f x ， q x f x f x，则
f x 肥 g兰，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。
2
（三）、定积分中周期函数的处理方法
对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函 数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周 期函数定积分的问题。
二、典型例题
例1设f X f在 a,a上连续可积，证明:
（1）若f为奇函数则af x dxa0（2）若f为偶函数，则x dx20af x dx。证明：
（1）若f为奇函数则
a
f x dx
a
0（2）若f为偶函数，则
x dx
20
a
f x dx。
证明：（1）因为f x
x，而
a
f x dx
dx
f x dx
dx
dx
x dx
前一项中令
t x，则
t dt
x dx
a
f x dx
0
, a
, a
所以 f x dx
a
f x dx
a
f x dx
0
(2)因为f xaf x dx0f x dx有 °afxdaf x dx
(2)因为f x
a
f x dx
0
f x dx
有 °afxd
a
f x dx
a
a
t dt
f x dx
a
a
0
a
f x dx
0
f x dx，对前一项中
f x dx，所以
a
f x dx
a
令x t相似的
a
2 f x dx .
0
T为周期，证
a T
f x dx
a
x dx
T
2
T
2
f x dx。
证明:
0
f x dx
a
T
f x dx
0
dx，在上式右端最后一
个积分中，令x
T t则有
dx
t dt
a
f t dt
0
0
f x dx， a
即有
a T
f x dx
dx
f x dx
dx
dx，成立
再证
x dx
T
~2
T
2
dx ,
因为
T
f x dx
0
T
~2
0
x dx
T
f x dx 对于 t f x dx
■2
T
T
~2
x dx
T
T
~2
T dt
f x所以有
t T dt
dx ,
x dx
dx
T
T
~2
dx
T
■2
T
~2
f x dx。
例3求定积分
解：被积函数为偶函数,
例4求定积分I
x4
x2
cosx dx。
x4
x2
cosx dx
x4
2
x cosx dx
sin
8
2 sin1
15
sin xdx，其中n为自然数。
解：注意到sinx是偶函数且以 为周期，因此利用性质可以简化计算
sin xdx n
sin xdx
sin xdx 2n02
sin xdx 2n

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