上下限定积分求导公式方程如何求解？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-04 12:30 标签： 上下限定积分求导公式
定积分的求解其实和上一篇不定积分的求解方法差不多，只是最后要利用牛顿莱布尼茨公式将上下限代入原函数求差值。本文给大家主要介绍牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法这三种方法求解定积分。然后再来介绍一下定积分的应用。这类应用题考察得也比较多。OKK，话不多说，开整！先来说说定积分的由来吧~定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他的一些实际问题。主要用的思想是微元法（元素法）。元素法的一般步骤：①根据问题的具体情况，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]②把区间[a,b]分割为n个小区间，取其中任意一个小区间，求出相应的目标值（面积/体积/弧长等等）。如果这个目标值能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在变量x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为U的元素，记作dU，即dU=f(x)dx③将区间[a,b]上所有的U的元素都累加起来求极限。也就是将所求量U的元素f(x)dx作为被积表达式，在区间[a,b]上做定积分。主要的思想就是 分割，取近似值，求和，取极限定积分的几何意义：其绝对值表示曲线梯形的面积\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\cdot \Delta x_{i}}} 定积分的定义定积分的性质由于公式不太好编辑，就给大家放图片吧定积分的性质可以单独考察选择题也在大题中穿插几条性质的应用，所以大家要了然于心哦~定积分求解方法1：牛顿—莱布尼兹公式求解解题方法：① 根据性质先化简；② 利用之前求不定积分的方法求出原函数；③ 使用牛顿—莱布尼兹公式将上下限代入原函数求差值。很简单的，上例题来练练手第1题 由于被积函数是分段函数，所以我们利用积分的可加性，将其拆分为两个定积分的形式，然后再分别求出其对应的原函数，最后使用牛顿—莱布尼兹公式求出答案。第2题主要根据奇、偶函数在对称区间的定积分性质进行求解，通过这条性质我们可以简化计算。定积分求解方法2：换元积分法由于上一篇不定积分中已经详细介绍了如何用换元积分法求原函数，所以这里咱们就不重复赘述了。（不记得或者没有看过的同学可以在专栏里看一下哦。）求出原函数以后，还是使用牛顿—莱布尼兹公式代入求差值。特别提醒一点：在定积分中，换元必换限！！！换元了，上下限也要跟着变化上例题：第3题 这里先用凑微分法，把sinxdx凑成了dcosx，使函数自变量与积分变量一致。然后再换元，令t=cosx，但换元一定要换限！当然这一题也可以不用换元积分法，直接凑微分就可以再来一个哈~这一题用换元积分法，令 t=\sqrt{x} ，被积函数就简单多了，但同样的，记得换限哦！定积分求解方法3：分部积分法在不定积分也详细讲过，这里咱们就直接上例题吧还记得确定u，v的标准吗？”反对幂指三“，谁在前谁是u。更详细的规则在不定积分一篇中可以看哦定积分的应用1.求平面图形面积几种形式X型求解Y型求解采用数形结合的思想，先画图分析一下，判断类型，找到积分区间，列式求解。（有些可能既属于X型又属于Y型，如上面的例题，择其一求解即可。）2.求旋转体体积由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。这条直线叫做旋转轴．绕x轴旋转得到的旋转体的体积公式绕y轴旋转得到的旋转体的体积公式解题时，主要需要理解旋转体是怎么来的，找到”底面“和”高“。从函数上选择一点做旋转轴的垂线，然后围绕旋转轴旋转一周得到即为”底面“，其面积为 \pi r^{2} ，r 我们可以理解为是f(x)或者 \varphi(y) 。而”高“就是dx或者dy。由此得到体积元素dV，再对区间[a,b]取定积分就是旋转体的体积啦~来看一个例题吧圆锥体是由直角三角形围绕其一条直角边旋转得到的旋转体。如上图建立直角坐标系，三角形OPh围绕x轴旋转一周。因此，”底面“面积为 \pi y^{2} 。”高“为dx。得到体积元素dV，确定上下限，取定积分求解即可。3.计算曲线弧长要求[a,b]区间上曲线的弧长，可以用”以直代曲“的思想。将区间分割为n个小区间，取任意一个小区间[x,x+dx]，当dx→0时，弧长可以用两点之间的距离表示。不过在直角坐标、参数方程、极坐标下的表达方式有些不一样，如下所示：（当然上面求平面图形面积和旋转体体积在不同坐标系下的表示方法也有所不一样，但原理都是一样的。）老规矩，来一个例题感受一下吧~听说由于疫情原因有些学校已经提前放假了，太羡慕了！我也想提前放假回家过年，呜呜呜呜不过一想到他们放假回来以后还要考试，又没有那么羡慕了，哈哈哈哈哈

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