求高数实在学不会怎么办大佬解答一下（需要过程）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-06 10:00 标签： 高数实在学不会怎么办
问题描述：请教大佬们一个高数极限问题?问题：设函数 f(x) 连续，且 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)+xf(x)}{x^2}=2 试求极限： \color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\frac{2+f(x)}{x}=?}} 问题解答：解：由极限的运算法则就得到： \\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\frac{2+f(x)}{x}}}&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{2x+xf(x)}{x^2}\\&=&\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x-\ln(1+2x)+\ln(1+2x)+xf(x)}{x^2}\\&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{2x-\ln(1+2x)}{x^2}+\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)+xf(x)}{x^2}\\&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{2-\frac{2}{1+2x}}{2x}+2\\&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{2}{1+2x}+2\\&=&2+2\\&=&\color{red}{\boxed{4}}\end{eqnarray} 付费咨询简介：好物推荐（20230411）：内容简介本书是同济大学数学系编的《高等数学》第七版，从整体上说与第六版没有大的变化，内容深广度符合“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，适合高等院校工科类各专业学生使用。本次修订遵循“坚持改革、不断锤炼、打造精品”的要求，对第六版中个别概念的定义，少量定理、公式的证明及定理的假设条件作了一些重要修改；对全书的文字表述、记号的采用进行了仔细推敲；个别内容的安排作了一些调整，习题配置予以进一步充实、丰富，对少量习题作了更换。所有这些修订都是为了使本书更加完善，更好地满足教学需要。本书分上、下两册出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容，书末还附有二阶和三阶行列式简介、基本初等函数的图形、几种常见的曲线、积分表、习题答案与提示。出版社： 高等教育出版社ISBN：9787040396638版次：7商品编码：13523742品牌：高等教育出版社（HIGHER EDUCATION PRESS）包装：平装开本：16开出版时间：2014-07-01用纸：胶版纸页数：448字数：500000正文语种：中文
问题描述：已知 n>1 ，求定积分： \int_0^{\pi}\ln(n+\cos \theta)d\theta=? 问题解答：解：记 I=\int_0^{\pi}\frac{\theta\sin\theta}{n+\cos\theta}d\theta ， J=\int_0^{\pi}\frac{\theta\sin\theta}{n-\cos\theta}d\theta ，则 \\ \begin{eqnarray}I&=&\int_0^{\pi}\frac{\theta\sin\theta}{n+\cos\theta}d\theta\\&\overset{\eta=\pi-\theta}{=}&\int_{\pi}^0\frac{(\pi-\eta)\sin\eta}{n-\cos\eta}(-d\eta)\\&=&\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin\eta}{n-\cos\eta}d\eta-\int_0^{\pi}\frac{\theta\sin\theta}{n-\cos\theta}d\theta\\&=&\pi\left(\ln(n-\cos\eta)\right|_0^{\pi}-J\\&=&\pi\ln\frac{n+1}{n-1}-J\end{eqnarray} 即有： I+J=\pi\ln\frac{n+1}{n-1}\hspace{3cm}(1) 又有： \\ \begin{eqnarray}\color{red}{I-J}&=&\int_0^{\pi}\theta\sin\theta\left(\frac{1}{n+\cos\theta}-\frac{1}{n-\cos\theta}\right)d\theta\\&=&\int_0^{\pi}\theta\sin\theta\frac{-2\cos\theta}{n^2-\cos^2\theta}d\theta\\&=&-\int_0^{\pi}\frac{2\theta\sin2\theta}{2n^2-1-\cos2\theta}d\theta\\&\overset{\eta=2\theta}{=}&-\int_0^{2\pi}\frac{\eta\sin\eta}{2n^2-1-\cos\eta}\frac12d\eta\\&=&-\frac12\int_0^{2\pi}\frac{\eta\sin\eta}{2n^2-1-\cos\eta}d\eta\\&=&-\frac12\left(\int_0^{\pi}\frac{\eta\sin\eta}{2n^2-1-\cos\eta}d\eta+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\eta\sin\eta}{2n^2-1-\cos\eta}d\eta\right)\end{eqnarray} 注意到： \\ \begin{eqnarray}\color{red}{\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\eta\sin\eta}{2n^2-1-\cos\eta}d\eta}&\overset{u=2\pi-\eta}{=}&\int_{\pi}^0\frac{(2\pi-u)\sin u}{2n^2-1-\cos u}(-du)\\&=&2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{2n^2-1-\cos u}du-\int_{0}^{\pi}\frac{u\sin u}{2n^2-1-\cos u}du\\&=&2\pi\left(\ln(2n^2-1-\cos u))\right|_0^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{u\sin u}{2n^2-1-\cos u}du\\&=&2\pi\ln\frac{2n^2-1+1}{2n^2-1-1}-\int_{0}^{\pi}\frac{u\sin u}{2n^2-1-\cos u}du\end{eqnarray} 所以就有： \\ \begin{eqnarray}\color{red}{I-J}&=&-\frac12\cdot2\pi\ln\frac{2n^2}{2n^2-2}\\&=&-\pi\ln\frac{n^2}{n^2-1}\hspace{3cm}(2)\end{eqnarray} 联立（1）和（2）可以解得： \\ I=\frac12\left(\pi\ln\frac{n+1}{n-1}-\pi\ln\frac{n^2}{n^2-1}\right)=\pi\ln\frac{n+1}{n}\hspace{3cm}(3) 于是就有： \\ \begin{eqnarray}\color{red}{\int_0^{\pi}\ln(n+\cos\theta)d\theta}&=&\left.\theta\ln(n+\cos\theta)\right|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\theta\cdot\frac{-\sin\theta}{n+\cos\theta}d\theta\\&=&\pi\ln(n-1)+I\\&=&\pi\ln(n-1)+\pi\ln\frac{n+1}{n}\\&=&\color{red}{\pi\ln\frac{n^2-1}{n}}\end{eqnarray} 付费咨询简介：【专业背景】家里蹲大学数学与应用数学专业硕士，数学系副教授。【研究方向】初等数论及应用。【擅长领域】初高中数学学习与数学竞赛辅导，数学分析，初等数论，实变函数等课程的辅导答疑。【注意事项】咨询前请先私信联系，我将在24小时内回复咨询联系！请尽量不要匿名咨询！咨询次数用完未完成咨询将私信解答！好物推荐（20221014）：内容简介　　《数学分析原理（英文版·原书第3版·典藏版）》是一部近代的数学名著，一直受到数学界的推崇。该书作为分析学经典著作，在西方各国乃至我国有着广泛西深远的影响，被许多高校用作数学分析课程的必选教材。　　《数学分析原理（英文版·原书第3版·典藏版）》涵盖了高等微积分学的丰富内容，精彩部分集中在基础拓扑结构、函数序列与函数项级数、多元函数以及微分形式的积分等章节。第3版经过增删与修订，更加符合学生的阅读习惯和思考方式。　　《数学分析原理（英文版·原书第3版·典藏版）》内容精练，结构简明，具有Rudin著作的典型特色，堪称字典意义上的教科书。我们先考虑一个简单的积分 \int_{0}^{\pi}ln(1+cosx)dx . \int_{0}^{\pi}ln(1+cosx)dx=\int_{0}^{\pi}ln(2cos^{2}\frac{x}{2})dx=\int_{0}^{\pi}(ln2+2ln(cos\frac{x}{2}))dx=\pi ln2+4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(cost)dt=\pi ln2+4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sint)dt=-\pi ln2. 然后我们再来看看要求解的积分：楼上的解法后面好像不小心把正负号弄反了。

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