本节我们进行数学物理方程第一单元的复习，主要复习偏微分方程定解问题的写法，主要参考的仍然是[1]，同时参考了[2]。在物理学中，我们经常需要列出各种方程来解决问题，在本系列中，我们只研究用偏微分方程表述的物理学现象。在数学上，我们把偏微分方程本身（不含定解条件）称为泛定方程。而边界条件和初始条件称为定解条件。当然，我们把他们总结在一起，称为定解问题。本节我们主要谈论如何写出正确 的定解问题。本期目录：泛定方程总结初始条件边界条件衔接条件[选读]数学物理方程的分类[选读]5.1泛定方程总结1.均匀弦的横振动若其为自由的振动，则 u_{tt}-a^2u_{xx}=0 ，其中 a^2=T/\rho ，且 a 为波速。若其始终有一个外界的力 F(x,t)=f(x,t)\rho ，其中 f(x,t) 称为力密度，那么其定解问题会变为：u_{xx}-a^2u_{tt}=f(x,t) 2.均匀杆的纵振动其振动方程在形式上与均匀弦的横振动是一致的，只是其参量有所不同。3.电报方程通用的传输线方程为： LCv_{tt}-v_{xx}+(LG+RC)v_t+RGv=0 而当电阻和线间电漏很小的传输线叫做理想传输线：v_{tt}-a^2v_{xx}=0(a=1/LC) 4.均匀薄膜的微小横振动\rho u_{tt}-T(u_{xx}+u_{yy})=0 或者写作：\rho u_{tt}-a^2\triangle_2u=0 当然类似的也可以写出来受迫振动的情形。5.流体力学与声学方程s_{tt}-a^2\triangle_3s=0 6.电磁波方程\vec{E}_{tt}-a^2\triangle_3\vec{E}_{xx}=0,\vec{H}_{tt}-a^2\triangle_3\vec{H}_{xx}=0 7.扩散方程（1）无源的情况u_t-a^2\triangle u=0 （2）强度与浓度无关的情况u_t-a^2\triangle u=F(x,y,z,t) （3）强度与浓度成正比的情况u_t-a^2\triangle u+\frac{\ln 2}{\tau}u=0 8.热传导方程u_t-a^2\triangle u=f(x,y,z,t) 9.稳定浓度方程\triangle u=-F(x,y,z,t) 10.稳定温度分布\triangle u=-F(x,y,z,t) 11.静电场\triangle u=-\frac{1}{\varepsilon_0}\rho 以上的11类是最为简单的，请大家一定要熟悉每一个方程的结果以及物理性质。12.薛定谔方程-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle u+Vu=i\hbar u_t 例1：在弦的横振动问题中，若弦受到一个与速度成正比（比例系数为 -\alpha ）的阻尼，试导出有阻尼振动方程。若除了阻尼力之外，其还受到与弦位移成正比（比例系数为 -k ）的回复力，则此时弦振动满足的方程又是什么？解答：（1）我们可得，此时阻尼力为：F=-\alpha u_t 从而可得，其阻尼振动方程为：u_{xx}-a^2u_{tt}=-\frac{\alpha}{\rho}u_t （2）此时受到的回复力为：F=-ku 从而可得，其振动方程满足：u_{xx}-a^2u_{tt}=-\frac{1}{\rho}(ku+\alpha u_t) [解答完]在例1中，我们给大家强调了一种做这类题目的方法，对于列微分方程的问题，我们需要先找到其属于具体的哪一类方程（一般就来自于前面的12种），然后了解其每项的意义，利用物理意义找出其中某些项的具体表达式，下面我们再做一题：例2：混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度 Q ，即 \frac{dQ}{dt}=-\beta Q ，试推导浇灌后混凝土内的热传导方程。解答：由 Q 的方程可以解出： Q=Q_0e^{-\beta t} ，其与当前温度无关，故可得热传导方程为：u_t-a^2\triangle u=-\frac{Q_0\beta}{c\rho}e^{-\beta t} [解答完]5.2初始条件本节我们主要讨论初始条件，首先是一个引入：在进入物理系的第一门课——力学中，我们处理过一个问题：已知质点的速度（位移的一阶时间导数），或者加速度（位移的二阶时间导数），求其某时刻的位移。这种问题我们常常会用到“积分常数”，换句话来说，就是某时刻（由于时间的奇点无所谓，我们可以认为就是 t=0 时刻）的“初始条件”，而我们会发现：如果已知速度，那么我们只需要一个初始条件；如果已知加速度，则需要两个初始条件（初始的位移以及速度）。我们“似乎”发现了这样一个有意思的事情：如果我们的方程中涉及到的最高次数为 n 次（时间）导数，那么初始条件也就需要 n 个，分别为 u,u_t,u_{tt},u_{t...t} 的初始值。下面我们回到偏微分方程：对于上节所讲的微分方程，我们会发现，其中大多涉及到时间的导数，而这些偏微分方程如果想要有固定的解，就需要给定初始条件，可以类比得到，若其中的时间偏导数的个数为 n 次，那么其需要的初始条件就是 n 个，即 u ， u 关于时间的一阶偏导数 u_t 一直到 n-1 阶偏导数 u_{t^{(n-1)}} 在初始时间的值，下面我们给出一个练习题：例3：一根两端固定，长为 L 弦，若在 x=a 处施加外力，使其偏离平衡位置 l ，求其初始条件。解答：大家可能第一次会写出：u(x,t)|_{t=0}=l ，这是不正确的。注意，我们在偏微分方程中的 u ，应当在任意位置都成立，而不是仅仅写一个“特别点”，同时，我个人建议大家可以考虑先写出泛定方程，因为根据我们前面的讨论，泛定方程确定了初始条件需要的个数，虽然如本题，初始速度为0，并不会产生很大问题，但在解方程的时候，问题就会比较大了，所以希望大家注意！下面是正解：先写出泛定方程：u_{tt}-a^2u_{xx}=0 时间导数是二阶，所以我们应当给出两个初始条件：u(x,t)|_{t=0}=\begin{cases} \frac{xl}{a},0<x<a;\\ \frac{l}{L-a}(L-x),a<x<L. \end{cases} u_t(x,t)|_{t=0}=0 [解答完]最后我们也应当指出，不是所有的偏微分方程都需要给出初始条件，例如静电场的问题，其不随时间变化（所以称之为静电场），其与时间无关，我们不需要给出初始条件。实际上，除了稳定场问题，如我们的外力足够大，以至于初始条件对于问题求解没有用处，这时候也不需要给出初始条件，这种问题称为没有初始条件的问题。5.3边界条件类似于初始条件，我们有时候会涉及到物理学的“背景”，我们称之为边界条件。出于简单讨论，我们先只谈线性的边界条件，主要有三类：（1） u(\vec{r},t)|_\Sigma=f(M,t) （2） \frac{\partial u}{\partial n}|_\Sigma=f(M,t) （3） u+H\frac{\partial u}{\partial n}|_\Sigma=f(M,t) 其中有两个内容需要详细阐释：第一个是方向导数：\frac{\partial u}{\partial n} 这是 u 这个多元函数沿着 \vec{n} 方向的导数，计算方法为：\frac{\partial u}{\partial n}=\vec{n}\cdot\nabla u 例如 如果我们考虑沿 x 方向的边界条件，可得：\vec{n}=\vec{i} ，从而 \frac{\partial u}{\partial n}=u_x .第二个是第三类边界条件，我们可以发现，其刚好就是第一类和第二类的线性叠加，因为其中的 H 应当是一个常数系数。当上面的三种边界条件取到f(M,t)=0 的时候，我们称其为齐次的，否则为非齐次的。下面我们举几个例子：例4：一根长为 L 的匀质杆，做自由振动，其一端固定，一端自由，求其边界条件。如果自由端改为以某个力 f(t) 持续作用呢？解答：注意，杆的振动方程为：u_{xx}-a^2u_{tt}=0 而其中的 u 代表的是位移（注意：不是位置）。固定端无位移，故 u|_{x=0}=0 而自由端不受力，所以：Eu_x|_{x=L}S=f(t)=0\Rightarrow u_x|_{x=L}=0 若改为持续作用的力，只需要修改 x=L 处的边界条件为：u_x=\frac{f(t)}{ES} [解答完]个人认为，例4中最为重要的是 x=L 处的边界条件，有些人或许会简单的认为是因为位移“不随”位置而变，然后给出了一定的解释，其实不如这样使用应力的知识去解决问题，反而更好理解。例5：细杆导热问题中，如果其一端 x=a 处于外界自然冷却，设该点外界温度为 \theta ，求该点的边界问题。解答：这里我们略去写泛定方程，直接看边界问题：自由冷却代表着流出的热流强度（ -ku_x ）和其温度差（ u-\theta ）应当是成正比的，故可以写出：-ku_x|_{x=a}=h(u|_{x=a}-\theta) 整理可得：(u+Hu_{x})|_{x=a}=\theta,H=k/h [解答完]关于偏微分方程的非齐次项（即5.1的 f(x,y,z,t) ）和边界条件的非齐次项（即本节的 f(M,t) ），这里我们给出一个小选读：[选读5-3-1]本选读主要讨论两种非齐次项的区别。在写泛定方程的时候，我们就遇到了这样的问题，看似简单的“受到某个力”，大家却很难以区分具体是否需要在泛定方程中进行讨论，这里给出本人的几个总结：（欢迎大家补充）1.如果谈及“初始有，然后释放/然后取消”体现了初始条件，而不是泛定方程2.如果说一直会受到，那么一般在泛定方程中出现。3.2的一个重要特例：如果是在边界点一直受到，那么出现的是边界条件，但是我需要再次强调的是，其实此时的边界条件可以写成泛定方程中的 \delta 函数问题（类似于下面回谈到的衔接条件），此处不过多涉及。[选读5-3-1完]其实这里应该再谈谈没有边界条件的问题，即无界问题，但是篇幅受限，这里我们先略去，在下一章的达朗贝尔公式处，会进行讨论。5.4衔接条件[选读]在有些情况下，泛定方程也会出现问题，比如研究点出现了跳变，如在弦的一点 x=x_0 处有一个横向力 F(t) ，那么该点会成为弦的折点。对于衔接问题，我们的处理方法也很简单，我们只需要将其分作两段，分别求解，再结合衔接条件确定其中的某些约束即可。分别求解的方法我们将在下一节讲解，本节我们主要探讨衔接条件的写法，我们以一道例题（即上面谈到的）为例，抛砖引玉，希望大家有所了解：例6：自由振动弦在 x=x_0 处受到一个横向力 f(t) ，求其在该点的衔接条件。解答：首先，其虽然为折点，但其位置仍然是连续的，故其位移也是连续的，即：u(x_0^+,t)=u(x_0^-,t) 但是其在该点的受力不在是张力连续，有：f(t)=T\sin\alpha_1+T\sin\alpha_2 而我们知道，对于小振动：\sin\alpha_1\approx\tan\alpha_1\approx u_x(x_0^-,0) ，\sin\alpha_2\approx\tan\alpha_2\approx -u_x(x_0^+,0)从而可得衔接条件为：Tu_x(x_0^-,t)-Tu_x(x_0^+,t)=f(t) [解答完]其实这里需要指出，严格来说，所谓的衔接问题在实际上并不存在，因为实际上存在的是一个很小的过渡区，在过渡区内，其变化率可能很大，但是仍然是连续分布的，所以实际情况上，我们使用了类似于质点的简化方式，用一个点取代了一个区域解答该问题，否则的话，我们可能需要三段分别求的方式才能真正的解决该问题，那么就提高了问题的复杂性。5.5数学物理方程的分类[选读]我们总可以把所有的自变数（包括空间和时间）记为 x_i(i=1,2,3...) ，那么偏微分方程就可以写作：\sum_{j}\sum_{i}a_{ij}u_{x_ix_j}+\sum_kb_ku_{x_k}+cu+f=0 如果这些参数都是 x_i 的函数，那么我们称这个方程是线性的，一般来说，我们本课程均探讨线性偏微分方程，更加作为前提（但是其实没有说的），我们探讨的是二阶线性微分方程。注意当 f=0 时，该方程称为齐次的，否则是非齐次的。对于线性方程，我们可以把定解问题的解看做是几个解的叠加，只要这些部分各自满足的泛定方程和定解条件与前面一致，这叫做叠加原理。下面我们以两个自变数的方程为例，讲解微分方程的分类。对于二阶线性微分方程：a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu+f=0 我们做一个自变数的变换： (x,y)\rightarrow(\xi,\eta) ，可以类似的写出其方程：A_{11}u_{\xi\xi}+2A_{12}u_{\xi\eta}+A_{22}u_{\eta\eta}+B_1u_\xi+B_2u_\eta+Cu+F=0 请大家自己推导系数变换率。可以发现，其仍然是现行的，那么我们取一个微分方程：a_{11}z_x^2+2a_{12}z_xz_y+a_{22}z_y^2=0 的两个特解 \xi,\eta 作为前面的一个函数，那么可以将其化简为：a_{11}(-\frac{z_x}{z_y})^2-2a_{12}(-\frac{z_x}{z_y})+a_{22}=0 于是，如果我们把其看做隐函数，可得：a_{11}(\frac{dy}{dx})^2-2a_{12}\frac{dy}{dx}+a_{22}=0 于是，类似于二次函数的判别式，我们利用其判别式定义偏微分方程的类型：\begin{cases} a_{12}^2-a_{11}a_{22}>0,双曲型;\\ a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0,抛物型;\\ a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0,椭圆型; \end{cases} 可以验证的是：A_{12}^2-A_{11}A_{22}=(a_{12}^2-a_{11}a_{22})(\xi_x\eta_y-\xi_y\eta_x)^2 也就是说，改变自变数，其实是不会影响方程的类型的。参考^数学物理方法（第四版）梁昆淼编，刘法、缪国庆修订^数学物理方法（第三版）吴崇试、高春媛编著