急，数学怎么确定隐函数数？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-11 21:45 标签： 怎么确定隐函数
隐函数实际上是相对于显函数的一个概念。函数的本质是一个定义在数集上的映射，它有两个要素，一个是定义域，也就是自变量 x 的取值范围，一个是对应法则，也就是定义域内的自变量 x 是怎么对应到唯一因变量 y 的。只要有这两个要素的，都可以称为函数。注意，这里的对应法则只要求能说清楚自变量 x 如何对应到因变量 y 就行，但对怎么说清楚并没有要求。有的函数可以显式地写出来，也就是写成 y=f(x) 的形式，其中 f(x) 是关于 x 的表达式。有的函数没有办法显式地写出表达式，但是可以写成 f(x,y)=0 这种形式，这时候我们就称f(x,y)=0 定义了一个隐函数。举个例子 y^y-x=0, (x>1, y>1) ,显然，给一个 x ,有一个唯一的 y 使等式成立，符合函数的定义.
以 f(x, y) = 0 这个隐函数来看一下这个问题。其实，必须清醒地意识到，隐函数的定义很微妙，与普通的自变量、因变量能彻底分离的那种函数有很大的不同。普通函数直接被定义为了集合 A 到 B 上的映射：定义域 A 中任意一个元素都必须能在 B 中找到唯一的象。但是隐函数则不然，如果我们看单位圆的方程 f(x,\ y) = x^2 + y^2 - 1 = 0，可以看到在开区间 (-1,\ 1) 上，任何的一个 x 都有两个互为相反数的 y 与之对应，这与函数的定义是矛盾的。但是我们又很清楚，不含单位圆左右端点 (-1,\ 0) 和 (1,\ 0) 的任意一段劣弧都能确定一个传统的函数。那这该怎么办呢？这个问题就蕴含着隐函数定义的精妙之处！接下来我们谈谈隐函数是怎么定义的。在方程 f(x,\ y) = 0 的曲线上任取一个点 A = (x_0,\ y_0)，在 A 点某个充分小的邻域 O(A,\ \rho) 内，凡是满足方程 f(x,\ y) = 0 的那些点，其 x 与 y 具有函数关系。说得通俗点就是被 A 点的邻域 O(A,\ \rho) 截取的那部分曲线是可构成函数的。所以，隐函数是曲线的某个部分上出现的，曲线还有其他的某些片段是不符合隐函数要求的。换言之，隐函数不再是定义在一个完整全区间上的函数了，它变成了一个二维曲线上局部性质，这也正是我们之前说的特殊圆弧构成函数关系的一种精细刻画。我们这儿特意说明一个案例。我们看单位圆的某个部分是否满足隐函数存在的要求。首先看左端点，可以发现，无论你把左端点这一点处的邻域半径取得多么小，最终都截取不到一个满足一对一要求的曲线片段；同样的道理也对右端点成立。但是如果我们看上端点 (0,\ 1)，你就会发现，只要让邻域半径 \rho \leq \sqrt{2}，那么截取出来的单位圆的片段就能满足函数定义。白色的圆是上端点的最大可满足邻域，再大就会截取出优弧，产生非函数曲线。所以，隐函数的精髓在于用小的邻域去截取曲线，关键在于截取，而不在于映射！所以，凡是在函数曲线上某点发生了 x方向上的往复的曲线，其往复点附近的任意小的邻域都一定会截取出曲线的往复部分。换言之，哪怕往复点的邻域取得再小，往复性都会被带到邻域里面去，从而在这个邻域内发生一对多的现象。那么这种往复点有什么数学特点呢？（假如 f(x,\ y) 有连续偏导数）。特点很明显，那就是在这一点，曲线的切线是竖直的，比如单位圆在 (-1,\ 0) 和 (1,\ 0) 两点出的切线就是竖直的，用数学语言描述就是 f_y(x_0,\ y_0) = 0。剔除了这种点，基本上就可以判断方程在某点处是不是具有函数对应关系了。回去翻翻书，是不是隐函数定义里有这么一个规则呢？本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布显函数是形如 \[y = \sin x,y = \ln x + \sqrt {{x^2} - 1} \] 的函数，显函数的特点是函数（因变量）的符号 y 在等号的左边，含有自变量的式子在等号的右边。但是有一类函数却不是这么表示的，比如 \[x + {y^3} - 1 = 0\] ，上述等式中的 x 与 y 也具有函数关系，也就是一对一或多对一的关系，但是并没有把函数和自变量分开写在等号两边。也就是说，有些函数关系由某个具体的方程（比如 \[x + {y^3} - 1 = 0\] ）给出，不是我们通常看到的 y=f(x) 的形式，注意这个方程依然使 x,y 之间具有函数关系，为了和显函数区别，就叫做隐函数。之所以不把隐函数写成显函数的形式，比如把 \[x + {y^3} - 1 = 0\] 改写为 \[y = \sqrt[3]{{1 - x}}\] ，是因为有些隐函数改写成显函数非常困难或不可能。

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