已知两个已知正整数n的正因数和n的3次方末三位相同，且n除以11的馀数是1，请问n最小是多少？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-04-16 14:53 标签： 已知正整数n的正因数

若3m与3n的末两位数字都相同，必须且只需3m-3n是100的倍数．即3m-3n=3n（3m-n-1）是100的倍数．又（3n，100）=1，所以3m-n-1是100的倍...
若3m与3n的末两位数字都相同，必须且只需3m-3n是100的倍数．即3m-3n=3n（3m-n-1）是100的倍数．又（3n，100）=1，所以3m-n-1是100的倍数，即只需3r（=3m-n）的末两位数字是01．由于3r的末位数字是1，所以r一定是4的倍数．令r=4t（t是正整数）所以3r=34t=81t的末两位数字是01．经试算可知：811末两位数字是81；812末两位数字是61；813末两位数字是41；814末两位数字是21；815末两位数字是01；当t=5时，81t的末两位数字是01．所以当t=5时，r=4t取得最小值是20，也就是m-n的最小值是20．答：m-n的最小值是20．这是答案，求解释，我看不懂
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末三位数字相同，则差3^m-3^n=3^n[3^(m-n)-1]能被1000整除.由于3^n不能被1000整除，那么3^(m-n)-1能被1000整除，所以3^(m-n)末位数为1,由于3^4=81，而3,3^2,3^3末位数都不是1，所以3^(m-n)=81^k，k为正整数。m-n=4k。(81^k-1)/(81-1)=1+81+81^2+…+81^(k-1)。81^k-1=80*[1+81+…+81^(k-1)]，它能被1000整除。8*[1+81+…+81^(k-1)]能被100整除这样，能被25整除。如果只看个位，一共是k个1,即个位数的总和为k，而1+81+…+81^(k-1)能被5整除，那么总和的个位数能被5整除，所以k也能被5整除。设k=5p，p为整数，81^k=81^5p=(81^5)^p。而81^5=3486784401，对于千位以上，不影响最后乘积的后三位。所以只看401^p被1000除余1即可。(401^p-1)/(401-1)=1+401+401^2+…+401^(p-1)401^p-1=400*[1+401+…+401^(p-1)]，能被1000整除。2*[1+401+…+401^(p-1)]能被5整除即1+401+…+401^(p-1)能被5整除。很明显，每项个位数都是1，一共p个，总和的个位数字跟p的个位数字相同，所以p能被5整除。而且只要p是5的倍数，就满足401^p-1能被1000整除。如果p=5q，q为正整数，那么k=5p=25q，m-n=4k=100q。取最小的q=1，那么m-n最小为100。验证一下，401^5=10368641602001，刚好被1000除余1.这样(81^5)^5末三位数跟401^5相同，为001，即3^(m-n)=3^(4*5*5)=3^100末三位数为001。对于任意一个3^n，乘上末三位数为001的3^(m-n)，其结果3^m的末三位与3^n显然相同。
找规律! 从3^5开始看起(前面的只有2位数),末3位分别是: 243 729 187 561 683 049 147 441 323 969 907 721 ... 从上面排列可以看出,末位数是4位1循环, 十位数每列递增相同(如第一列递增4), 故每递增5行末2位相同, 故第6行第一列末两位必然是43,这个数是3^25,算得末3位为443, 于是百位递增为2, 故每递增25行末3位相同, 即3^m应当与3^(m+100k)末3位相同,其中k∈Z 故m-n最小值为100
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