f(x)=(x^3)sinx利用泰勒公式求F(0)的6阶导数_百度作业帮
f(x)=(x^3)sinx利用泰勒公式求F(0)的6阶导数
f(x)=(x^3)sinx利用泰勒公式求F(0)的6阶导数
sinx=x-x^3/6+O(x^5)x^3(sinx)=x^4-x^6/6+O(x^8)只有x^6的系数对f^(6)有贡献所以f^(6)(0)=-6!/6=-120设f(x)在x=0处二阶可导,且极限(sinx+xf(x))/x^3=0,(x→0),求f(0),f'(0),f''(0)._百度作业帮
设f(x)在x=0处二阶可导,且极限(sinx+xf(x))/x^3=0,(x→0),求f(0),f'(0),f''(0).
设f(x)在x=0处二阶可导,且极限(sinx+xf(x))/x^3=0,(x→0),求f(0),f'(0),f''(0).
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&>&&>&数值分析第五版习题答案
数值分析第五版习题答案_23500字
1．设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。
e*x*?x?x*x*
而lnx的误差为e?lnx*??lnx*?lnx?e*
解：近似值x的相对误差为?=er?
进而有?(lnx*)??
2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。解：设f(x)?x，则函数的条件数为Cp?|
又?f'(x)?nx
又??r((x*)n)?Cp??r(x*)且er(x*)为2
??r((x*)n)?0.02n
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x1?1..031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.解：x1?1.1021是五位有效数字；
*x2?0.031是二位有效数字；*x3?385.6是四位有效数字；*x4?56.430是五位有效数字；*x5?7?1.0.是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)x1?x2?x4,(2)x1x2x3,(3)x2/x4.其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。解：
?(x1*)??10?4
?(x2)??10?3
?(x3)??10?1
?(x4)??10?3
?(x5)??10?1
(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4)
??10?4??10?3??10??10?3
(2)?(x1x2x3)
*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)
??0.031??10?1?0.031?385.6??10?4??385.6??10?3
(3)?(x2/x4)
x2?(x4)?x4?(x2)
0.031??10?3?56.430??10?3
56.430?56.430
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为V?
则何种函数的条件数为
R?V'R?4?R2
3V?R3??r(V*)?Cp??r(R*)?3?r(R*)
又??r(V*)?1
故度量半径R时允许的相对误差限为?r(R*)?6．设Y0?
28，按递推公式Yn?Yn?11
（n=1,2,…）
100。若取?27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？
解：?Yn?Yn?1?
Y98Y98?Y97?
依次代入后，有Y100?Y0?100
即Y100?Y0?，
?27.982,?Y100?Y0?27.982
??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3
?Y100的误差限为?10?3。
7．求方程x?56x?1?0的两个根，使它至少具有4
?27.982）。解：x?56x?1?0，
故方程的根应为x1,2?28?
故x1?28??28?27.982?55.982
位有效数字x2?28??
??0.017863
x2具有5位有效数字
8．当N充分大时，怎样求
dx?arctan(N?1)?arctanN1?x2
设??arctan(N?1),??arctanN。则tan??N?1,tan??N.
1?N1?x2dx????
?arctan(tan(???))
1?tan??tan?N?1?N
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？解：正方形的面积函数为A(x)?x
??(A*)?2A*??(x*).
当x*?100时，若?(A*)?1,则?(x*)?
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm10．设S?
gt，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t增加时S的212
绝对误差增加，而相对误差却减少。解：?S?
??(S*)?gt2??(t*)
当t*增加时，S*的绝对误差增加
gt2??(t*)?
*2g(t)2?(t*)?2*
当t*增加时，?(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。11．序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),
，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
?1.41（三位有效数字）
??(y0*)??10?2
又?yn?10yn?1?1
?y1?10y0?1??(y1*)?10?(y0*)
又?y2?10y1?1
??(y2*)?10?(y1*)??(y2*)?102?(y0*)......
??(y10*)?1010?(y0*)1
计算到y10时误差为
?108，这个计算过程不稳定。2
，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
解：设y?(x?1)，
，x*?1.4，则??x*???10?1。
2计算y值，则
??y*????????????????
??????????????y*??x*?
若通过(3?计算y值，则
??y*???????(3?2x*)2???x*?6
????????????y*??x*???????????
计算y值，则1
??y*??????????????????
????????????????y*??x*?
计算后得到的结果最好。,求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多
．f(x)?ln(x?
大？若改用另一等价公式。ln(x?计算，求对数时误差有多大？
f(x)?ln(x,?f(30)?ln(30
设u?y?f(30)则u????????
???u*??????4
??y*?????????????
??u*?0.0167
???????????????3
若改用等价公式
ln(x???ln(x?
则f(30)??ln(30?此时，
??y*??????????
59.9833???????????7
第二章插值法
1．当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。解：
x0?1,x1??1,x2?2,
f(x0)?0,f(x1)??3,f(x2)?4;l0(x)?l1(x)?l2(x)?
(x?x1)(x?x2)1
??(x?1)(x?2)
(x0?x1)(x0?x2)2(x?x0)(x?x2)1
?(x?1)(x?2)
(x1?x0)(x1?x2)6
(x?x0)(x?x1)1
?(x?1)(x?1)
(x2?x0)(x2?x1)3
则二次拉格朗日插值多项式为
L2(x)??yklk(x)
??3l0(x)?4l2(x)
??(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)
23537?x2?x?623
2．给出f(x)?lnx的数值表
0.4-0.916291
0.5-0.693147
0.6-0.510826
0.7-0.356675
0.8-0.223144
用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。解：由表格知，
x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,x3?0.7,x4?0.8;f(x0)??0.916291,f(x1)??0.693147f(x2)??0.510826,f(x3)??0.356675f(x4)??0.223144
若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)，则0.5?0.54?0.6
l1(x)?l2(x)?
??10(x?0.6)x1?x2
??10(x?0.5)x2?x1
L1(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)
?6.93147(x?0.6)?5.10826(x?0.5)?L1(0.54)??0..620219
若采用二次插值法计算ln0.54时，
l0(x)?l1(x)?l2(x)?
(x?x)(x?x)
?50(x?0.5)(x?0.6)
(x0?x1)(x0?x2)
(x?x)(x?x)
??100(x?0.4)(x?0.6)
(x1?x0)(x1?x2)
(x?x0)(x?x1)
?50(x?0.4)(x?0.5)
(x2?x0)(x2?x1)
L2(x)?f(x0)l0(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)
??50?0.916291(x?0.5)(x?0.6)?69.3147(x?0.4)(x?0.6)?0.(x?0.4)(x?0.5)
?L2(0.54)??0..615320
3．给全cosx,0?x?90的函数表，步长h?1??(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当0?x?90时，令f(x)?cosx取x0?0,h?(
令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400则x5400?
当x??xk,xk?1?时，线性插值多项式为
L1(x)?f(xk)
插值余项为
x?xk?1x?xk
xk?xk?1xk?1?xk
R(x)?cosx?L1(x)?
f??(?)(x?xk)(x?xk?1)2
又?在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx??0,1?，故计算中有误差传播过程。
??(f*(xk))??10?5
x?xk?1x?xk?1
R2(x)??(f*(xk))??(f*(xk?1))
xk?xk?1xk?1?xk??(f*(xk))(
x?xk?1x?xk?1
xk?xk?1xk?1?xk
??(f*(xk))(xk?1?x?x?xk)
??(f*(xk))?总误差界为
R?R1(x)?R2(x)
(?cos?)(x?xk)(x?xk?1)??(f*(xk))21
??(x?xk)(xk?1?x)??(f*(xk))211
??(h)2??(f*(xk))22
?1.06?10?8??10?5
4．设为互异节点，求证：（1）
(k?0,1,?,n);
?x)klj(x)?0
(k?0,1,?,n);
（1）令f(x)?x
若插值节点为xj,j?0,1,?,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)?
插值余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)??n?1(x)
?f(n?1)(?)?0?Rn(x)?0
??xkl(x)?xjj
(k?0,1,?,n);
(2)?(xj?x)klj(x)
??(?Ckjxij(?x)k?i)lj(x)
??C(?x)(?xijlj(x))
由上题结论可知
i?0ni?原式??Cki(?x)k?ixi
5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：
1maxf(x)?(b?a)2maxf??(xa?x?ba?x?b8
解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为
L1(x)?f(x0)
=?f(a)x?x1x?x0?f(x1)x0?x1x?x0x?bx?a?f(b)a?bx?a
又?f(a)?f(b)?0
插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1)2
?f(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1)2
又?(x?x0)(x?x1)
2?1????(x?x0)?(x1?x)???2?
1?(x1?x0)2
1?maxf(x)?(b?a)2maxf??(xa?x?ba?x?b8
6．在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为?6xx
1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)3!
1?R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)?4?x?46R2(x)?
设步长为h，即xi?1?xi?h,xi?1?
1343?R2(x)?e4?eh.627若截断误差不超过10，则?
R2(x)?10?6
?h?0.0065.7．若yn?2,求?yn及?yn.，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。n44
?4yn?(E?1)4yn
?4???(?1)j??E4?jyn
4?4???(?1)j??y4?n?j
?4???(?1)j??24?j?yn
?(2?1)4yn4
24?yn?(E?E)yn
?(E)(E?1)4yn
8．如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k阶差分?1244
。?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?1f(x)?0（l为正整数）
解：函数f(x)的Taylor展式为
f(x?h)?f(x)?f?(x)h?
其中??(x,x?h)11(m)1f??(x)h2???f(x)hm?f(m?1)(?)hm?12m!(m?1)!
又?f(x)是次数为m的多项式
?f(m?1)(?)?0
??f(x)?f(x?h)?f(x)
?f?(x)h?11(m)f??(x)h2???f(x)hm
??f(x)为m?1阶多项式
?2f(x)??(?f(x))
??2f(x)为m?2阶多项式
依此过程递推，得?f(x)是m?k次多项式k
??mf(x)是常数
?当l为正整数时，
?m?1f(x)?0
9．证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk
?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk
?fk?1gk?1?fkgk?1?fkgk?1?fkgk
?gk?1(fk?1?fk)?fk(gk?1?gk)
?gk?1?fk?fk?gk
?fk?gk?gk?1?fk
10．证明n?1n?1?f?gk
k?0k?fngn?f0g0??gk?1?fkk?0
证明：由上题结论可知
fk?gk??(fkgk)?gk?1?fk
??(?(fkgk)?gk?1?fk)
???(fkgk)??gk?1?fk
??(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk
?(f1g1?f0g0)?(f2g2?f1g1)???(fngn?fn?1gn?1)
?fngn?f0g0
??fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0k?0n?1n?1
11．证明??
2n?12yj??yn??y0n?1
j?0n?1yj??(?yj?1??yj)j?0
?(?y1??y0)?(?y2??y1)???(?yn??yn?1)
12．若f(x)?a0?a1x???an?1x
证明：n?1?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn，?j?1nxk?0,0?k?n?2;j???1f?(xj)?n0,k?n?1
证明：?f(x)有个不同实根x1,x2,?,xn
且f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn
?f(x)?an(x?x1)(x?x2)?(x?xn)
令?n(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn)
则?j?1nnxkxkjj???(xj)f?(xj)j?1an?n
?(x)?(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?(x?x1)(x?x3)?(x?xn)而?n
???(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)
?(xj)?(xj?x1)(xj?x2)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)??n
令g(x)?x,k
jg?x1,x2,?,xn????(xj)j?1?nn
j则g?x1,x2,?,xn????(xj)j?1?nn
n?j?1nxk1j?g?x1,x2,?,xn?f?(xj)an
??j?1xk?0,0?k?n?2;j???1f?(xj)?n0,k?n?1
13．证明n阶均差有下列性质：
（1）若F(x)?cf(x)，则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;
（2）若F(x)?f(x)?g(x)，则F?x0,x1,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.证明：
f(xj)（1）?f?x1,x2,?,xn???j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
F(xj)F?x1,x2,?,xn???j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
cf(xj)??j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
f(xj)?c(?(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn
?cf?x0,x1,?,xn?
(2)?F(x)?f(x)?g(x)
F(xj)?F?x0,?,xn???j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
f(xj)?g(xj)??j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
f(xj)??j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
g(xj)+?(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn
?f?x0,?,xn??g?x0,?,xn?
???2,2,?,2F2,2,?,214．f(x)?x?x?3x?1,求F?及????。
解：?f(x)?x?x?3x?1
若xi?2,i?0,1,?,8i74
f(n)(?)则f?x0,x1,?,xn??n!
f(7)(?)7!?f?x0,x1,?,x7????17!7!
f(8)(?)f?x0,x1,?,x8???08!
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)
若x?[xk,xk?1]，且插值多项式满足条件
?(xk)?f?(xk)H3(xk)?f(xk),H3
?(xk?1)?f?(xk?1)H3(xk?1)?f(xk?1),H3
插值余项为R(x)?f(x)?H3(x)
由插值条件可知R(xk)?R(xk?1)?0
且R?(xk)?R?(xk?1)?0
?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2
其中g(x)是关于x的待定函数，
现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点，作函数
?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)2(t?xk?1)2
根据余项性质，有
?(xk)?0,?(xk?1)?0
?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2
?f(x)?H3(x)?R(x)
?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)2?2(t?xk?1)(t?xk)2]??(t)?f?(t)?H3
??(xk?1)?0
由罗尔定理可知，存在??(xk,x)和??(x,xk?1)，使
??(?1)?0,??(?2)?0
即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理，???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点，
故???(t)在(xk,xk?1)内至少有三个互异零点，
依此类推，?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。
记为??(xk,xk?1)使
?(4)(?)?f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0
又?H3(4)(t)?0
f(4)(?)?g(x)?,??(xk,xk?1)4!
其中?依赖于x
f(4)(?)?R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)2
分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k?0,1,?,n)，设步长为h，即xk?x0?kh,k?0,1,?,n在小区间[xk,xk?1]上
R(x)?f(4)(?)
4!(x?xk)2(x?xk?1)2
?R(x)?1f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2
4!(x?xk)2(xk?1?x)2maxa?x?bf(4)(x)
4![(xk?1?x
2)2]2maxa?x?bf(4)(x)
24h4maxa?x?bf(4)(x)
384maxa?x?bf(4)(x)
16．求一个次数不高于4次的多项式P
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?0,P(2)?0
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
1H3(x)??yj?j(x)??1mj?j(x)
?0(x)?(1?2x?x0
?(1?2x)(x?1)2
1(x)?(1?2x?x)(0)2
?0(x)?x(x?1)2
?1(x)?(x?1)x2x），使它满足（
?H3(x)?(3?2x)x2?(x?1)x2??x3?2x2
设P(x)?H3(x)?A(x?x0)(x?x1)
其中，A为待定常数22
?P(x)??x3?2x2?Ax2(x?1)2
2从而P(x)?17．设f(x)?1/(1?x)，在?5?x?5上取n?10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，
计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。
若x0??5,x10?5
则步长h?1,
xi?x0?ih,i?0,1,?,10
在小区间[xi,xi?1]上，分段线性插值函数为
Ih(x)?x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)xi?xi?1xi?1?xi
11?(x?x)i1?xi21?xi?12?(xi?1?x)
各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为
当x??4.5时，f(x)?0.0471,Ih(x)?0.0486
当x??3.5时，f(x)?0.0755,Ih(x)?0.0794
当x??2.5时，f(x)?0.1379,Ih(x)?0.1500
当x??1.5时，f(x)?0.3077,Ih(x)?0.3500
当x??0.5时，f(x)?0.8000,Ih(x)?0.7500
maxf(x)?Ih(x)?maxf??(?)xi?x?xi?18?5?x?5
?2x?f?(x)?,22(1?x)又?f(x)?
6x2?2f??(x)?(1?x2)3
f???(x)?(1?x2)4
令f???(x)?0
得f??(x)的驻点为x1,2??1和x3?0
1f??(x1,2)?,f??(x3)??22
1?maxf(x)?Ih(x)??5?x?54
18．求f(x)?x在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。解：
在区间[a,b]上，x0?a,xn?b,hi?xi?1?xi,i?0,1,?,n?1,2h?maxhi0?i?n?1
?函数f(x)在小区间[xi,xi?1]上分段线性插值函数为Ih(x)?
?x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)xi?xi?1xi?1?xi12[xi(xi?1?x)?xi?12(x?xi)]hi
1maxf(x)?Ih(x)?maxf??(?)?hi2xi?x?xi?18a???b
?f?(x)?2x,f??(x)?2
?maxf(x)?Ih(x)?a?x?b4
19．求f(x)?x在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：
在[a,b]区间上，x0?a,xn?b,hi?xi?1?xi,i?0,1,?,n?1,
令h?maxhi0?i?n?14
?f(x)?x4,f?(x)?4x3
?函数f(x)在区间[xi,xi?1]上的分段埃尔米特插值函数为
?(x?xi?12x?xi(1?2f(xi)xi?xi?1xi?1?xix?xi2x?xi?1(1?2f(xi?1)xi?1?xixi?xi?1x?xi?12(x?xi)f?(xi)xi?xi?1x?xi2(x?xi?1)f?(xi?1)xi?1?xi
xi4?3(x?xi?1)2(hi?2x?2xi)hi
xi?14?3(x?xi)2(hi?2x?2xi?1)hi
4xi3?2(x?xi?1)2(x?xi)hi
4xi?13?2(x?xi)2(x?xi?1)hi
f(x)?Ih(x)
1(4)f(?)(x?xi)2(x?xi?1)2
1h?maxf(4)(?)(i4
又?f(x)?x4
?f(4)(x)?4!?24
?maxf(x)?Ih(x)?max?a?x?b0?i?n?11616
20．给定数据表如下：
Yj0.250.770.390.080.530.7280试求三次样条插值，并满足条件：
(1)S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868;
(2)S??(0.25)?S??(0.53)?0.
h0?x1?x0?0.05
h1?x2?x1?0.09
h2?x3?x2?0.06h3?x4?x3?0.08??j?
??1?hj?1hj?1?hj,?j?hjhj?1?hj533,?2?,?3?,?4?11457
?1?924,?2?,?3?,?0?11457
f(x1)?f(x0)f?x0,x1???0.
f?x1,x2??0.8533
f?x2,x3??0.7717
f?x3,x4??0.7150
(1)S?(x0)?1.0000,S?(x4)?0.6868
d0?6(f?x1,x2??f0?)??5.5200h0
f?x1,x2??f?x0,x1???4.
f?x2,x3??f?x1,x2???3.
f?x3,x4??f?x2,x3???2.d1?6d2?6d3?6
d4?6(f4??f?x3,x4?)??2.1150h3
12M0由此得矩阵形式的方程组为
1M2??3.0?2.M4
求解此方程组得
M0??2..4643
M2??1...6539
?三次样条表达式为
(xj?1?x)3(x?xj)3
S(x)?Mj?Mj?16hj6hj
Mjhj2xj?1?xMj?1hj2x?xj?(yj?)?(yj?1?(j?0,1,?,n?1)6hj6hj
?将M0,M1,M2,M3,M4代入得
??6.?x)3?4.8810(x?0.25)3?10.?x)?10.9662(x?0.25)??x??0.25,0.30?
??2.?x)3?1.9098(x?0.30)3?6.?x)?6.9544(x?0.30)???x??0.30,0.39?S(x)??33??2.?x)?2.2422(x?0.39)?10.?x)?10.9662(x?0.39)?x??0.39,0.45????1.?x)3?1.3623(x?0.45)3?8.?x)?9.1087(x?0.45)???x??0.45,0.53?
(2)S??(x0)?0,S??(x4)?0
d0?2f0???0,d1??4..2640
d3??2.f4???0
由此得矩阵开工的方程组为
?32???M1?????4.3157
?55??M2????3.2640?
2??M3?????2.4300??
求解此方程组，得
M0?0,M1??1.8809
又?三次样条表达式为
S(x)?M(xj?1?x)3xj)3
jhjxj?1?xM2
?(yj?1hjx?xj
j?6)h?(yj?1?j6hj
将M0,M1,M2,M3,M4代入得
??6.2697(x?0.25)3?10(0.3?x)?10.9697(x?0.25)??x??0.25,0.30?
??3.?x)3?1.5956(x?0.3)3?6.?x)?6.9518(x?0.30)???x??0.30,0.39??S(x)??33??2.?x)?2.8622(x?0.39)?10.?x)?11.1903(x?0.39)?x??0.39,0.45????2.?x)3?8.?x)?9.1(x?0.45)???x??0.45,0.53?
21．若f(x)?C
b22?a,b?,S(x)是三次样条函数，证明：b2
a(1)??f??(x)?dx???S??(x)?dxa
???f??(x)?S??(x)?ab2dx?2?S??(x)?f??(x)?S??(x)?dxab2
(2)若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n)，式中xi为插值节点，且a?x0?x1???xn?b，则?b
aS??(x)?f??(x)?S??(x)?dx
?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)?
b?f??(x)?S??(x)?a2ba2bb2dx2ba?f??(x)?ababdx???S??(x)?dx?2?f??(x)S??(x)dx2baa?f??(x)?dx???S??(x)?dx?2?S??(x)?f??(x)?S??(x)?dx2从而有?a?f??(x)?
adx???S??(x)?dxa2bab2?f??(x)?S??(x)?dx?2?S??(x)?f??(x)?S??(x)?dx
第三章函数逼近与曲线拟合
1．f(x)?sin
解：?2x，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式B1(f,x)及B3(f,x)。?f(x)?sin?
伯恩斯坦多项式为
kBn(f,x)??f()Pk(x)nk?0
其中Pk(x)???x(1?x)
当n?1时，n?n??k?kn?k
?1?P0(x)???(1?x)?0?
?B1(f,x)?f(0)P0(x)?f(1)P1(x)
?1??????(1?x)sin(?0)?xsin22?0?
?1?P0(x)???(1?x)3
?1?22P(x)?1??x(1?x)?3x(1?x)?0?
?3?P2(x)???x2(1?x)?3x2(1?x)?1?
?3?3P3(x)???x?x3
k?B3(f,x)??f(Pk(x)nk?0
?0?3x(1?x)2?sin
?3?6?3x2(1?x)?sin?3?x3sin?232x(1?x)2?x(1?x)?x3
5?3623?x?x?x222
?1.5x?0.402x2?0.098x3
2．当f(x)?x时，求证Bn(f,x)?x
若f(x)?x，则
kBn(f,x)??f()Pk(x)nk?0n
k?n?k????x(1?x)n?k
kn(n?1)?(n?k?1)kx(1?x)n?k
n(n?1)?[(n?1)?(k?1)?1]k??x(1?x)n?k
(k?1)!k?1??
?n?1?kn?k???x(1?x)?k?1?k?1?
n?n?1?k?1(n?1)?(k?1)?x???x(1?x)
k?1?k?1?nn
?x[x?(1?x)]n?1
3．证明函数1,x,?,x线性无关
若a0?a1x?a2x???anx?0,?x?R
分别取x(k?0,1,2,?,n)，对上式两端在[0,1]上作带权?(x)?1的内积，得k2nn
?1??a??0?1???0???a??0?
??????1????
????????1??????1????an??0?2n?1???此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，?只有零解a=0。
?函数1,x,?,xn线性无关。
4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f?,f与f2：
(1)f(x)?(x?1)3,x?[0,1]
(2)f(x)?x?1,2
(3)f(x)?xm(1?x)n,m与n为正整数，
(4)f(x)?(x?1)10e?x
(1)若f(x)?(x?1)3,x?[0,1]，则
f?(x)?3(x?1)2?0
?f(x)?(x?1)3在(0,1)
内单调递增f??maxf(x)0?x?1
?max?f(0),f(1)?
max?0,1??1
f??maxf(x)0?x?1
?max?f(0),f(1)?
max?0,1??1
f?(?(1?x)dx)016122
1172?[(1?x)]07
?0,1?，则2
2(2)若f(x)?x?f
f??maxf(x)?0?x?11
11?21(x?)dx22
1?(?f(x)dx)?[?(x?)dx2
(3)若f(x)?xm(1?x)n,m与n为正整数当x??0,1?时,f(x)?0
f?(x)?mxm?1(1?x)n?xmn(1?x)n?1(?1)?xm?1(1?x)n?1m(1?当x?(0,n?mx)mm)时,f?(x)?0n?m
m?f(x)在(0,内单调递减n?m
m当x?(,1)时,f?(x)?0n?m
m?f(x)在(,1)内单调递减。n?
x?(m,1)f?(x)?0n?m
f??maxf(x)?0?x?1
?m??max?f(0),f(?n?m??
1??f(x)dx01??xm(1?x)ndx0
??2(sin2t)m(1?sin2t)ndsin2t0
??2sin2mtcos2ntcost?
fn!m!(n?m?1)!2?[?x(1?x)dx0
4m4n212m2n1212??[?2sintcostd(sint0
?[?22sin04m?1tcos4n?1tdt]12
?(4)若f(x)?(x?1)10e?x当x??0,1?时，f(x)?0
f?(x)?10(x?1)9e?x?(x?1)10(?e?x)?(x?1)9e?x(9?x)
?f(x)在[0,1]
内单调递减。f??maxf(x)?0?x?1
f(0),f(1)?
f??f(x)dx10
01??(x?1)10e?xdx
??(x?1)10e?x
f10e120?2x
011??10(x?1)9e?xdx002?[?(x?1)edx12
。证明f?g?f?
6。对f(x),g(x)?C[a,b]，定义1
(1)(f,g)??f?(x)g?(x)dxab
(2)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)ab
问它们是否构成内积。
(1)令f(x)?C（C为常数，且C?0）则f?(x)?0
而(f,f)??b
af?(x)f?(x)dx
这与当且仅当f?0时，(f,f)?0矛盾
?不能构成C1[a,b]上的内积。
(2)若(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，则ab
(g,f)??g?(x)f?(x)dx?g(a)f(a)?(f,g),???Kab
(?f,g)??[?f(x)]?g?(x)dx?af(a)g(a)ab
??[?f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)]ab
?h?C1[a,b],则
(f?g,h)??[f(x)?g(x)]?h?(x)dx?[f(a)g(a)]h(a)ab
??f?(x)h?(x)dx?f(a)h(a)??f?(x)h?(x)dx?g(a)h(a)aabb
?(f,h)?(h,g)
(f,f)??[f?(x)]2dx?f2(a)?0ab
若(f,f)?0，则
a[f?(x)]2dx?0,且f2(a)?0
?f?(x)?0,f(a)?0
即当且仅当f?0时，(f,f)?0.
故可以构成C[a,b]上的内积。
7。令Tn(x)?Tn(2x?1),x?[0,1]，试证Tn(x)是在[0,1]
上带权?(x)?多项式，并求T0(x),T1(x),T2(x),T3(x)。
若Tn(x)?Tn(2x?1),x?[0,1]，则******1?*?的正交
0*Tn*(x)Tm(x)P(x)dx
1??Tn(2x?1)Tm(2x?0t?1，故2令t?(2x?1)，则t?[?1,1]，且x?
0*Tn*(x)Tm(x)?(x)dx
1??Tn(t)Tm(t?11??Tn(t)Tm(t?1(t?12
又?切比雪夫多项式Tk(x)在区间[0,1]
上带权?(x)??*?
?0,n?m??1?T(x)T(x)d??,n?m?0??1nm?2
??Tn*(x)?是在[0,1]
上带权?(x)?
又?T0(x)?1,x?[?1,1]?T0*(x)?T0(2x?1)?1,x?[0,1]
?T1(x)?x,x?[?1,1]
?T1*(x)?T1(2x?1)?2x?1,x?[0,1]
?T2(x)?2x2?1,x?[?1,1]
?T2*(x)?T2(2x?1)
?2(2x?1)2?1
?8x2?8x?1,x?[0,1]
?T3(x)?4x3?3x,x?[?1,1]
?T3*(x)?T3(2x?1)
?4(2x?1)3?3(2x?1)
?32x3?48x2?18x?1,x?[0,1]
8。对权函数?(x)?1?x，区间[?1,1]，试求首项系数为1的正交多项式?n(x),n?0,1,2,3.2
若?(x)?1?x，则区间[?1,1]上内积为2
(f,g)??f(x)g(x)?(x)dx?11
定义?0(x)?1，则
?n?1(x)?(x??n)?n(x)??n?n?1(x)
?n?(x?n(x),?n(x))/(?n(x),?n(x))
?n?(?n(x),?n(x))/(?n?1(x),?n?1(x))
??0?(x,1)/(1,1)
x(1?x)dx??(1?x)dx12
?1?(x2,x)/(x,x)
??1?11x3(1?x2)dxx2(1?x2)dx?1?0?1?(x,x)/(1,1)
1x2(1?x2)dx(1?x2)dx??1
??2(x)?x2?2
?2?(x3?x,x2?)/(x2?,x2?)222
122322(x?x)(x?)(1?x)dx??1?122(x?x?)(1?x2)dx??155
22?2?(x2?,x2?)/(x,x)55
122222(x?x?)(1?x)dx??1?22x(1?x)dx??125
2179??3(x)?x3?x2?x?x3?x57014
9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族?un(x)?是[0,1]上带
权?(x)?的正交多项式。
若Un(x)?令x?
cos?，可得
?1Um(x)Un(x1?0??????
??sin[(m?1)?sin[(n?1)?]d?0?
0sin2[(m?1)?d?
?1?cos[2(m?1)?]?2?
0sin[(m?1)?sin[(n?1)?]d?
0??sin[(m?1)?d{
???1cos(n?1)?}n?11cos(n?1)?d{sin[(m?1)?]}0n?1
?m?1???cos(n?1)?cos(m?1)?d?0n?1
?m?11???cos[(m?1)?]d{sin[(n?1)?]}0n?1n?1
?m?1???sin[(n?1)]?d{cos[(m?1)?]}0(n?1)2
?m?1??()2sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d?0n?1
?[1?(m?12?)]?sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d??00n?1
m?12又?m?n，故(?1n?1
0??sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d??0
10。证明切比雪夫多项式Tn(x)满足微分方程
(1?x2)Tn??(x)?xTn?(x)?n2Tn(x)?0
证明：切比雪夫多项式为
Tn(x)?cos(narccosx),x?1
Tn?(x)??sin(narccosx)?n??narccosx)
sin(narccosx)?cos(narccosx)321?x2Tn??(x)?(1?x2)
?(1?x2)Tn??(x)?xTn?(x)?n2Tn(x)??0
11。假设f(x)在[a,b]上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式？解：narccosx)?n2cos(narccosx)narccosx)?n2cos(narccosx)
?f(x)在闭区间[a,b]上连续
?存在x1,x2?[a,b]，使
f(x1)?minf(x),a?x?b
f(x2)?maxf(x),a?x?b
取P?1[f(x1)?f(x2)]2
则x1和x2是[a,b]上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知
P为f(x)的零次最佳一致逼近多项式。
12。选取常数a，使maxx?ax达到极小，又问这个解是否唯一？0?x?13
令f(x)?x?ax
则f(x)在[?
1,1]上为奇函数3
?maxx3?ax0?x?1
?maxx3?ax?1?x?1
又?f(x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。??3(x)?1T(x)与0的偏差最小。332
13?3(x)?T3(x)?x3?x44
3从而有a?4
13。求f(x)?sinx在[0,
解：?2上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。?f(x)?sinx,x?[0,]2
f?(x)?cosx,f??(x)??sinx?0
f(b)?f(a)2?,b?a?
2cosx2?,a1???
?x2?arccos2
f(x2)?0.77118
f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2??2b?a2
?0.10526a0?
于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为
P1(x)?0.10526?即2?
2xsinx?0.10526?
误差限为?x,0?x??2
sinx?P1(x)
?0.10526??sin0?P1(0)
14。求f(x)?e?0,1?在?0,1?上的最佳一次逼近多项式。x
?f(x)?ex,x??0,1?
?f?(x)?ex,
f??(x)?ex?0
f(b)?f(a)?e?1b?a
x2?ln(e?1)a1?
f(x2)?ex2?e?1
f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2??2b?a2
1?(e?1)ln(e?1)??(e?1)22
1?ln(e?1)2a0?
于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为
e1?(e?1)[x?ln(e?1)]22
1?(e?1)x?[e?(e?1)ln(e?1)]2P1(x)?
15。求f(x)?x?3x?1在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。解：43
?f(x)?x4?3x3?1,x?[0,1]
11且x?t?22令t?2(x?，则t?[?1,1]
1111?f(t)?(t?4?3(t?3?12222
1?(t4?10t3?24t222t?9)16
令g(t)?16f(t)，则g(t)?t?10t?24t?22t?9
若g(t)为区间[?1,1]上的最佳三次逼近多项式P3(t)应满足*432
maxg(t)?P3*(t)?min?1?t?1
当g(t)?P3(t)?*114T(t)?(8t?8t2?1)3428
*时，多项式g(t)?P3(t)与零偏差最小，故
3(t)?g(t)?1T(t)342
1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近多项式16?10t3?25t2?22t?进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为
173[10(2x?1)3?25(2x?1)2?22(2x?1)?168
?x2?x?44128P3*(t)?
16。f(x)?x，在??1,1?上求关于??span1,x,x2?4?的最佳平方逼近多项式。解：
?f(x)?x,x???1,1?
若(f,g)??1
?1f(x)g(x)dx
24且?0?1,?1?x,?2?x，则
02?2,12?,?22?,
11(f,?0)?1,(f,?1)?,(f,?2)?,23
22(?0,?1)?1,(?0,?2)?,(?1,?2)?,57
则法方程组为2225229
解得2325272????5?a??1??0??2????1?a1????7????2???a12??2????9??3?
?a0?0.1171875??a1?1.640625
故f(x)关于??span1,x,x?24?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x2?a2x4
17。求函数f(x)在指定区间上对于??span?1,x?的最佳逼近多项式：
1(1)f(x)?,[1,3];(2)f(x)?ex,[0,1];x
(3)f(x)?cos?x,[0,1];(4)f(x)?lnx,[1,2];
1(1)?f(x)?,[1,3];x
若(f,g)??3
1f(x)g(x)dx
且?0?1,?1?x,，则有
(?0,?1)?4,2226,3
(f,?0)?ln3,(f,?1)?2,
则法方程组为
?2???4?4???a0???ln3?26???????a1??2?3?
?a0?1.1410??a1??0.2958
故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x
(2)?f(x)?ex,[0,1]
若(f,g)??1
0f(x)g(x)dx
且?0?1,?1?x,，则有
02?1,?12?,
(f,?0)?e?1,(f,?1)?1,
则法方程组为
2??a0??e?1??????
1??a1??1???3?
?a0?0.1878?
?a1?1.6244
故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x?0.4x(3)?f(x)?cos?x,x?[0,1]
f(x)g(x)dx
且?0?1,?1?x,，则有
02?1,?12?,
2(f,?0)?0,(f,?1)??
则法方程组为
?????2?1??a1????2??????3?
?a0?1.2159?
?a1??0.24317
故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x?1.17x(4)?f(x)?lnx,x?[1,2]
f(x)g(x)dx
且?0?1,?1?x,则有
02?1,?12?,
(f,?0)?2ln2?1,(f,?1)?2ln2?,
则法方程组为
?2ln2?1??a??20??????3
7??a1??2ln2????4?3?
?a0??0.6371?
?a1?0.6822
故f(x)关于??span?1,x?最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x??0.2x
18。f(x)?sin解：
x，在[?1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
x,x?[?1,1]
按勒让德多项式?P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)?展开
(f(x),P0(x))??sinxdx?cosx?0
(f(x),P1(x))??xsin
(f(x),P2(x))??(x2?xdx?0
(f(x),P3(x))??(x?x)sinxdx?
*a0?(f(x),P0(x))/2?0*a1?3(f(x),P1(x))/2?
168(?2?10)
*a2?5(f(x),P2(x))/2?0
a?7(f(x),P3(x))/2?*3
从而f(x)的三次最佳平方逼近多项式为
*****S3(x)?a0P0(x)?a1P1(x)?a2P2(x)?a3P3(x)
168(?2?10)533?2x?(x?x)???10)?2)?x?4412
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s)距离s(m)
求运动方程。解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
令??span?1,t?则
02?6,?12?53.63,
(?0,?1)?14.7,
(?0,s)?280,(?1,s)?1078,
则法方程组为
14.7??a??280??6
???????14.753.63???b??1078?
?a??7.855048?
?b?22.25376
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
用最小二乘法求形如s?a?bx的经验公式，并计算均方误差。解：
若s?a?bx，则
??span?1,x2?
02?5,12?7277699,
(?0,?1)?5327,
(f,?0)?271.4,(f,?1)?,
则法方程组为
5327??a??271.4?5?
?a?0.9726046?
?b?0.0500351
故y?0..0500351x均方误差为??[
?(y(x)?y)]
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间t浓
用最小二乘法求y?f(t)。解：
观察所给数据的特点，采用方程
y?ae,(a,b?0)
两边同时取对数，则
取??span?1,??,S?lny,x??则S?a?bx
02?11,?12?0.062321,
(?0,?1)??0.603975,
(?0,f)??87.674095,(?1,f)?5.032489,
则法方程组为
11?0.603975??a*???87.674095??????b*????5..321??????
*??a??7.5587812?*??b?7.4961692
a?ea?5.2151048b?b*?7.4961692?y?5.2151048e
22。给出一张记录{fk}?(4,3,2,1,0,1,2,3),用FFT算法求{ck}的离散谱。解：
{fk}?(4,3,2,1,0,1,2,3),
则k?0,1,?,7,N?8
?0??4?1,????e
????e????e
23，用辗转相除法将R22(x)?2化为连分式。
x?6x?612x?18?3?2
120.75?3??
x?4.5x?1.5
24。求f(x)?sinx在x?0处的(3,3)阶帕德逼近R33(x)。解：
由f(x)?sinx在x?0处的泰勒展开为
sinx?x?????
C1?1,C2?0,11??,3!6C4?0,C3??
?C1b3?C2b2?C3b1?C4?C2b3?C3b2?C4b1?C5?C3b3?C4b2?C5b1?C6
??1???0??1????6
6?b??0??3??
1???1???0?b2??
?6?120????b
1??1??0???0?120?0
?b3?0?1?b??2
?Ck(k?0,1,2,3)
a0?C0?0a1?C0b1?C1?0a2?C0b2?C1b1?0
a3?C0b3?C1b2?C2b1?C3??
a0?a1x?a2x2?a3x3
1?b1x?b2x2?b3x373
25。求f(x)?e在x?0处的(2,1)阶帕德逼近R21(x)。解：
由f(x)?e在x?0处的泰勒展开为
C0?1,C1?1,11?,2!211C3??,
?Ck(k?0,1,2)
a0?C0?1231
a2?C1b1?C2?
6a1?C0b1?C1?
a0?a1x?a2x2
1?b1x211?x?x2
1?x36?4x?x2?
(2)?S??(x)?f??(x)?S??(x)?dx
??S??(x)d?f?(x)?S?(x)?
?S??(x)?f?(x)?S?(x)????f?(x)?S?(x)?d[S??(x)]
?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(x)?f?(x)?S?(x)?dx
?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(
xk?xk?1xk?1
)???f?(x)?S?(x)?dxxk
2xk?1xk?xk?1
)??f?(x)?S?(x)?
?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(
?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)?
(1)?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);
数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具
有的代数精度：
f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);
(3)?f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3;
(4)?f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)];
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若(1)
f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
令f(x)?1，则
2h?A?1?A0?A1
令f(x)?x，则
0??A?1h?A1h
令f(x)?x，则
h?h2A?1?h2A13
1?A???13h?
令f(x)?x，则
f(x)dx??x3dx?0
A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0
f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。
令f(x)?x，则
f(x)dx??x4dx?h5
A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?h5
f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
具有3次代数精度。（2）若
f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
令f(x)?1，则
4h?A?1?A0?A1
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