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2017年讲座-理科建模
L/O/G/O理科建模北京师范大学《高中数理化》杂志执行主编 全国自主招生与中学教育改革论坛秘书长陈 雄? 必胜客的沙拉是自助的，一份32元，给你一个 小碗，只能去盛装一次，不管你能装多少。问 题是你怎样才能尽量装得更多？3检 验 一 下首先准备一个碟子，里面放准备堆上去的 材料和用于粘贴的沙拉酱4在碗里面结实地填上许多材料，碗沿上合理的贴 上整齐结实的胡萝卜条。56在已经填整齐的碗的内圈整齐地放上形状合适（能摆一个圆）的大菠萝块。7再在菠萝圈中间填上你喜欢的小东西8内圈抹平摆整齐以后再在外圈（胡萝卜条上）再整齐地摆上一圈菠萝。9在黄桃的外面，外层菠萝的上面堆上黄瓜。为下一层菠 萝做准备10黄瓜放好后在表层撒点玉米粒火腿肠之类的小东西以使表 面平一些。11再在黄瓜上堆一层菠萝，继续在里面堆黄桃12就这样一层一层往上堆13初步的成果14足 够 分 成 八 盘151617181920
一个残缺的国际象 棋棋盘,它有两个 角被切掉了,现只 剩下62个正方形。 假若你有31张牌, 每一张恰好可以遮 盖棋盘上两个正方 形。你是否能够用 牌把这个棋盘上的 所有部分盖住呢?
? 有A、B两人，他们每人拿了一张卡片，这两张卡片都写 着一个正整数，已知两数之差为1。但每人只能看见对方 手里的数字而不知道自己的。下面是他们两人的一段对 话 ： ? A:我不知道我拿的是什么数。 ? B:我也不知道我拿的是什么数。 ? A:我还是不知道我拿的是什么数。 ? B:我还是不知道我拿的是什么数。 ? A:我也还是不知道我拿的是什么数。 ? B:我现在知道我拿的是什么数了。 ? A:我也知道我拿的是什么数了。? 两人拿的分别是什么数？? 一米长的普通桌子上，在一端 放一个小物体，给小物体一个 初速度，两秒后小物体恰好从 桌子另一边掉落，则请问该小物体有轮子没有？262728“分形”一词译于英文Fractal。 Mandelbrot发现整个宇宙以一种出人意料的方 式构成自相似的结构。。30林崇德课题组： 核心素养表述
SKILL（技巧）SENSE(感觉 )教育内容和形式? ? ? ? ? ? ?y 能力 知识 品质 创新 o x Know-what Know-Why Know-How Know-Whot? ? ? ?Z课堂教学 课外活动 校内实习 校外实践
问题： 树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？ 9只？ 还是 0只？这是一道脑筋急转弯。但他一样是数学建模问题， 不过答案就不重要了，重要的是思维过程。数学建模高手应该这样回答这道题！关于枪的假设：是有声手枪还是无声手枪？ 是有声手枪。 枪声有多大？ 80―100分贝。 那就是说会震得耳朵疼？ 是。关于鸟的假设您确定鸟里真的没有聋子？ 没有。 有没有关在笼子里的？ 没有。 边上还有没有其他的树，树上还有没有其他的鸟？ 没有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?有没有残疾的鸟或饿得飞不动的鸟？ 没有。 打鸟的人眼有没有花？保证是十只？ 没有花，就十只。 有没有傻得不怕死的鸟？ 不是开玩笑，这就是数学建模。 尽可能多角度，多维度的思考问题， 都怕死。 这是数学建模的思维特性。 会不会一枪打死两只？ 不会。 所有的鸟都可以自由活动吗？ 完全可以。 如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来 那么就剩一只，若果掉下来，就一只不剩。?数学模型（Mathematical Model）对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.?数学建模（Mathematical Modeling）全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的
你碰到过的数学模型――“航行问题”甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：( x ? y ) ? 30 ? 750 ( x ? y ) ? 50 ? 750求解x=20 y =5答：船速为20km/h.航行问题建立数学模型的基本步骤? 作出简化假设（船速、水速为常数）；? 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； ? 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；? 求解得到数学解答（x=20, y=5）；? 回答原问题（船速为20km/h）。建模旨在培养“用知识” 的能力?建模与其说是一门技术(大致有章可循)， ?不如说是一门艺术(无法归纳成普遍适用的准则）初等模型 几何图形模型、方 程或不等式模型 、 函数模型 常见的模型评价模型某一决策方案的好坏， 三好学生的评判等优化模型 预测模型 产品的生产，资源 的分配等经济、人口的增长， 资源、能源的消耗等最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的， 是生活在2500年前的毕达哥拉斯。 在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念 模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但 有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上， 他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物 的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点 才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四 种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的 一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的 和谐”，即服从数的关系。一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。 问大马、小马、马仔各几何。 解 设大马，小马，马仔分别为x, y , z匹，应有分别消去z和y? x ? y ? z ? 100 ? ? 1 3 x ? 2 y ? z ? 100 ? ? 2可得 5 ? y ? (20 ? x) ? ? 3 ? ? z ? 2 (100 ? x) ? 3 ?这是一个不完全方程组的求整数解问题――丢番图问题。5 y ? (20 ? x) 3 2 z ? (100 ? x) 3x2 305 258 2011 1514 1017 520 068707274767880可见，问题共有七组解。［返回］例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴分桃”的问题。 五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总 数比5的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五 分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的 总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五 分之一，…，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多 1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这 堆桃子至少要有多少个。设这堆桃子共有x 个，第五只猴子离开之后剩下 y 个桃子。x ?1 ? 1 个桃子；剩下 5 ? x ?1 ? 4 x?? ? 1? ? ( x ? 1) （个）。 ? 5 ? 5第一只猴子连吃带拿，共得到第二只猴子共得到1?4 ? ? ( x ? 1) ? 1? ? 1个桃子；剩下的个数 5?5 ?2…… 第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是5 54 1 ?4 ? 4 ?4 ? ? 4? ( x ? 10 ? ? ( x ? 1) ? 1? ? ? ( x ? 1) ? 1? ? ? ? 5 5 ?5 ? 5 ?5 ? ?5?4? ? 4? 4 ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? 4 ?4 ? 4 ?4 ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( x ? 1) ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? 5 ? x ? ? 5 ? ? ? 5 ? ? ? 5 ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 5? ? ? ? ? ?5 ? 5 ?5 ?5 ? ? ?3 2?4? ?? ? x? ?5?54 ? ?4? ?1 ? ? ? 5? ? ?5? 1? 4 55? ? 5 ? 4 ? ? ? ? ( x ? 4) ? 4 ? ? ?5?于是，有45 y ? 4 ? 5 ( x ? 4) ， 55 ( y ? 4) ? 45 ( x ? 4) 5 5 5 故必有 y ? 4 是 4 的倍数且 x ? 4 是 5 的倍数。y 最小的可能是 4 5 －4＝1020， x 最小的可能是 5 5 －4＝3121。1726年，瑞士数学家欧拉（）受聘于沙俄科学院，后来出 任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属 奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个 问题。 布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。 校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后， 学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通 过一次呢？哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达 四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最 大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属 俄罗斯。 店主桥 铁匠桥 木桥内福夫岛普雷盖尔河新河道 蜜桥绿桥“馋嘴” 吉布莱茨桥 高桥旧河道B欧拉在草纸上勾画出示意图。在 他看来，问题是否有可行的方案， 与岛、半岛的大小无关，也与河岸上 A桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不 妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点， 将各个小桥代之以线。DC现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、 B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一 条线而不出现线路重复呢？类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。 作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点．图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可 行的一笔画问题。海滩占位假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两个出售 同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？01 41 23 411 3 显然，在 和 处各设一个摊位最合理。 4 4 但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？不难预见，绿色摊位也愿意左移。 1 22.3. 囚徒困惑乙 甲不投案 100＼100 ０＼400投案 400＼０ 200＼200有互不熟悉的两人在公共 场所斗殴，将接受处罚。不投案 投案若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款200元；若两人均不投案， 则只能按普通滋事各罚款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承认，仍 可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款 400元。我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案， 甲也不投案将罚款100元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案 的话，甲不投案将被罚款400元，投案则只罚款200元。可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投案 的。 出于同样的原因，乙也会选择投案。结果，甲乙二人均被罚款200元，虽然他们都知道还有各罚 100元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有 改变态度的愿望。这一结果的出现，被称为纳什均衡。约翰F.Nash(纳什)是著名的美国数学家，1928年生， 1950年获普林斯顿大学博士学位．1994年获诺贝尔经济学 奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。? 1、学校食堂排队 （优化模型）? 2、房价趋势 （预测模型）3、评价模型 复旦大学自主招生试题： 玉皇大帝与如来佛祖谁大？选择旅游地目标层如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.O(选择旅游地)准则层C1 景色C2 费用C3 居住C4 饮食C5 旅途方案层P1 桂林P2 黄山P3 北戴河“选择旅游地”思维过程的归纳 ? 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 ? 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 ? 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 将定性分析与定量分析结合起来完成以上步 骤，给出决策问题的定量结果。中学学科建模的意义?? ? ? ? ? ? ?1. 培养创新意识和创造能力 2．训练快速获取信息和资料的能力 3．锻炼快速了解和掌握新知识的技能 4．培养团队合作意识和团队合作精神 5．增强写作技能 6．增强发现问题与解决问题的能力 7．优秀论文可在权威期刊发表，获得升学推力 8．更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式建模原则必须以实验、调查所得的数据为基础, 以事实为依据 利用实验、调查可以积累数据?形成表象, 再经过抽象概括,从而“提炼”出模型?另 外,模型正确与否及其适用范围,都必须以 实验事实为标准来判断,并随着新的实验 事实的出现而不断修正?完善和发展建模思维： 综合应用各种思维方法,才能建 立正确的模型 (1)抽象思维?形象思维两种思维方 式不可偏废? （2）收敛思维与发散思维相结合 （3）逻辑思维与辩证思维是保证假说?由于事物的复杂性,某些事物 的本质?组成?结构?规律等比较隐蔽, 人们当时还搞不清楚,这时就要在观察 ?实验?思维的基础上提出假设,建立起 一个模型?重要的思维方法！---假设建模方法? （1）类比法 ? （2）控制变量法 ? （3）调查统计法 ? （4）动态模拟法 ? （5）估算法
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 空 21 一笑 41 深处 61 一片 81 不是 2 东风 22 黄昏 42 时节 62 桃李 82 时候 3 何处 23 当年 43 平生 63 人生 83 肠断 4 人间 24 天涯 44 凄凉 64 十分 84 富贵 5 风流 25 相逢 45 春色 65 心事 85 蓬莱 6 归去 26 芳草 46 匆匆 66 黄花 86 昨夜 7 春风 27 尊前 47 功名 67 一声 87 行人 8 西风 28 一枝 48 一点 68 佳人 88 今夜 9 归来 29 风雨 49 无限 69 长安 89 谁知 10 江南 30 流水 50 今日 70 东君 90 不似 11 相思 31 依旧 51 天上 71 断肠 91 江上 12 梅花 32 风吹 52 杨柳 72 而今 92 悠悠 13 千里 33 风月 53 西湖 73 鸳鸯 93 几度 14 回首 34 多情 54 桃花 74 为谁 94 青山 15 明月 35 故人 55 扁舟 75 十年 95 何时 16 多少 36 当时 56 消息 76 去年 96 天气 17 如今 37 无人 57 憔悴 77 少年 97 惟有 18 阑干 38 斜阳 58 何事 78 海棠 98 一曲 19 年年 39 不知 59 芙蓉 79 寂寞 99 月明 20 万里 40 不见 60 神仙 80 无情 100 往事宋词密码《清平乐?圆周率》π=3.1415926…… （1415） 回首明月， （9265） 悠悠心事空， （358979）故人谁知寂寞。 （323846）风吹斜阳匆匆， （264338）芳草平生斜阳， （327950）风吹寂寞今日。 （288419）一枝富贵年年， （716939）断肠长安不知。《如梦令? 根号二》=1.……（414213）深处时节千里，（562373）消息当年鸳鸯。 （0950） 归来今日， （488016） 一点无情多少。 （8888） 今夜，今夜 （724209） 而今时节归来。建模成功与否，关键在假设，在切合实 际与科学简化之间选择恰当的平衡点, 体现了建模工作的想象力和创造力。“合理的假设”主要作用是简化问题以便在有 限的时间内能应用所学知识产生解决方案、 提供某些必须而又无法采集到的信息。 最后通过灵敏度分析，检验模型的可信度和有 效度。? 一人看到闪电12.3s后又听到雷声。已知空气中的声速约为 330m/s~340m/s，光速为3×108m/s，于是他用12.3除以3很快 估算出闪电发生位置到他的距离为4.1km。根据你所学的知识可 以判断 ? A.这种估算方法是错误的，不可采用 ? B.这种估算方法可以比较准确地估算出闪电发生位置与观察者间 的距离 ? C.这种估算方法没有考虑光的传播时间，结果误差很大 ? D.即使声速增大2倍以上，本题的估算结果依然正确10名海盗抢得了的100块金子，他们按下面的方式进行分配： 最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包括 提出方案者本人）就此方案进行表决。如果50%或更多的海 盗赞同此方案，此方案就获得通过并据此分配金子，否则 提出方案的海盗将被扔到海里，然后剩下最厉害的海盗又 重复上述过程。 所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理 性的。此外，没有两名海盗是同等厉害的――这些海盗按 照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自 己和其他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几 名海盗共有金块；则十名海盗中最厉害的海盗应提出什么 分配方案才能使得自己获得的金块最多？最多为多少？ 0 10 25 50 69 85 96 100? 村子中有50个人，每人有一条狗,每天傍晚大家 都在同一个地方遛狗。在这50条狗中有病狗(这 种病不会传染)。于是人们就要找出病狗。每个 人可以观察其他的49条狗，以判断它们是否生 病，只有自己的狗不能看。观察后得到的结果不 得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推算 出自己家的是病狗就要枪毙自己的狗，而且每个 人只有权利枪毙自己的狗，没有权利打死其他人 的狗。第一天，第二天，第三天都没有枪响。到 了第四天枪响了， ? 问有几条病狗？数学建模的一般步骤模型准备 模型应用 模型假设 模型检验 模型构成模型求解数学建模的全过程现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 解释 表述 (归纳) 数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答 数 学 世 界数学模型的分类分类标准 具体类别对某个实际问题 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 了解的深入程度 表现特征 确定性模型和随机型模型、静态模 型和动态模型、线性模型和非线性 模型、连续模型和离散模型 建模中所用的数 初等模型、微分方程模型、差分方 学方法 程模型、优化模型、概率模型等 研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等模型准备托勒密、哥白尼、伽利略等人收集了大量的天体运行 模型构成 的数据资料； 开普勒利用第谷近30年详细的天文观测资料，发现了 行星运动三大定律； 模型求解 牛顿建立行星运动学方程的数学模型；建立了微积分， 发展数学理论，从理论上证明开普勒三大定律； 模型应用 亚当斯和勒威耶分别运用天文观测资料和牛顿模型计 算出海王星的轨道和位置； 模型检验 柏林天文台台长伽勒根据勒威耶的报告观测到海王星， 验证了牛顿所建模型的正确性。包汤圆问题 通常1公斤面1公斤馅包100个汤圆， 今天，1公斤面不变， 馅比 1公斤多了， 问应多包几个（每个汤圆包小一些）， 还是少包几个（每个汤圆包大一些）？问题的提出 将实际问题翻译成数学问题 经验介绍要将问题加以分解，分成几个层次或部分必要时还要先学习其背景知识预先判断即将建立什么样的模型包汤圆问题―问题的分析 归结为数学上的面积和体积的问题 数学问题 圆面积为S的一个皮，可以包成体积为V的汤 圆．若将其分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积 为v，则V 和nv哪个大呢？S s v s v… s (共n个)vV量的分析 经验介绍 首先要分清量的类型 其次要分清哪些是主要量，哪些是次要量 再次，要分清量之间的关系 为了建立的模型的可读性，确定了量之后，最 好用字母进行表示,一般处理大型问题的论文中，需 要对量的设置单列一项符号说明。包汤圆问题―符号说明 R：大皮的半径； r：小皮的半径．模型的假设 两个目的 为了问题的规范化，模型的严密性 简化问题 经验介绍略去枝节，保留主干，深刻认识后再添枝加叶斩断一些关系，分割成几个小问题重要提示：假设要合理包汤圆问题―模型的假设 1．皮的厚度一样； 2．汤圆的形状一样，假设是球形； 3．每种包法汤圆的大小一样．包汤圆问题―模型的建立S ? nss ? k1r , v ? k2r23S ? k1R2 , V ? k2 R3k1 , k2为常数模型的求解 求解方法 解方程，图解，定理证明，逻辑推理，数值计算， 统计分析等． 特别是数学软件和计算机技术． 经验介绍有时候得到比较优的解也是满意的．求解的过程当中， 可能还要对模型不断的进行修改，从而得到问题的更好的结 果．有时候也会对求解方法不断更新，以得到模型的更好结 果．包汤圆问题―模型的求解V ? kS 3 / 2 ， v ? ks3 / 2 ， k 是常数，从而：V ? n3 / 2v ．由于 V ?n ? nv ? nv ，所以为了包上更多馅，应该少包几个，每个汤圆包大一些．结果的分析 对求解的结果可能需要误差分析，统计分析， 模型对参数的灵敏度分析， 对假设的强健性分析， 变量之间的依赖性分析，稳定性分析， 结果对实际问题的意义， 参数在实际问题的中的作用， 对模型进行评价，优化，甚至重新建模，模型的检验 把求解的和分析的结果翻译回到实际问题，与 实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用 性．一个成功的模型往往是一个多次对建模步骤循环的结果．包汤圆问题―结果的分析 对于包汤圆问题，我们已经在定性分析上解决 了原问题，即应该少包几个．更进一步，我们可以 进行定量分析，如果100个汤圆可以包1公斤馅，那 么50个汤圆可以包多少馅呢？V ? n ? nv 100是50的2倍， n ? 2大汤圆包的体积是小汤 圆体积的 2倍所以50个汤圆可以包大约1．4公斤左右的馅模型的应用 模型的应用是数学建模的宗旨．一个好的模型或 方法，不光可以解决目前的实际问题，还应该在更广 阔的空间有着更广泛的应用． 包汤圆问题―模型的推广 市场上牙膏、香皂和洗发精等日用品，同一种品 牌一般有规格大小不同的包装，你是选择购买大包装 还是购买小包装才实惠呢？交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态― ―亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 马上要转红灯了，假如你能停住，请 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 立即停车。停车是需要时间的，在这 律计算出来 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 离 L。这就是说，在离街口距离为 L 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 处存在着一条停车线（尽管它没被画 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 在地上），见图对于那些黄灯亮时已 的车顺利穿过马路，即 T 至少应当达到 （L+D） 过线的车辆，则应当保证它们仍能穿 /v。 过马路。D L餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某 餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一 下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否 则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由 不妨可以提出以下 简化假设： 于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到 （1）水池、空气吸热不计，只考虑 不难看出，是水 的温度在决 定 底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下 盘子吸热，盘子的大小、材料相同 洗盘子的数量 。盘子是先用冷水 根据上述简化假设，利用热量守 那么热水为什么会变冷呢？假如 （2）盘子初始温度与气温相同，洗 这一问题。 洗过的，其后可能还会再用清水衡定律，餐馆老板的问题就很容 你想建一个较精细的模型，你当 完后的温度与水温相同 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 冲洗，更换热水并非因为水太脏 易回答了，当然，你还应当调查 然应当把水池、空气等吸热的因 （3）水池中的水量为常数，开始温 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、 了，而是因为 水不够热了。 盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？ 一下一池水的质量是多少，查一 素都考虑进去，但餐馆老板的原 度为T1，最终换水时的温度为 T2 准备建立什么样的模型以及你准备研究 盘子是怎样洗的 ? ??? 不妨 下瓷盘的吸热系数和质量等。 意只是想了解一下一池热水平均 （ 4 ）每个盘子的洗涤时间 △T是一 的深入程度有关，即在你提出假设时， 假设我们了解到：盘子大小相同， 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 个常数。（这一假设甚至可以去掉 你建模的框架已经基本搭好了。 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 焉用牛刀？ 不要） 盘子浸泡在热水中，然后 一四足动物的身长和体重问题四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的 体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义 。比如，一个在生猪收购站或屠宰场工作的人 ，往往希望能从生猪的身长估计它的重量。模型准备四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生 物学对复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的 模型。为此我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物 的身长和体重的比例关系。 本问题与体积和力学有关，搜集与此有关的资料得到 弹性力学中两端固定的弹性梁的一个结果： 长度为L的圆柱型弹性梁在自身重力f作用下, 弹性梁的 最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积 s和梁的直径d平方成反比，即v?f ? L3 sd 2模型假设dvl f1.设四足动物躯干（不包 括头尾）长度为L、断面直 径为d的圆柱体，体积为m。 2.四足动物的躯干（不包 括头尾）重量与其体重相 同，记为f。 3.四足动物可看做一根支 撑在四肢上的弹性梁,其腰 部的最大下垂对应弹性梁 的最大弯曲，记为v。根据弹性理论对这种梁的研究, 有fl v? 4 ?d3f ? m, m ? ?d l2l v? 2 d4v l ? 2 l d3v l是动物的相对下垂。? v/l 太大,四肢将无法支撑； ?v/l 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯体的需 要，无疑是一种浪费。 因此从生物学的角度可以确定，经过长期进化， 对于每一种动物，v/l 已经达到其最合适的数值， 即是一个常数（当然，不同种类的动物，常数值 不同）于是可以得出：l ?d32f ? ?d l2f ?l4f ? kl4体重与躯干长度的四次方成正比。? 在希腊神话中，狄多（Dido）是腓尼基公 主，提尔国国王皮格马利翁（Pygmalion） 的姐姐，公元前814年在北非建立了迦太基 城。传说中，她是用不寻常的方法来得到 迦太基城的。皮格马利翁杀死了她丈夫绪 开俄斯(Sychaeus)后，狄多逃往非洲北部 海岸，据说，她的弟弟同意她拥有一张牛 皮所能覆盖的尽可能多的土地.请建模分析 一下公主能获得的最大土地可能为 多少？? 方案：她将牛皮剪成一根根又细又薄的皮 条，将它们连接起来，形成一个半圆弧， 以地中海海崖作为直径包围了半圆区域。， （如故事中的假设）给定一条直边，在周 长一定的条件一下，半圆所转成的面积最 大，所以狄多得到了最优的结果。? 假设公牛的躯干是一个长为5 ft（或英尺）、 高为4 ft、宽为2 ft的长方体。这个长方体的 表面积可以很容易得到，大约是80 ft2,考虑 到狄多的精明，毫无疑问她会选她能找到 的最大的牛！? 所以将公牛的表面积四舍五入为100ft2。我 不知道狄多与她的仆人使用切割工具切割 牛皮所能达到的精细程度，我将假设每条 的宽度为1ft的百分之一（0.12 in或英寸， 约3 mm）。这可能还是低估了，但是这使 得估算更容易。如果牛皮条的总长为L ft， 那么就有简单的等式：0.01L≈100，即 L≈104ft。这个长度就是迦太基城边界的半 圆周部分。由于半径为r ft，且，这里A是 “城市”的面积。这大约是1.6 km2Problem B : Going Green The United States can address its national carbon footprint in two ways: by reducing carbon dioxide emissions or by increasing carbon dioxide consumption (sequestration). Assume that the total U.S. carbon dioxide emissions are capped at
levels indefinitely.What should the U.S. do to increase carbon dioxide consumption to achieve national carbon neutrality with minimal economic and cultural impact? Is it even possible to achieve neutrality? Model your solution to show feasibility, effectiveness, and costs. Prepare a short summary paper for the U.S. Congress to persuade them to adopt your plan.? 美国中学生数学建模网址 ap.com/highschool /contests/himcm/建模论文写作须知 一、如何准备你的论文资料 1、选择一个研究对象（可以是一种现 象、一种物体或一个事件等） 2、初步确定课题 选择完研究对象后，可到图书馆、 网络等查询相关信息，收集资料，若 有条件，可与该领域的专家进行沟通选题新颖，有意义，力所能及. 1.有意义和价值－－真实问题 2.有基础－－善于观察 3.有特色－－发挥想象力 4.问题可行－－仔细推敲109? 选题： ? 经济类：房价、车价、股票、旅游、物价、 油耗、理财、 ? 优化类：路线、排队、家具摆放、红绿灯 问题、 ? 家电节 能、出行方式选择 ? 策略类：学习计划、游戏攻略、环境污染3、材料组织 整理组织你所学到的关于该课题的所有 知识，在这一步骤中你应该通过把思想集 中在某个范围内来慢慢确定你的假设。 4、制定一个时间表 选定一个不仅仅使你感兴趣，而且可以在你 所有的时间内完成的课题，用一个日历标 出完成的日期。为调查、实验或收集资料 留出充足的时间，并且要留出时间来具体 撰写论文。5、设计你的调查、实验或研究方法 根据你的研究对象的性质，设计研 究方案，并探讨可行性； 6、对课题进行实质性研究 根据制定的计划和时间表，进行 课题的研究。 7、得出结论并检验结果二、怎样写好论文 1、题目 将题目居中，将你的名字、学校、指导教师及联 系方式写在右下角，论文题目应该尽可能短， 但要意思完整。题目应反映主要观点、主题或 围绕其开展的研究。 2、摘要、关键词 3、正文 第一部分：问题的提出或前言 先总体介绍一下研究对象的背景，并对你研 究动机的解释以及你想要达到的目的。第二部分：方法与数据处理 研究设计：撰写报告的目的就是使别人能依据你所 叙述的信息重新进行你的工作，所以要对研究设计 描述得足够详细，清晰，有条理。你需要提供进行 实验的每个阶段的信息。 研究工具：说明你研究所用到的仪器设备； 数据记录或分析：对所记录的数据进行合理分析。 第三部分：讨论并得出结论 结果及结论应自然的、符合逻辑地从你的数据中得出。 第四部分： 参考 致谢 心得与体会 注意：准备ppt论文的结构 标题 作者 摘要 关键词 引言 正文问题的叙述，问题的分析，背景的分析； 模型的假设，符号说明; 模型的建立（问题分析，推导，模型）; 模型的求解 计算方法设计或选择； 算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图； 所采用的软件名称； 结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验…… 模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广……. 结论 参考文献 附录 计算框图、程序、使用说明； 详细图表 、背景知识。小结建模要点：选题开始是关键 收集数据靠坚持 建模过程要仔细 实际检验是必须116L/O/G/OThank You!
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