链接正方矩形abco o为坐标原点的对角线AC， OB交于点Q，点F为线段BC上一点以OF为直角边向上构造等腰Rt

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-05 01:44 标签： 矩形abco如图放置
已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，P是边BC上的一个动点，AP交对角线BD于点E，BQ⊥AP，交对角线AC于点F、边CD于点Q，联结EF．（1）求证：OE=OF；（2）联结PF，如果PF∥BD，求BP：PC的值；（3）联结DP，当DP经过点F时，试猜想点P的位置，并证明你给猜想．
考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质
（1）证明：∵BQ⊥AP，∴∠EBF+∠BEP=90°，∵∠OAE+∠OEA=90°，∠BEP=∠OEA，∴∠EBF=∠OAE，在△OAE和△OBF中，∴△OAE≌△OBF（ASA），∴OE=OF．（2）解：∵OE=OF∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，
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点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、解题的关键是熟记各种特殊四边形的判定方法和性质．
wd1899老师
上海市浦东新区八年级（下）期末数学试卷
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1、试题题目：如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE=12BC．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
&&试题来源：不详
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：初中
&&考察重点：三角形中位线定理
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵CE=12BC，AD=BC，∴AG=CE=12BC=12AD=GD，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BC．（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上..”的主要目的是检查您对于考点“初中三角形中位线定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中三角形中位线定理”。
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(2013太原)如图①，点F是正方形ABCD的边AB上一点，以AF为边在正方形的外部作△AEF，使∠AFE＝90°，AF＝FE．点O是线段CE的中点，连接OB、OF，请探究线段OB、OF的数量关系和位置关系．小颖的思路是：延长FO交BC于点G，通过构造全等三角形解决．(1)请按小颖的思路解决图①中的问题：①证明：△EOF≌△COG；②直接写出OB、OF的位置关系为________，数量关系为________；(2)将图①中的△AEF绕点A旋转，使AE落在对角线CA的延长线上，其余条件都不变．请写出此时OB、OF的数量关系和位置关系，并证明；(3)将图②中的正方形变为菱形，如图③，其中∠ABC＝60°，将等腰△AEF的顶角∠AFE变为120°，其余条件都不变．此时线段OB、OF的位置关系为________，．
主讲：杨朝粉
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如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
23．【11分】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求&FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
【答案】（1）90&；（2）四边形FACD是平行四边形；（3）①证明见试题解析；②．
考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的判定；3．直角三角形斜边上的中线；4．勾股定理；5．三角形中位线定理；6．平行四边形的判定与性质；7．菱形的性质；8．型；9．压轴题．
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站长QQ：&&如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5OC=6根号2& &则另一直角边BC的长为
你大爷IvMa
解法一：如图1所示,过O作OF⊥BC,过A作AM⊥OF,∵四边形ABDE为正方形,∴∠AOB=90°,OA=OB,∴∠AOM+∠BOF=90°,又∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,∴∠BOF=∠OAM,在△AOM和△BOF中,∠AMO=∠OFB=90°∠OAM=∠BOFOA=OB,∴△AOM≌△BOF（AAS）,∴AM=OF,OM=FB,又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,∴四边形ACFM为矩形,∴AM=CF,AC=MF=5,∴OF=CF,∴△OCF为等腰直角三角形,∵OC=6根号2,∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2,解得：CF=OF=6,∴FB=OM=OF-FM=6-5=1,则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．
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你留个邮箱我把照片发给你，我手机上的这里发不了照片
已发。满意请及时采纳
分析：过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF-MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．&解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中，∠AMO=∠OFB=90°∠OAM=∠BOFOA=OB，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=62，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF-FM=6-5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=62，∴CM=6．∴MA=CM-AC=6-5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
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