相关资料推荐
元计算（www.ectec.asia）公司所开发的并行有限元程序自动生成系统（pFEPG）可根据用户需要开发出各种有限元计算程序源代码。该源代码系列即为pFEPG所开发出来的求解各学科典型问题的有限元计算程序。
有限元计算程序
元计算（www.ectec.asia）公司所开发的并行有限元程序自动生成系统（pFEPG）可根据用户需要开发出各种有限元计算程序源代码。该源代码系列即为pFEPG所开发出来的求解各学科典型问题的有限元计算程序。
有限元计算程序
有限元计算程序
有限元计算程序
有限元计算程序
有限元计算程序
有限元计算程序
元计算（www.ectec.asia）公司所开发的并行有限元程序自动生成系统（pFEPG）可根据用户需要开发出各种有限元计算程序源代码。该源代码系列即为pFEPG所开发出来的求解各学科典型问题的有限元计算程序。
在此可输入您对该资料的评论~
资料阅读排行
(window.slotbydup=window.slotbydup || []).push({
id: '2371234',
container: s,
size: '300,250',
display: 'inlay-fix'
该用户的其它资料
请选择举报的类型
赌博犯罪类
资料评价：
所需积分：0[有限元分析]有限元分析及应用_有限元分析-牛宝宝文章网
[有限元分析]有限元分析及应用 有限元分析
有限元分析及应用第一章 有限元法简介2有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个结点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，结点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。 3有限元法是最重要的工程分析技术之一。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。 4随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。 5有限元法的孕育过程及诞生和发展牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz G. W.)6大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。 7在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方 高斯(Gauss)程组。8在18世纪，另 一位数学家拉格朗日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的拉格朗日(Lagrange J.) 另一途径。 9在19世纪末及20世纪初，数学家瑞利和里兹（RayleighRitz）首先提出可对全定义域运用展开函数瑞利(Rayleigh)来表达其上的未知函数。 101915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。11各（ 力对 学象 学、 科变 分量 支、 的方 关程 系、 求 解 途 径 ）1213任意变形体力学分析的基本变量及方程研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题14圆形隧道三维模型15(2) 中华和钟(3) 矿山机械16(4) 压力容器的成形17变形体及受力情况的描述18求解方法19有限元方法的思路及发展过程思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方便，一般人员可以使用。实现办法：20技术路线：21发展过程：如何处理对象的离散化过程22常用单元的形状点 (质量).线(弹簧，梁，杆，间隙).. . . .线性面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体). . .. . ...二次. . .. . ..线性体(三维实体). . . .. . . . . .. . . . .. .二次23一维波传导问题 点 单元线 单元24线 单元点 单元25面 单元00-0.02-0.001-0.04Y-0.06Y-0.002 -0.003 0.0540.0560.0580.06X-0.08-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12X2800-0.02-0.001-0.04Y-0.06Y-0.002 -0.003 0.0540.0560.0580.06X-0.08-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12X2930受垂直载荷的托架31体单元?线性单元 / 二次单元 C 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。低阶单元更高阶单元32有限元分析的作用? 复杂问题的建模简化与特征等效 ? 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） ? 计算结果的评判 ? 二次开发 ? 工程问题的研究 ? 误差控制36第二章 有限元分析的力学基础2.1 变形体的描述与变量定义(1) 变形体变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体38(2) 基本变量的定义可以用以下各类变量作为任意变形体的描述量因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移、应变、应力39目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程(3) 研究的基本技巧采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变 形体）402.2 弹性体的基本假设为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在 各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。以上基本假定将作为问题简化的出发点。412.3 基本变量的指标表达指标记法的约定：自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ? ij ，i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个 坐标轴x, y, z。哑指标：在每项中有重复下标出现，如： aij x j? bi ，42j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3Einstein 求和约定：哑指标意味着求和指标记法的应用： 对于方程组（2-1）按一般的写法，可写为 若用指标记法：（2-2） （2-3）(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和43克罗内克符号 在笛卡尔直角坐标系下，由 δij 表示的Kronecker(克罗内克)符号定义为?1, δij ? ? ?0, 如果i ? j 如果i ? j亦即δ11 ? δ22 ? δ33 ? 1δ12 ? δ21 ? δ31 ? δ13 ? δ32 ? δ23 ? 044那么，矩阵? δ11 ?δ ? 21 ? ?δ31 δ12 δ22 δ32 δ13 ? = δ23 ? ? δ33 ? ??1 0 0 ? ?0 1 0 ? ? ? ? ?0 0 1 ? ?是单位矩阵。根据上述定义，可以推出下列关系δii ? δ11 ? δ22 ? δ33 ? 3δ1 j a j ? δ11a1 ? δ12 a2 ? δ13a3 ? a1 ? ? δ2 j a j ? δ21a1 ? δ22 a2 ? δ23a3 ? a2 ? δ3 j a j ? δ31a1 ? δ32 a2 ? δ33a3 ? a3 ? ?452.4 弹性力学的基本方法弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体 ，称为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹性力学的基本方程。46从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界（表面）条件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问题的基本方法。472.5 空间问题的基本方程dzdydx48将正应力和正应变简写成3D情形下的力学基本变量49bzx zxczyxz xz zyb’ ac’yzyzxyyxyxda’xyd’a’50由力平衡条件?X ? 0有：?? yx ? ? ?? x ? ? dx ?dydz ? ? x dydz ? ? ? yx ? dy ? dxdz ? ? yx dxdz ?? x ? ? ? ?x ?y ? ? ? ? ?? zx ? ? ? ?? zx ? dz ?dxdy? ? zx dxdy? Xdxdydz? 0 ?z ? ? ?? x ?? yx ?? zx ? ? ?X ?0 化简得到 ?x ?y ?z ?? xy ?? y ?? zy ? ? ?Y ? 0 ?Y ? 0 ?x ?y ?z ?? xz ?? yz ?? z ? ? ?Z ?0 ?Z ? 0 ?x ?y ?z平衡微分方程51平衡微分方程的矩阵形式为? ?σ ? b ? 0其中，? 是微分算子?? ? ?x ? ???0 ? ? ?0 ? ? 0 ? ?y 0 0 0 ? ?z ? ?y ? ?x 0 0 ? ?z ? ?y ?? ?z ? ? 0? ? ?? ? ?x ? ?式中，b是体积力向量， b ? [ XY Z]T52由力矩平衡条件?Mx?0有：?? yz ? ?? zy ? ? dy dy ? dz ? ?? yz ? ?y dy ? ?dxdz 2 ? ? yz dxdz 2 ? ? ?? zy ? ?z dz ? ?dxdy 2 ? ? ? ? dz ? ? zy dxdy ? 0 2全式除以dxdydz，合并相同的项，得1 ?? yz 1 ?? zy ? yz ? dy ? ? zy ? dz ? 0 2 ?y 2 ?z略去微量项，得? yz ? ? zy?MY?0? zx ? ? xz?MZ?0? xy ? ? yx剪切力互等定律53二维问题：平衡微分方程?? x ?? yx ? ?X ?0 ?x ?y?? xy ?x ? ?? y ?y ?Y ? 0剪切力互等定律? xy ? ? yx54应力边界条件四面微分体Mabc55斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。 56设斜微分面的面积为 dA ，则其它三个微分面的面积为 Mac=dA×l， Mab= dA×m，Mcb= dA×n。 四面微分体的体积为1 dV ? dh ? dA 3假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐 标轴上的投影分别为 X 体积力分量为X、Y、Z。YZ57考虑?Y ? 0YdA?? xydA? l ? ? y dA? m ?? zy dA? n ? YdV ? 0?dV ? ? 1 dh 将上式除以dA，并注意到体积力项 ?dA? 3当令dh→0取极限时，体积力一项趋于零。由此得到考虑? xyl ? ? y m ? ? zy n ? Y? xl ?? yxm ?? zx n ? X考虑?X ?0 ?Z ? 0? xzl ?? yzm ? ? z n ? Z应力边界条件58二维问题：应力边界条件? xl ?? yxm ? X? xyl ? ? y m ? Y59圣维南原理（局部影响原理）物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。606162均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。 材料力学中的拉伸 应力计算公式就是 圣维南原理应用的 结论。63一对集中力F/2作 用点区域仍然有比 较大的应力梯度变 化，但是比等效力 系F作用的变化小。远离力的作用点区 域，应力分布仍然 均匀。而且均匀区 域更大。64几何方程：位移与应变的关系B1 θθ1A1265设 P 点的位移分量为 u 和 v ，由于坐标 x 有一增量 dx ， A 点的位移较 P 点的位移也有一相应的增量，从而A点的位移分量为：。?u uA ? u ? dx ?x ?v v A ? v ? dx ?x同理，B点的位移分量为：?u uB ? u ? dy ?y ?v vB ? v ? dy ?y66在小变形的前提下，∠A’P’A1很小，可以认为，线段PA位移后的绝对伸长，可以用线段两端点沿x轴的位移之差来表示，即：。?u ? ?u ? P?A? ? PA ? u A ? u P ? ? u ? dx? ? u ? dx ?x ? ?x ? ?u dx ? ? P A ? PA ?x ?u ?x ? ? ? 从而线段PA的正应变 ? x为：。 PA dx ?x?v dy ?B ? ? PB ?y P ?v ? 同理线段PB的正应变 y 为：?。 ? ? y ? PB dy ?y67?w 对于三维情况的微分体，可以得到： ? z ? ?z因此，可以为：?u ?x ? ?x?v ?y ? ?y?w ?z ? ?z68下面，研究线段 PA 与 PB 间所夹直角的变化，即剪应变 γ xy。这个剪应变由两部分组成，一部分是与x轴相平行的PA向y轴方向的转角θ1；另一部分是与y轴平行的线段PB向x轴方向的转角 θ2 。在小变形情况下?v ? ? ?v v ? dx ? v ? ? ?x ? ? ?1 ? tg?1 ? ? ?x ?? ?u ? ? 1 ? ?u dx ? ?? u ? dx? ? u ? ?x ?x ? ? ??69上式分母中的式可简写为：?u ? ? x ?? 1 ，可以略去。从而上 ?x同样可得：?v ?1 ? ?x ?u ?2 ? ?y线段PA与PB间的剪应变 γ xy等于θ1与 θ2 之和：?v ?u ? xy ? ?1 ? ? 2 ? ? ?x ?y ?w ?v ? yz ? ? ?y ?z? zx?u ?w ? ? ?z ?x70至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：?u ?x ? ?x? xy?v ?u ? ? ?x ?y?v ?y ? ?y?w ?z ? ?z? yz?w ?v ? ? ?y ?z?u ?w ? ? ?z ?x? zx称为几何方程 71几何方程式的矩阵形式为ε ? ?t u?? ? ?x ? ?0 ? ? ?0 ?t ? ? ? ? ? ?y ? ?0 ? ?? ? ? ?z 0 ? ?y 0 ? ?x ? ?z 0 ? 0? ? 0? ? ?? ? ?z ? ? ? T 0? ? ?? ? ?y ? ?? ?x ? ?其中 ? t 为微分算子 ? 的转置72变形连续方程由几何方程可知，六个应变分量完全由三个位 移分量u，v，w对x，y，z的偏导数所确定。因此，六个应变分量不会是互不相关的x，y，z的函数，相互之间必存在一定的关系。73从物理意义方面讲，物体在变形前是连续的，而在变形后仍是连续的。若六个应变分量互不相关，则每个微分体的变形是任意的，从而将使变形后的各微分体间出现“撕裂”或“重叠”，这显然与实际情况不符。要使物体变形后仍为连续的，六个应变分量间必满足一定的关系。下面推导这些关系。 74六个应变分量间的关系，可以分为两组。第一组 导数，得? ?x ?u ? 2 ?y ?x?y 22 3?u 分别求 ? x ? ?x?v ? y ? 对y，x的二阶 ?y? 2? y ?x 2? 3v ? ?y?x 2将上两式相加，得? ?x ? ? ?u ?v ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ?x?y ? ?y ?x ? ?x?y ?y ?x2 2? 2? y? 2? xy这就是应变分量间的一个关系式。75将x，y，z循环替换，可以得到? 2? y ?z 2 ? ?z ? ? 2 ?y?z ?y2? 2 ? yz? 2? z ? 2? x ? 2? zx ? ? 2 2 ?z?x ?x ?z与? ? x ? ? y ? ? xy ? 2 ? 2 ?y ?x ?x?y2 2 2组成了第一组的三个关系式。76第二组? zx分别求 ? xy?v ?u ? ? ?x ?y? yz?w ?v ? ? ?y ?z?u ?w ? ? ?z ?x对z，x，y的导数，得?? xy ?? yz ? 2 v ? 2u ? ? ?z ?x?z ?y?z? 2 w ? 2v ? ? ?x ?y?x ?z?x?? zx ? 2u ? 2 w ? ? ?y ?z?y ?x?y77将第二和第三式相加，减去第一式，得?? yz ?? zx ?? xy ?2w ? ? ?2 ?x ?y ?z ?x?y再求上式对z的导数：? 2? z ? ? ?? yz ?? zx ?? xy ? ?3w ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ?z ? ?x ?y ?z ? ?x?y?z ?x?y78将x，y，z循环替换，可以得到? ? ?? xy ?? yz ?? zx ? ? ? ? ?y ? ?z ?x ?y ? ? ? ? 2 ?x?z ? ? 2? y? 2? x ? ? ?? zx ?? xy ?? yz ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?x ? ?y ?z ?x ? ?y?z与? ? ?? yz ?? zx ?? xy ? ? 2? z ? ? ? ? ?2 ? ? ?z ? ?x ?y ?z ? ?x?y组成了第二组的三个关系式。上述六个微分关系式称为变形连续方程。 79对于二维问题，由于几何方程简化为：?u ?x ? ?x?v ?y ? ?y? xy?v ?u ? ? ?x ?y由于只存在以上三个应变分量，且都仅为x和 y的函数，则变形连续方程仅剩有? ?x ? 2 ? 2 ?y ?x ?x?y2? 2? y? 2? xy80物理方程前边对物体的应力和变形分别进行了讨论。这种分析适用于任何变形体，即所得出的一些结论和公式与物体的物理性质无关。但仅 有应力和应变的分析还不能解决问题，还必 须进一步研究应力和应变间的物理关系。 81由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状 态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关系，即σx = Eεx其中E为材料的弹性模量。这就是虎克定律。应力?Y弹塑性范围 弹性范围 斜率, E应变82工程上，一般将应力与应变间的关系表示为1 ? x ? ? x ? ? ?? y ? ? z ? E?? ?? xy1 ? ? xy G 1 ? ? yz G 1 ? ? zx G1 ? y ? ? y ? ? ?? z ? ? x ? E?? yz ? zx1 ? z ? ? z ? ? ?? x ? ? y ? E??称它们为物理方程（广义虎克定律）。83式中，E为弹性模量， μ为泊松比，G为剪切弹性模量，而且三者之间有如下的关系：E G? 2?1 ? ? ?这些弹性常数不随应力的大小而改变，不随 位置坐标而改变，也不随方向而改变。因为 我们曾假设物体是完全弹性的、均匀的，而且是各向同性的。84物理方程用六个应力分量表示六个应变分量。当然也可以用应变分量来表示应力分量。由上页的关系式及物理方程可以推出：? E ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ?x ? ?y ? ?z ? ? ?1 ? ? ??1 ? 2? ? ? 1? ? 1? ? ? ? ? E ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ?x ??y ? ?z ? ? ?1 ? ? ??1 ? 2? ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? E ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?z ? ?x ? ?y ??z ? ? ? ?1 ? ? ??1 ? 2? ? ? 1 ? ? 1? ? ?85? xy ? yz? zxE ? ? xy 2?1 ? ? ? E ? ? yz 2?1 ? ? ?E ? ? zx 2?1 ? ? ?T若令?? ? ? ?? x ? y ? z ? xy ? yz ? zx ??? ? ? ?? x ? y ? z ? xy ? yz ? zx ?T?? ? ? ?D??? ?代表应变列阵和应力列阵，则应力应变关系可写成矩阵形式86其中? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? E ?1 ? ? ? ? ?D? ? 0 ?1 ? ? ??1 ? 2? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 对 1 0 0 0 1 ? 2? 2?1 ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 称 ? ? ? ? ? 1 ? 2? ? 2?1 ? ? ?? ??1? ? 0 0 01 ? 2? 2?1 ? ? ? 0称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。87由广义虎克定律，有二维平面应力情况下的物理方程：物理方程逆形式88弹性问题中的能量表示弹性问题中的自然能量包括两类：? 外力功 ? 应变能 （以位移为基本变量的表达）或应变余能（以应力为基本变量的表达） 出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组合的物理量，如势能（以位移为基本变量的表达）、余能（以应力为基本变量的表达）等。 89外力功由于外力又包括作用在物体上的面力和体力，则外力功包括这两部分力所作的功。Part 1：外力（面力）pi 在对应位移ui上所作的功（on Sp）Part 2：体积力 bi 在对于位移ui上所作的功 （in?）90则外力总功为应变能 3D情形下变形体应力与应变的对应变量为91其变形能包括两个部分： Part 1：对应于正应力与正应变的变形能 Part 2：对应于剪应力与剪应变的变形能 正应力和正应变 如图所示，在xoy平面内考察应变能，这时微 体的厚度为dz，设微体dxdydz上只作用有 与 ，则由 （可由试验所得）的关 92系求得的微体上的变形能 为93则整个物体 ? 上与所产生的变形能剪应力和剪应变 先考察一对剪应力和剪应变（如图所示），此时微体的厚度为dz，设微体dxdydz上只作用 则由 与 与 , 作用，在微体上产生的能量 9495则整个物体 ? 上与所产生的变形能整体变形能 由叠加原理，将所有方向的正应力应变和剪 应力应变所产生的变形能相加，可得整体变 形能96势能定义系统的势能为97平面应变与平面应力问题任何构件都占有三度空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、应变和位移必然是三向的。一般说来，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。 98当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐标（如x、y）的函数。平面问题可以进而分为平面应变问题和平面应力问题两大类。 99平面应变设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于横向（x，y）尺寸，且与纵轴垂直的各截面都相同；受到垂直于纵轴但不沿长度变化的外力 （包括体积力X、Y，同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿长度变化。 100这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标z无关。则有u=u(x, y), v=v(x, y), w=0显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x、 y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这样， 我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄片进 行分析，用以代替整个构件的研究 。101在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问 题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水 （油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴 的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。y yo z y zoyoxox102还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于 其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时， 都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况 下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。 103由几何方程中应变分量和位移函数的关系及位 移公式，得?u ?u ?v ? ?x ? ? ?1 ?x, y ?, ? xy ? ? ? ? 2 ?x, y ?? ?x ?y ?x ? ?v ?w ?u ? ?y ? ? ? 3 ?x, y ?, ? yz ? ? ?0 ? ?y ?y ?x ? ?w ?u ?w ? ?z ? ? 0, ? zx ? ? ?0 ? ?z ?z ?x ?不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应 变仅发生在与坐标面xoy平行的平面内。 104? yz? zx ? 0 代入物理方程 将 ? yz ? 0，? zxE ? ? yz 2?1 ? ? ?E ? ? zx 2?1 ? ? ?得? yz ? 0? zx ? 01 ? z ? ? z ? ? ?? x? ? y ? E将 ? z ? 0 代入物理方程 得??? z ? ? ?? x ? ? y ?在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。 105将 ? z ? ? ?? x ? ? y ? 代入物理方程1 ? x ? ? x ? ? ?? y ? ? z ? E?? ?1 ? y ? ? y ? ? ?? z ? ? x ? E?得1? ? ?1 ? ? ?? x ? ?? y ?x ? E 1? ? ?1 ? ? ?? y ? ?? x ?y ? E 1 2?1 ? ? ? ? xy ? ? xy ? ? xy G E?? ?106?如果用应变分量来表示应力分量，则有? ? E (1 ? ? ) ? ? ? ?x ? ?x ? ?y ? ? ? (1 ? ? )(1 ? 2 ? ) ? 1? ? ? ? ? ? ? E (1 ? ? ) ? ? ? ?y ? ?x ??y ? ? ? ? (1 ? ? )(1 ? 2 ? ) ? 1 ? ? ? ? E E (1 ? ? ) 1 ? 2? ? ? ? xy ? ? ? xy ? 2(1 ? ? ) (1 ? ? )(1 ? 2 ? ) 2(1 ? ? ) ?? xy由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、 σy 和?xy 三个。 107平面应力对于具有如下特征的构件，可作为平面应力问题处理。(1) 物体沿一个坐标方向的尺寸 ( 如沿 z 轴方向) 远小于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴； (3) 由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。108体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即h z?? 时 2?z ? 0? zx ? 0? zy ? 0yh2yh2oxozh109在平面应力问题中，认为 ? z 等于零，但沿z轴的应变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。1 ? z ? ? z ? ? ?? x ? ? y ? 有 将 ? z ? 0 代入物理方程， E???z ? ??E??x?? y ?由于认为板内 ? zx ? 0 ? zy ? 0 ，将其代入物理方程? yz1 ? ? yz G? zx1 ? ? zx ，则有 G? yz ? 0? zx ? 0110于是，物理方程的另外三式成为1 ? x ? (? x ? ?? y ) E 1 ? y ? (? y ? ?? x ) E 1 2?1 ? μ ? ? ? xy ? τ xy G E ? ? ? ? ? ? ? ? ?? xy如果用应变分量来表示应力分量，上面三式变为? E ?x ? (? x ? ?? y ) ? 2 1? ? ? E ? ?y ? ( ?? x ? ? y ) ? 2 1? ? ? E E 1? ? ? ? G? xy ? ? xy ? ? ? xy ? 2 （ 1 ? ?) 2 1? ? 2 ?? xy111比较两类平面问题的物理方程：? E ?x ? (? x ? ?? y ) ? 2 1? ? ? E ? ?y ? ( ?? x ? ? y ) ? 2 1? ? ? E E 1? ? ? ? G? xy ? ? xy ? ? ? xy ? 2 2 （ 1 ? ?) 2 1? ? ?平面 应力? xy? xy? ? E (1 ? ? ) ? ? ? ?x ? ?x ? ?y ? ? ? (1 ? ? )(1 ? 2 ? ) ? 1? ? ? ? ? 平面 ? ? E (1 ? ? ) ? ? ? ?y ? ?x ??y ? ? 应变 ? ? (1 ? ? )(1 ? 2 ? ) ? 1 ? ? ? ? E E (1 ? ? ) 1 ? 2? ? ? ? xy ? ? ? xy ? 2(1 ? ? ) (1 ? ? )(1 ? 2 ? ) 2(1 ? ? ) ? 112? E 如果用 分别代换平面应力物理 2 和 1? ? 1? ?方程各式中的E和μ，就得到平面应变物理方程，因 此，我们可以将两类平面问题的物理方程写成统一 的格式，用矩阵方程表示为?? ? ? ?D??? ?这里，? ? ? ? ??x? y ? xy ?T?? ? ? ?? x ? y ? xy ?T分别为应力矩阵、应变矩阵。矩阵[D]称为弹性矩阵。113对于平面应力问题，弹性矩阵为? ?1 E ? ?D? ? ? 2 1? ? ? ?0 ? ? 对 ? 1 称 ? ? 1? ? ? 0 2 ?对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式中，以E 1? ? 2? 代E， 代μ即可。 1? ?114算例 已知平面应变问题中某一三角形三结点单元 刚度子阵为：?K ?e 11? ? ? ? 5?3 6?2 ? E ?1 ? ? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 4?1 ? ? ??1 ? 2? ? ?5 ? 2 ? 10 ? 4 ? 1? ? 1? ? ? ? ?试根据两类平面问题的转化关系写出该子阵对应平面应力问题的刚度子阵。 115用u E ?1 ? 2u ? 代E，用 2 1? u ?1 ? u ?代u。得到平面应力问题u ? ? 1 ? u 6?2 u ? ? 1? 1? u ? u ? ? 1 ? u 10 ? 4 u ? ? 1? 1? u ?的刚度子阵：u ? ? 1? u 5 ? 3 ? E ?1 ? 2u ? ? u ? u 1 ? ? ? ? 1? 2 ' 1 ? u ? ? 1 ? u ? ? e 1? u ? K11 ? u u ?? u ?? ? 4?1 ? ??1 ? 2 ?? 1? u ? 5 ? 2 1? u ? 1 ? u ?? ? u ? 1? 1? u ? ?5 ? 3u 6 ? 2u ? E ? ? 5 ? 2 u 10 ? 4 u 4 1? u2 ? ? ?? ???116平面问题的解法弹性力学平面问题有两个平衡微分方程，三个几何方程，三个物理方程。共有八个方程，其中含有三个应力分量 ? x ? y ? xy ，三个应变分量 ? x ? y ? xy，两个位移分量u和v，共八个未知函数。从数学的观点来看，有足够的方程来求解这些未知函数，问题是可解的。我们要求出八个未知函数，使其满足八个方程，同时还必须满足全部（应力及位移）的边界条件。117如前所述，在一定的边界条件下求解基本方 程，可以采用两种基本方法：一是位移法； 另一种是应力法。1. 位移法把两个位移分量u(x, y), v(x, y)作为基本未知函数。为此，必须利用物理方程和几何方程，将应力分量用位移分量表示出来。 118对于平面应力问题，有物理方程将几何方程?u ?x ? ?x ?v ?y ? ?y代入以上各式，得? xy?v ?u ? ? ?x ?y119E ?x ? 1? ? 2 E ?y ? 1? ? 2? ?u ?v ? ? ? ?x ? ? ?y ? ? ? ? ? ?u ?v ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? ? ?? xyE ? ?v ?u ? ? ? ? ? ? 2?1 ? ? ? ? ?x ?y ? ??? x ?? yx ? ?X ?0 ?x ?y?? xy ?x ? ?? y ?y ?Y ? 0再将上式带入平衡微分方程， 简化后，即得120E 1? ? 2E 1? ? 2? ? 2u 1 ? ? ? 2u 1 ? ? ? 2 v ? ? ? ?x 2 ? 2 ?y 2 ? 2 ?x?y ? ?? X ?0 ? ?? ? 2 v 1 ? ? ? 2 v 1 ? ? ? 2u ? ? ? ?y 2 ? 2 ?x 2 ? 2 ?x?y ? ??Y ? 0 ? ?这就是用位移分量表示的平衡微分方程。将E ?x ? 1? ? 2 ? ?u ?v ? ? ? ?x ? ? ?y ? ? ? ?E ?y ? 1? ? 2 ? ?u ?v ? E ? ?v ?u ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? ? xy ? 2?1 ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? ? ? ? ?代入应力边界条件? xl ?? yxm ? X? xyl ? ? y m ? Y121得到用位移表示的应力边界条件：E 1? ? 2 E 1? ? 2 ? ? ?u ?v ? 1 ? ? ? ?u ?v ?? ?l ? ? ?x ? ? ?y ? ??m 2 ? ? ?y ? ?x ? ?? ? X ? ? ?? ?? ? ? ?v ?u ? 1 ? ? ? ?u ?v ?? ?m? ? ?y ? ? ?x ? ??l 2 ? ? ?y ? ?x ? ?? ? Y ? ? ?? ? ?位移边界条件：uA ? uvA ? v由此可见，用位移法求解平面应力问题，归 结为求解平衡微分方程，并在边界上满足边界条件。122如果所求的问题直接给出了边界上的位移 uv ，则应使得到的位移分量满足位移边界条件 u A ? u v A ? v 。求出位移分量后，即可用几何方程求得应变分量， 再由物理方程 求出应力分量。? xy? E ?x ? (? x ? ?? y ) ? 2 1? ? ? E ? ?y ? ( ?? ? ? ) ? x y 2 1? ? ? E E 1? ? ? ? G? xy ? ? xy ? ? ? xy ? 2 （ 1 ? ?) 2 1? ? 2 ?对于平面应变问题，只需将上面各方程中的E换 ? E 为 。 2 ，将μ换为 1? ? 1? ? 1232. 应力法对于弹性力学平面问题，往往已知构件所承受的载荷。一般以应力作为基本未知量较为方便，因此应力法应用较为广泛。在这里以三个应力分量 ? x ?x, y ?、? y ?x, y ? 和 ? xy ?x, y ? 为基本未知函数，需要运用平衡?? xy ?? y ?? x ?? yx ? ?Y ? 0 ? ?X ?0 微分方程 ?x ?y ?x ?y 2 2 2 ? ? ? 变形连续方程 ? ? x ? y ? ? xy 共同决定这三个 ?y 2 ?x 2 ?x?y未知函数。124在这三个方程中，两个平衡方程已经用应力表 示了，尚需将应变表示的变形连续方程改为用 应力来表示，为此，将物理方程1? ? ?1 ? ? ?? x ? ?? y ?x ? E 1? ? ?1 ? ? ?? y ? ?? x ?y ? E 1 2?1 ? ? ? ? xy ? ? xy ? ? xy G E?? ?或? xy2?1 ? x ? (? x ? ?? y ) E 1 ? y ? (? y ? ?? x ) E 1 2?1 ? μ ? ? ? xy ? τ xy G E? ? ? ? ? ? ? ? ?代入变形连续方程? ?x ? 2 ? 2 ?y ?x ?x?y? 2? y? 2? xy即可。 125把所得结果再与平衡方程联立求解，即可得出三个应力分量，同时使它们满足边界条件? xl ?? yxm ? X? xyl ? ? y m ? Y进一步可由物理方程求应变，再通过几何方程?u ?x ? ?x?v ?y ? ?y? xy?v ?u ? ? ?x ?y求位移，使其满足位移边界条件。 126第三章 有限元分析的数学基础3.1 简单问题的解析求解3.1.1 1D拉压杆问题 一个左端固定的拉杆在其右端承受一外力P，该 拉杆的长度为l，横截面积为A，弹性模量为E， 如图所示。128（1） 基本变量由于该问题是为沿x方向的一维问题，因此 只有沿x方向的变量，而其它变量为零。即129（2） 基本方程对原三维问题的所有基本方程进行简化， 只保留沿x方向的方程，有该问题的三大基 本方程和边界条件如下：?? x ?0 ?x① 130?u ?x ? ?x②③④⑤ 131（3） 求解对方程①②③进行直接求解，可得到以下 结果⑥132其中c和c1为待定常数，由边界条件BC④ 和⑤，可求出⑥中的常数c1=0，因此，有最后的结果：⑦133（4） 讨论1若用经验方法求解（如材料力学的方法），则需先作平面假设，即假设布，则可得到为均匀分⑧ 再由虎克定律可算出 ⑨ 134再计算右端的伸长量为⑩经验方法求解的结果⑧⑨⑩与弹性力学解析的结果⑦完全一致。135（5） 讨论2 该问题有关能量的物理量的计算为应变能外力功 势能 1363.1.2 平面梁的弯曲问题受分布载荷的简支梁如图所示，由于简支梁的 厚度较薄，外载沿厚度方向无变化，该问题可 以认为是一平面问题（xoy）137（1） 基本方程的建立描述该变形体同样应有三大方程和两类边界 条件，有以下两种方法来建立基本方程。(a)用弹性力学中dxdy微体建模方法推导三大方程(b) 用简化的“特征建模”方法推导三大方程。下面给出简化的“特征建模”方法的推导过程，其思想是用工程宏观特征量进行描述。 138基本变量139下面取具有全高度梁的dx ”微段”来推导三 大方程140针对图中“微段”，应有三个平衡方程， 由 ，有其中，y为距梁中性层的坐标。由 ，有 ，即-141由，有，即由变形后的几何关系，可得到 其中，y为距中性层的坐标， 为梁挠度的 曲率，即 142由虎克定律对以上方程进行整理，有描述平面梁弯曲问题的基本方程将原始基本变量定为中性层的挠度v(x)，则可求出其它参量。143该简支梁的边界为梁的两端，作用在梁上的q(x)已 在平衡方程中考虑，因此不作为力的边界条件。 两端位移两端力（弯矩）144将弯矩以挠度的二阶导数来表示，即（2） 求解若用基于dxdy微体所建立的原始方程（即原平面应力问题中的三大类方程）进行直接求解，比较麻烦，并且很困难，若用基于以上简化的“特征建模”方法所得到的基本方程进行直接求解则比 较简单，对本例问题（如为均匀分布），其方程 为：145这是一个常微分方程，其解的形式有146其中c0……c3为待定系数，可由四个边界条件 BC求出，最后有结果（3） 讨论 该问题有关能量的物理量计算为： 应变能 147外力功势能148第四章 杆梁结构的有限元分析原理本章提到的FEM即 有限元方法(Finite Element Method) FEA即 有限元分析(Finite Element Analysis) 4.1 一个简单结构FEA求解的完整过程一个阶梯形状的二杆结构如图所示，其材料的弹性模量和结构尺寸如下：150该结构由两根杆件组成，作为一种直觉，需 要研究相应的“特征结构”，即杆单元，将 该“特征结构”抽象为具有两个结点的单元，如下图所示。151e下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化两个杆单元，即：单元①和单元② 152(2) 单元的特征及表达对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 ，那么它的两个结点条件为设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）153利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即将系数a0和a1代入，可将表达成结点位移(u1, u2)的关系，即154其中由一维问题几何方程和物理方程，则该单元的应变和应力为155其中156单元的势能其中叫做单元刚度矩阵。叫做单元结点外载。 在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 和 。键，下面就本题给出了个单元的具体就单元①，有 单元①的结点位移向量单元①的刚度矩阵单元①的结点外载其中P1为结点1的支反力。具体就单元②，有 单元②的结点位移向量单元②的刚度矩阵单元②的结点外载(3) 装配集成以得到系统的总体势能计算整体的势能(4) 处理位移边界条件并求解由图可知，其边界条件为左端固定，即 u1=0， 将该条件代入总体势能公式，有这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求一阶导数），有可解出(5) 计算每个单元的应变及应力在求得了所有的结点位移后，由几何方程可求得各单元的应变由方程可求得各单元的应力(6) 求结点1的支反力就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以建立该单元的平衡方程，即有则结点1的外力为：(7) 讨论如果我们在处理位移边界条件之前，先对总势能取极值，有在上述方程的基础上，再处理位移边界条件(BC)，即令u1=0，即可从上述方程求出u2，u3和P1，其求解的值与前面的结果完全相同。这就给我们提供了一个方便，即，可以先进行各单元的装配集成，以形成该系统的整体极值方程，类似于上页的式子，最后才处理位移边界条件，同时也可以通过该整体方程直接求出支反力。这样可以适应 更多的边界条件工况，更具有通用性。4.2 有限元分析的基本步骤和表达式从上面的简单实例中，可以总结出有限元分析的基本思路 （以杆单元为例）：基本步骤及相应的表达式(1) 物体几何的离散化 为具有特征的单元。(2) 单元的研究（所有力学信息都用结点位移来表 达）? 单元的结点描述 ? 单元的位移（场）模式（唯一确定性原则，完备性原则）为几何位置坐标。? 所有物理量的表达（所有力学量都用结点位移来表达）其中? 单元的平衡关系上式的实质（物理含义）是对应于单元体内的力平衡和单元结点上的力平衡。 (3) 装配集成? 整体平衡关系其中(4) 处理BC并求解结点位移目的是获得满足位移边界条件的许可位移场。其中，qu为未知结点位移，qk为已知结点位移，Pu为未知结点力（即支反力），Pk为已知结点力。将上页方程代入以下两个方程表达式：（1） （2）可以先由（1）式直接求出未知结点位移：(5) 求支反力 在求出未知结点位移qu后，由上页的(2)式可求出支反力(6) 其它力学量的计算 单元和整体的应变及应力4.3 杆单元及坐标变换4.3.1 局部坐标系中的单元描述局部坐标系中的杆单元上图所示的杆单元，设有两个端结点(Node1和 Node2)，结点位移向量 和结点力向量 为利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计 算公式，可以将单元的所有力学参数（场变量） ( 示。 和 )用结点位移向量来表(1) 单元位移场ue(x)的表达由于有两个结点位移条件，可假设该单元的位移场为具有两个待定系数的函数模式，即其中a0和a1为待定系数。由该单元的结点位移条件可求出上页的a0和a1，则可重新写成其中，叫做单元的形状函数矩阵，即(2) 单元应变场的表达由弹性力学中的几何方程（这里为一维问题）有其中叫做单元的几何函数矩阵，即(3) 单元应力场的表达由弹性力学中的物理方程，有其中，为该单元的弹性模量，叫做单元的应力函数矩阵，即(4) 单元势能的表达其中，叫做单元的刚度矩阵，即(5) 单元的刚度方程由最小势能原理（针对该单元），将结点位移向量 取一阶极小值，有对待定的这就是单元的刚度方程，由最小势能原理的性质 （系统的势能最小可推导出力的平衡方程和力的边 界条件）可知，上式的物理含义是：该单元的力的 平衡关系。4.3.2 平面问题中杆单元的坐标变换在工程实际中，杆单元可能出于整体坐标系中的任 意一个未知，如上图所示，这需要将原来在局部坐 标系中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系 中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成和装配。上图中局部坐标系中的结点位移上图中整体坐标系中的结点位移对于结点1，整体坐标系下的结点位移和其合成的结果应完全等效于位移 和；对于结点2，结点，合成的结果应完全等效于即存在以下的等价变换关系写成矩阵形式其中为坐标变换矩阵，即下面推导整体坐标系下的刚度方程，由于单元的势能是一个标量（能量），不会因坐标系的不同而改变，因此，将结点位移元势能 公式，有的坐标变换关系代入单其中，为整体坐标系下的单元刚度矩阵，为整体坐标系下的结点力，即由最小势能原理（针对该单元），将结点位移向量对待定的取一阶极小值，有整体坐标系中的刚度方程对于本节给出的杆单元，具体有4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是而整体坐标系中的结点位移为杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为其中和分别为结点1和结点2在整体坐标系中的位置，l是杆单元的长度， 和平面情形类似， 系： 与 之间存在以下转换关其中为坐标变换矩阵，即刚度矩阵和结点力的变化与平面情形相同，即为4.4 梁单元及其坐标变换4.4.1 局部坐标系中的纯弯梁单元上图所示为一局部坐标系中的纯弯梁，设有两个端 结点（Node1和Node2），结点位移 为 和结点力和前面推导杆单元时的情形类似，利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，我们可以将单元的所有力学参量（场变量）用结点位移向量来表示。(1) 单元位移场的表达由于有四个位移结点条件，可假设纯弯梁单元的位移场为具有四个待定系数的函数模式，即其中为待定系数。由该单元的结点位移条件可求出中的4个待定系数，即将上式代入中，重写位移函数，有其中，，叫做单元的形状函数矩阵，即(2) 单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式其中为基于中性层的坐标，叫做单元的几何函数矩阵，即其中(3) 单元应力场的表达其中弹性模量，叫做单元的应力函数矩阵(4) 单元势能该单元的势能为的表达其中应变能其中为刚度矩阵，即为惯性矩，则外力功为其中(5) 单元的刚度方程同样，由最小势能原理，将 对 取一阶极小值，有刚度方程其中刚度矩阵和力矩阵分别在以上的计算中给出。注意上式中的下表(4×4)(4×1)(4×1)为各个矩阵的维数（即行和列）。4.4.2 局部坐标系中的平面梁单元 为推导平面问题中的梁单元的坐标变换公式，我们在纯弯梁的基础上叠加轴向位移（由于为线弹性问题，满足叠加原理），如下图所示上图所示平面梁单元的结点位移为和结点力相应的刚度方程为将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到刚度矩阵4.4.3 平面问题中梁单元的坐标变换局部坐标系下的结点位移整体坐标系中的结点位移注意：转角和在两个坐标系中是相同的。按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可 推导出以下变换关系。写成矩阵形式有其中T为坐标变换矩阵，即则整体坐标系中的刚度方程为其中4.4.4 空间梁单元及坐标变换 空间梁单元除承受轴力和弯矩外，还可能承受扭矩的作用，而且弯矩可能同时在两个坐标面内存在，如下图对应于上图中梁单元，其局部坐标系中的结点位移 和结点力 为下面，我们分别基于前面杆单元和平面梁单元的 刚度矩阵分别写出上图中各对应结点位移的刚度 矩阵，然后进行组合以形成完整的刚度矩阵。(1) 对应于图中的结点位移(u1, u2)这是轴向位移，有刚度矩阵(2) 对应于图中的结点位移(,)这是杆受扭时的情形，其刚度矩阵为其中J为横截面的扭转惯性矩，G为剪切模量。(3) 对应于图中xoy平面内的结点位移 这是梁在xoy平面内的纯弯曲情形，有刚度矩阵其中Iz为梁的横截面绕z轴的惯性矩。(4) 对应于图中xoz平面内的结点位移 这是梁在xoz平面内的纯弯曲情形，有刚度矩阵6l ? 12 6l ? ? 12 2 2 ? EI y ? 6l 4l ? 6l 2l ? ? ? 3 l ?? 12 ? 6l 12 ? 6l ? ? 2 2 ? 2l ? 6l 4l ? ? 6lKe ( Oxz )( 4?4 )(5) 将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵将上述各分刚度矩阵的元素进行组合，则可形成局部坐标系中空间梁单元的完整刚度矩阵，即(6) 空间梁单元坐标变换空间梁单元坐标变换的原理和方法与平面梁单元的坐标变换相同，只要分别写出两个坐标系中的位移向量的等效关系则可得到坐标变换矩阵，即局部坐标系中空间梁单元的结点位移整体坐标系中的结点位移对应于各组位移分量，可分别推导相应的转换关系，具体的，对结点1，有同样，对结点2有以下转换关系以上的为结点坐标变换矩阵，即其中 …… 分别表示局部坐标轴(x， y，z)对整体坐标轴的方向余弦。将以上各式写在一起，有其中T为坐标变换矩阵，即第五章 连续体弹性问题的 有限元分析原理5.1 连续体问题的特征及有限元分析过程杆梁结构系统由于本身存在有自然的连接关系即自然结点，所有它们的离散化均叫做自然化离散，这样的计算模型对原始结构具有很好的描述。而连续体结构则不同，它本身内部不存在有自然的连接关系，而是以连续介质的形式进行物质间的 相互关联，所以，必须人为的在连续体内部和边 界上划分结点，以分片（单元）连续的形式来逼 近原来复杂的几何形状，这种离散过程叫做逼近 性离散过程。如下图所示对应于连续体的力学分析，有限元分析的一 般过程如下：(1) 原连续体（几何上）的逼近离散其中为单元。(2) 单元特性的研究研究单元特性以形成单元刚度矩阵和结点外载矩阵? 结点自由度（位移）描述：? 位移模式（简单性、完备性、连续性、唯一确定性） ? 由结点条件确定位移模式中的待定系数，推导 出形状函数矩阵：：形状函数矩阵 ? 单元应变场的表达（由几何方程）：：弹性力学中几何方程算子：几何方程? 单元应力场的表达（由物理方程）：：弹性力学中的弹性系数矩阵? 单元势能的表达：应力矩阵在以上公式中， ：单元刚度矩阵 ：单元结点力矩阵 ：面积力向量：体积力向量 其中对单元势能，应用最小势能原理，可得到单元的 平衡关系(3) 离散单元的装配和集成几何的集成结点位移的集成刚度矩阵的集成结点外载的集成形成整体刚度方程(4) 处理边界条件并且求解结点位移 (5) 求各单元内的应变、应力、支反力5.2 2D单元（三结点、四结点）的构造5.2.1 三结点三角形2D单元 三结点三角形2D单元如下图所示。三个结点为1、 2、3，各自的位置坐标为(xi，yi)，i=1，2，3，各 自的结点位移（分别沿x方向和y方向）为(ui，vi)，i=1，2，3。上图所示三结点三角形2D单元，结点位移向量和结点力向量 为下面，我们需要将所有力学参量用结点位移向量 来表达。(1) 单元位移场的表达 就三结点三角形2D单元，考虑到简单性、完备性、连续性及待定系数的唯一确定性原则，选取位移模式为（1）由结点条件，在x=xi，y=yi处，有 （2）将（1）代入结点条件（2）中，可求解（1）中的待定系数，即在上述各式中，上式（1，2，3）表示下标轮换，如12，23，31。将各系数代入（1）中，重写位移函数，并以结点 位移的形式表示，有写成矩阵形式，其中为形状函数矩阵，即(2) 单元应变场的表达 由弹性力学平面问题的几何方程其中几何函数矩阵为将形函数代入上式，有其中(3) 单元应力场的表达 由弹性力学平面问题的物理方程其中平面应力问题的弹性系数矩阵为将几何方程代入物理方程，有其中为单元应力矩阵。(4) 单元的势能的表达其中是单元刚度矩阵，即t为平面问题的厚度。势能公式中的为单元结点等效载荷，即其中为单元上作用有外载荷的边。为线积分(5) 单元的刚度方程讨论1：平面三结点三角形单元的结点位移和坐标变换由于该单元的结点位移是以整体坐标系中的x方向 位移(u1)和y方向位移(v1)来定义的，所以没有坐标 变换问题。讨论2：平面三结点三角形单元的应变矩阵和应力矩阵为常系数矩阵单元的位移场为线性关系，由于只与(xi，yi)相关， 是常系数，因而求出的 和 为常 系数矩阵，不随x、y变化，即这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同。因此，三结点三角形单元称为常应变单元，在应变梯度较大（即应力梯度比较大）的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。5.2.2 四结点矩形2D单元无量纲坐标：上图所示的四结点矩形2D单元，结点位移向量 和结点力向量 为下面，将所有力学参量用结点位移来表示。(1) 单元位移场的表达 从图中可以看出，结点条件共有8个，即x方向4个（u1，u2，u3，u4），y方向4个（v1，v2，v3，v4），因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，即取以下多项式作为单元的位移场模式它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以 上两式中右端的第四项是考虑到x方向和y方向的 对称性而取的，而未选x2或y2项。由结点条件，在x=xi，y=yi处，有将上页位移场公式代入上式，可以求解出待定系 数a0，……，a3和b0，……，b3，然后再代回位移 场公式，经整理，有其中如以无量纲坐标系来表达 可以写成，上式将位移场写成矩阵形式，有其中为该单元的形状函数矩阵。(2) 单元应变场的表达其中，几何函数矩阵为上式中的为(3) 单元应力场的表达(4) 单元势能的表达上式中的为四结点矩形2D单元的刚度矩阵，即其中t为平面问题的厚度。上式中的为势能公式中的为单元等效结点载荷，即其中为单元上作用有外载荷的边。(5) 单元的刚度方程讨论1：四结点矩形单元的几何形状坐标变换就变换而言，有两类变换，即：结点位移的坐标 变换和几何形状上的坐标变换；由于所讨论的四 结点矩形单元中，结点位移的定义是基于整体坐 标系的x方向和y方向，因此该单元的变换将主要在几何形状上，因为实际问题往往很难都用四结点矩形单元来划分网格，很多情况下要采用任意四边形单元，这需要将来把所研究的矩形单元映射到任意四边形中去，这就是等参元变换。讨论2：四结点矩形单元的应变和应力为一次线性变化 四结点矩形单元的位移在x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界x=±a和y=±b上，位移是按线性变化，且相邻单元公共结点上有共同的结点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上位移的连续性，这种单元的位移模式是完备和协调的，它的应变和应力为一次线性变化，因此比三结点常应变单元精度高。第六章 有限元分析中的若干 问题考虑6.1 单元结点编号和带宽计算机在进行有限元分析时，需要存储所有的单元 和结点信息，即将所有单元和结点进行编号，按顺 序存储在数据库中，然后再按单元和结点编号所对 应的位置，对所形成的单元刚度矩阵装配在整体刚度矩阵中，随着所求解问题自由度(DOF)的增大，整体刚度矩阵的规模非常巨大，但大部分的数据为 零，为节省存储空间，一般只需存储非零数据，那 么单元和结点的编号将直接影响到非零数据在整体 刚度矩阵中的位置，我们希望非零数据越集中越好，反映非零数据集中程度的一个指标就是带宽。上图所示2D连续体的单元和结点编号，第i个单元的结点位移为该单元装配时在刚度矩阵中的对应位置为由此可归纳出总体刚度矩阵半带宽的规律为2D连续体问题总体刚度矩阵的半带宽d={Max[第i个单元中相邻结点的最大差值+1]*2}3D连续体问题总体刚度矩阵的半带宽d={Max[第i个单元中相邻结点的最大差值+1]*3}6.2 边界条件的处理与支反力的计算位移边界条件在大多数情形下有两类：第一类：零位移边界，即第二类：给定具体数值的位移边界，即设所建立的总体刚度矩阵（将其进行分块）为其中：为已知， （未知结点位移）和（支反力）为未知（待求）。6.2.1 直接法处理边界条件（ 1） 由于 得到 的情形 ，对上页公式的对应位置划行划列后，可求出未知结点位移为（ 2）的情形将总刚方程写成两组方程将代入下面的方程，可得到则可求出未知结点位移为（3） “直接法”的特点6.2.2 对角元素置“1”法 对于边界条件 ，可置对应位置的 ，则这时方程应等价于原方程加上边界条件下面考察这种等价性，就上式中的第j行，有，即为所需要的边界条件。而除第j行外，其它各行 会计入 的影响，但其余各项的影响不变； 的影响。这恰好就是原方程加上边界条件6.2.3 对角元素乘大数法对于边界条件 情形，可将对于位置的krr乘一个大数，对于的pr置为，即这时方程应等价于原方程加上边界条件下面考察这种等价性，考虑式中第r行，有，6.2.4 划行划列法在整体刚度矩阵中，与这种位移为零的结点所对应的行和列元素，在求其它结点的位移时将不起作用，因而可以从刚度矩阵中划去。此时，方程组的阶数随之降低。这种修正平衡方程组的方法，明显改变了刚度矩阵中原来的排列顺序，降低了矩阵的阶数。这对于结构划分的单元少，采用手算的情况，是比较适用的，但对于使用计算机时，这种方法将使计算程序的编制变得复杂。欢迎您转载分享：
更多精彩：