不同尺寸的纳米金和纳米银算么...&br&纳米金银颗粒的局域表面等离子共振，产生让人迷醉的颜色&br&纳米金&figure&&img data-rawheight=&306& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-bd21e05d5a7a9043045ceb81b3218217_b.jpg& data-rawwidth=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&br&纳米银&figure&&img data-rawheight=&130& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-68dd0db263d9dca540612_b.jpg& data-rawwidth=&249& class=&content_image& width=&249&&&/figure&
不同尺寸的纳米金和纳米银算么... 纳米金银颗粒的局域表面等离子共振，产生让人迷醉的颜色 纳米金 纳米银
&p&感谢 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/bc7b6c47f800b646b12387& data-hash=&bc7b6c47f800b646b12387& data-hovercard=&p$b$bc7b6c47f800b646b12387&&@小林&/a& 的科普回答，几个点都说到了。大体就是：单口镜可以做大，信噪比高，且图像具有各向同性；干涉阵列空间分辨率高，但是分辨率受到阵列（基线）排布的限制，且不容易观测到大尺度结构。&/p&&p&敝人正好略懂射电天文学的皮毛，可以稍微掰扯一下为什么会这样。&/p&&p&射电干涉阵列观测到的原始数据是在一个叫做 visibility space 的空间。这是一个复空间，包含两个基： u 和 v，它们代表了各条基线的长度（其实是相位）。处理后得到的天空亮度分布 T(x,y) 就是这个 visibility space 里面的图像的傅里叶变换：&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%2Cy%29%3D%5Ciint+V%28u%2Cv%29e%5E%7B-2%5Cpi+i%28ux%2Bvy%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Du%5Cmathrm%7Bd%7Dv& alt=&T(x,y)=\iint V(u,v)e^{-2\pi i(ux+vy)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v& eeimg=&1&&&p&对于干涉阵列来说，阵列的排布本身会在 visibility space 空间中投出一个函数，这个记作 W(u,v)，它的傅里叶变换叫做 synthesized beam，记作 B(x,y)&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B%28x%2Cy%29+%3D+%5Ciint+W%28u%2Cv%29+e%5E%7B-2%5Cpi+i%28ux%2Bvy%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Du%5Cmathrm%7Bd%7Dv& alt=&B(x,y) = \iint W(u,v) e^{-2\pi i(ux+vy)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v& eeimg=&1&&&p&那么实际得到的天空图像，是天体本身 uv 函数，和望远镜的 uv 函数的卷积：&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%5Ctext%7BFinal%7D%28x%2Cy%29+%3D+T%28x%2Cy%29+%28%2A%29+B%28x%2Cy%29& alt=&T_\text{Final}(x,y) = T(x,y) (*) B(x,y)& eeimg=&1&&&p&那么问题就简单了。如果 visibility 函数 W(u,v) 是一个常数，它的傅里叶变换，也就是 B(x,y)，就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&& 函数，那么实际图像就是天体本身，该长啥样长啥样。&/p&&p&问题是咱的望远镜阵是一个稀疏的阵列，这就导致了 W(u,v) 实际是一串稀疏的点。比如甚大阵这样的 Y 形：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e9ffff52ae2fc3e2eea0b6d5b0bfe24e_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&p&靠地球自转之后，这 Y 型的点阵变成了这一圈圈密密麻麻的线&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4bfb31aa6ffc6d884605ba_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&405& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&p&而且，这个螺线的大小会随着望远镜的指向而变化：对着天顶的时候最圆润，覆盖面最大；对着地平线的时候最扁平，覆盖面最小。可以想象，因为地球一年四季的变化，每一个星体在天球上的轨迹都会随着四季变动。所以对观测一个固定的天体来说，一年是有最佳观测时机的。&/p&&p&射电干涉阵能覆盖多少 UV 平面，这个叫 UV coverage。当然，覆盖越多越好了咯——覆盖越完整，synthesized beam B(x,y) 就越接近 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&& 函数，出来的图像质量就越好。关于 UV 覆盖率和各种阵列排布方式的优劣，请支持一下 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/3918&/span&&span class=&invisible&&9485/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& 的答案。&/p&&p&但是我告诉你哦，&b&完美的事情是不存在的&/b&。土豪就算买下整个地球上的天文台（土豪快来买呀！这样我们这些砖工就都有工作了呢！），把望远镜一个挨一个码在一起，仍旧不能克服一个问题：望远镜是有物理大小的呀！两块镜子挨得再近，也不可能近过碟子的直径。这就意味着，非常非常小的 u,v 值，对于干涉阵来说，不可能做得到。&/p&&p&【此处因有“臣妾做不到.gif&】&/p&&p&所以，W(u,v) 的中央，永远都会有一个小孔，缺了一块。这缺掉的一块，对最终图像会造成什么影响呢？我们来请撫子酱帮我们做个模拟：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d28b91f677cdde58314c5_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d28b91f677cdde58314c5_r.jpg&&&/figure&&p&撫子酱傅里叶变换之后，是这样的&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e73f44cc66efbfebd7bee00_b.jpg& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&990& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e73f44cc66efbfebd7bee00_r.jpg&&&/figure&&p&我构造了一个中间缺了个孔的 W(u,v) 函数。这个孔只有图像边长的 1%&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-19a5a054e50bcca55ce53a5dfb769241_b.jpg& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&990& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-19a5a054e50bcca55ce53a5dfb769241_r.jpg&&&/figure&&p&乘上傅里叶变换的撫子酱，再傅里叶逆变换回来，最终的图像是：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2c2d422c58a141eb44c023f_b.jpg& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&990& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2c2d422c58a141eb44c023f_r.jpg&&&/figure&&p&可以看到，撫子酱曼妙的身姿还在，可是色彩全没有了。&/p&&p&换个方式看的话呢，我们可以单单看一下，中间缺掉的这个孔，对撫子酱下了什么手呢？是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2af3cfea6464f_b.jpg& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&990& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2af3cfea6464f_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dadd14fff9edf5ef5d6df_b.jpg& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&990& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dadd14fff9edf5ef5d6df_r.jpg&&&/figure&&p&很明显，是我们丢失掉的大尺度（低频）色彩&/p&&p&&b&总结一下：干涉阵列因为望远镜物理尺寸，在 UV 覆盖面中央缺少的孔，会使得图像缺少大尺度结构（低频信息）。&/b&&/p&&p&这时候，就需要我们的单口射电望远镜了。很显然的，单口镜不存在 UV coverage 的问题。只不过，通常来说，单口镜的空间分辨率没有干涉阵列高；或者说，单口镜低频信息保留得好，但分辨高频信息的能力不够。&/p&&p&所以，自然而然地，就有大神想到，把两者的优势结合起来。如下图，把单口望远镜和干涉阵数据结合起来，UV 就几乎可以全覆盖了！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7aefbeeb3a5f1731_b.jpg& data-rawwidth=&774& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&774& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7aefbeeb3a5f1731_r.jpg&&&/figure&&p&实际效果怎么样呢？看一下下面的例子：左上是用 ATCA（澳大利亚望远镜致密阵列）拿到的干涉图像，左下是用澳大利亚的 64 m Parkes 望远镜拿到的图像。右侧是合并之后的图像，可以看到高频细节和低频的大结构（extended emission）都得到了很好的显现。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a453ff6facbb6d90b8569e_b.jpg& data-rawwidth=&974& data-rawheight=&739& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&974& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a453ff6facbb6d90b8569e_r.jpg&&&/figure&&br&&p&下面再说信噪比。这一点上我觉得 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/bc7b6c47f800b646b12387& data-hash=&bc7b6c47f800b646b12387& data-hovercard=&p$b$bc7b6c47f800b646b12387&&@小林&/a& 说的有一点问题。&/p&&p&干涉阵列的信噪比其实是正比于基线的数量的平方根的。拥有 N 个完全相同的镜子的阵列，噪声等于&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_S%5Cpropto%5Cfrac%7BT_S%7D%7BA_e%5Csqrt%7BN%28N-1%29%5CDelta%5Cnu%5Ctau%7D%7D& alt=&\sigma_S\propto\frac{T_S}{A_e\sqrt{N(N-1)\Delta\nu\tau}}& eeimg=&1&&&p&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A_e& alt=&A_e& eeimg=&1&& 是镜子的有效面积，当然正比于几何面积。&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%5Cnu& alt=&\Delta\nu& eeimg=&1&& 是带宽，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau& alt=&\tau& eeimg=&1&& 是曝光时间，这个大家可以不用管。&/p&&p&而对于单口射电望远镜来说，其噪声就很简单，&/p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_S%5Cpropto%5Cfrac%7BT_S%7D%7BA_e%5Csqrt%7B%5Cdelta%5Cnu%5Ctau%7D%7D& alt=&\sigma_S\propto\frac{T_S}{A_e\sqrt{\delta\nu\tau}}& eeimg=&1&&&p&那么也就是说，如果说有一片 N 块镜子的阵列，其总的碟子面积等于一块大的单口望远镜的面积，那么其实它们的信噪比几乎相同。阵列稍微小一点，因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7BN%28N-1%29%7D%2FN%3C1& alt=&\sqrt{N(N-1)}/N&1& eeimg=&1&& ，但也差不了多少。&/p&&p&为什么会单口射电望远镜会给人以信噪比高的错觉呢——因为便宜。或者说，单位价钱的信噪比高吧。因为，虽然小碟子工程上容易造，但是一块大碟子还是比许多小碟子加起来要便宜。比如说，我们看同样工作在微波波段的 FAST 500 m 望远镜，和甚大阵（VLA）的 25 m 阵列。FAST 的有效面积大概是直径 300 m。如果甚大阵要达到 FAST 同样的有效面积（姑且认为两者的望远镜效率一样），那需要建造 (300/25)^2=144 块望远镜。事实上， VLA 只有 27 块望远镜。全球目前最大的阵列——阿塔卡玛阵列（ALMA）——也只有 66 块镜子。&/p&&p&镜子本身还不是全部成本。对于单口射电望远镜来说，不管碟子做得多大，背后只要有一块接收器就够了。而对于阵列来说，每一口望远镜背后都需要一块接收器，还需要专门建设一台超级计算机（叫做 correlator）来专门实时处理干涉成像所需要的计算。回想一下，干涉是一个傅里叶变换的计算，即使有快速傅里叶变换算法，时间复杂度也是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=O%28n%5Clog+n%29& alt=&O(n\log n)& eeimg=&1&& 。所以干涉阵背后的数据处理和能源需求比单口望远镜要高得多。&/p&&p&更多资料可以参考 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cv.nrao.edu/%7Esransom/web/Ch3.html%23S7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&3 Radio Telescopes and Radiometers? Essential Radio Astronomy&/a& 和 Juergen Ott 的讲座 &a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//science.nrao.edu/facilities/gbt/single-dish-school-lectures/sds-2011/jottSDschoolSDINTsubmitopdf.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&science.nrao.edu/facili&/span&&span class=&invisible&&ties/gbt/single-dish-school-lectures/sds-2011/jottSDschoolSDINTsubmitopdf.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&
的科普回答，几个点都说到了。大体就是：单口镜可以做大，信噪比高，且图像具有各向同性；干涉阵列空间分辨率高，但是分辨率受到阵列（基线）排布的限制，且不容易观测到大尺度结构。敝人正好略懂射电天文学的皮毛，可以稍微掰扯一下为什么会这…
补充：关于基准频率的问题，根据评论里的说法有一定争议，USB3.0规范里给出过基准频率是2.5GHz的说法（up to the
fundamental frequency of 2.5
GHz），但规范里给出的信号图里换算过来是5GHz，至少可以得知的是，USB3.0芯片里有2.5GHz的东西，是这东西产生的干扰，总线上是否以
2.5GHz传输还存疑。&br&&br&原回答：&br&&br&首先，需要明确一点事实，任何有线信号都会向外辐射电磁波，除非它是直流电（没有频率变化）、或者完全屏蔽。干扰的强度与线缆上传输的信号（如电压、电流、频率）有关。&br&&br&举一个特别现实的例子：一般在高压线的下方，如果要传输以太网信号，最可靠的方法是用光纤，如果用双绞线铜缆传输信号，很有可能会被干扰。&br&&br&大多数电子器件在设计的时候都要考虑电磁屏蔽和抗干扰的问题。所以，尽管USB3.0是有线信号，但仍然可能向外辐射电磁波，对其它信号产生干扰。&br&&br&那么有人会问了，USB3.0不是5GHz吗？Wifi是2.4GHz怎么会有干扰呢？问题出在USB传输线上。&br&&br&USB3.0的传输频率确实是5GHz串行，但USB3.0使用4条数据线组成2组，每组负责一个传输方向，实现全双工双向5GHz，而每条数据线的基准频率是2.5GHz。&br&&br&所以，总带宽是5GHz没错，但每条线上是2.5GHz，这个频率距离2.4G Wifi的频率太近了，又因为高频设备大多数都使用了SSC技术（扩频时钟？）使得信号不完全分布在一个固定频率上，所以就波及了2.5GHz附近的其它频率，所以对Wifi和蓝牙产生了较大的干扰。&br&&br&下图是Intel发布的USB3.0的干扰频谱：&br&&br&&figure&&img data-rawheight=&439& data-rawwidth=&798& src=&https://pic1.zhimg.com/50/d88d19b49c_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&798& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/d88d19b49c_r.jpg&&&/figure&Wifi使用的是2.4GHz的频率，所以USB3.0的传输会对WIFI产生较大的噪声干扰。&br&&br&下图是USB3.0挂移动硬盘时产生的干扰图，说明只有接上设备以后才有干扰：&br&&br&&figure&&img data-rawheight=&401& data-rawwidth=&810& src=&https://pic4.zhimg.com/50/7ceb270aff02deeb4aa7ea_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&810& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/7ceb270aff02deeb4aa7ea_r.jpg&&&/figure&通常来说USB3.0线缆的屏蔽性是很好的，但主要的问题出在接头处。如果拆开一个USB3.0的线，会发现外面有屏蔽层之类的保护，但这些东西不是完全屏蔽的，在接头处是裸露的，并且不完全封闭，这就使得USB3.0在接头处对外产生了较大的干扰。&br&&br&下图是各种屏蔽的测试，可以看出来，如果把移动硬盘的接头以及前半部分全屏蔽起来，就能大大降低干扰，而比较一下即使把整个硬盘都屏蔽起来，降低的效果不明显，说明干扰主要在接头部分：&br&&br&&figure&&img data-rawheight=&867& data-rawwidth=&770& src=&https://pic3.zhimg.com/50/9f26b14a66fa62b1bfd623f16d7dac12_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/9f26b14a66fa62b1bfd623f16d7dac12_r.jpg&&&/figure&&br&效果：&br&&figure&&img data-rawheight=&383& data-rawwidth=&685& src=&https://pic1.zhimg.com/50/e7beada48ed996aaa9cba3ba1026dd30_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&685& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/e7beada48ed996aaa9cba3ba1026dd30_r.jpg&&&/figure&&br&所以，总结下来就是USB传输的时候会产生噪声，影响Wifi的使用，解决方法要么是使用屏蔽设备（包括USB线缆的接头都要改造），要么使用5G的wifi。&br&&br&USB-IF有官方的文献，英语好的同学可以直接读这个：&a class=& external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.usb.org/developers/whitepapers/327216.pdf& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&usb.org/developers/whit&/span&&span class=&invisible&&epapers/327216.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&图片和数据来自上述文档。&br&&br&题外话：&br&&br&1、USB3.1要搞10GHz传输了，那么按照规范上来看，数据线上的频率应该是5GHz，所以，如果有一天升级到USB3.1，那么5G Wifi恐怕也要中枪了。&br&&br&2、传输频率低于总带宽的事情也算常见，网线（双绞线）就算一个，六类线(CAT6)以及更高规格的线缆上，总带宽是每条线的传输频率*数据线个数。&br&&br&3、为什么移动设备不怎么愿意用USB3.0接口？因为移动设备太小，电磁环境太复杂，有Wifi和各种频率的手机信号，现在再来个USB3.0，电磁屏蔽不好做。加上本身USB2.0还算不上传输瓶颈，所以就不着急上USB3.0了。
补充：关于基准频率的问题，根据评论里的说法有一定争议，USB3.0规范里给出过基准频率是2.5GHz的说法（up to the
fundamental frequency of 2.5
GHz），但规范里给出的信号图里换算过来是5GHz，至少可以得知的是，USB3.0芯片里有2.5GHz的东西，是这东西产…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9a518a69fc6ad9e2452ab_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9a518a69fc6ad9e2452ab_r.jpg&&&/figure&&p&&b&近日，科研人员发现了新型光合作用&/b&。该发现改变了人们对光合作用基本原理的认识，甚至可能改写课本。&/p&&p&&b&这一发现为我们搜寻外星生命量身定制了新方式，同时，此发现还为人们设计新作物提供了思路，使得这些作物能够利用更长的光波。&/b&&/p&&p&此项研究于 14 日发表于《科学》杂志，由伦敦帝国理工学院牵头，得到了英国生物技术与生物科学研究理事会（BBSRC）的支持。来自堪培拉澳大利亚国立大学（ANU）、巴黎及萨克莱法国科学研究中心、以及米兰国家研究委员会的科研团队也参与了此次研究。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a31e005af0fe7b06a9a7d2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a31e005af0fe7b06a9a7d2_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&图｜海滩岩石的横截面（澳大利亚 Heron 岛）显示含有叶绿素-f 的蓝藻（绿色带）可深达岩表下数毫米&/p&&p&地球上，绝大多数的生命在进行光合作用时所利用的都是可见红光，但此种新型的光合作用则利用了近红外光。这种新型光合作用发现于大范围的&b&蓝藻（蓝绿藻）中&/b&。在像黄石公园细菌垫及澳大利亚海滩岩石等阴暗环境，这些藻类也能在近红外光下生长。&/p&&p&&b&正如科学家们所发现的一样，在伦敦帝国理工学院配有红外 LED 的壁橱内，它们也能生长。&/b&&/p&&h2&&b&超越了红光限制的光合作用&/b&&/h2&&p&标准的、几乎所有类型的光合作用都要用到绿色素——叶绿素-a 来收集光线，并利用光能制造出有用的生化物质及氧气。这种叶绿素-a 吸收光的方式意味着只有红光产生的能量才能被光合作用所利用。 &/p&&p&由于叶绿素-a 存在于已知的所有植物、藻类及蓝藻中，因此，&b&人们普遍认为，红光的能量为光合作用设置了“红光限制”。&/b&所谓“红光限制”就是在产生氧气的化学过程中所需要的最少能量。在天体生物学中，“红光限制”可用于判断其他太阳系行星中能否演化出复杂生命。 &/p&&p&然而，这些在近红外光下生长的蓝藻打破了叶绿素-a 一统天下的局面，其他叶绿素，叶绿素-f 登上了历史舞台。 &/p&&p&在此之前，人们曾认为叶绿素-f 只能吸收光线。此项新研究表明，其实恰恰相反，在阴暗条件下，叶绿素-f 在光合作用中大有用武之地，它可以利用低能量红外光来进行复杂的化学反应。这也就是所谓超越了“红光限制”的光合作用。 &/p&&p&研究带头人、帝国理工学院生命科学部的首席研究员 Bill Rutherford 教授表示：“&b&这种光合作用的新形式引发了我们对之前认为可能事情的新思考，同时，也改变了我们对标准光合作用核心的认识，是一项改写教科书的发现。&/b&” &/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9baf74238acaca50b3812_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9baf74238acaca50b3812_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&图｜拟甲色球藻状（Chroococcidiopsis-like）细胞集落，其光合作用由叶绿素-a（品红）和叶绿素-f（黄）驱动&/p&&h2&&b&防止光损伤&/b&&/h2&&p&早前，人们曾发现，另一种蓝藻—— Acaryochloris 也可进行不受红光限制的光合作用。但是，由于其仅发生在单一物种内，而且生长地特殊，故被认为是“特例”。该蓝藻生活中绿色海鞘底部。那里隔绝了除近红外光之外的大部分可见光。今日报道的基于叶绿素-f 的光合作用代表了第三种广泛存在的光合作用。&b&然而，这种光合作用仍仅存在于特殊的红外光丰富的阴暗环境中；在正常光照条件下，仍采用标准红光形式的光合作用。&/b&&/p&&p&有人认为，超出“红光限制”会导致更为严重的光损伤，但新的研究表明，在稳定的阴暗环境中，光损伤并非问题所在。 &/p&&p&联合作者、帝国理工学院生命科学部的 Andrea Fantuzzi 博士说：“红光外光合作用的发现改变了我们对光合作用能量要求的认识。这为我们利用光能、避免光损伤提供了新思路。” &/p&&p&这些新思路对研究人员对研究人员来说大有裨益。根据这些新思路，&b&他们可以设计出新作物，使之能够利用更光谱的光进行更为有效的光合作用。蓝藻通过光亮变更保护自身免受光害。现在，这一方式也可帮助科研人员判断其作物设计的可行性。&/b&&/p&&h2&&b&改变教科书般的见解&/b&&/h2&&p&这个基于叶绿素-f 的新系统比之前标准的叶绿素 -a 系统显示出了更多细节。&b&通常认为的所谓“辅助”叶绿素实际上是化学作用的关键步骤，而非课本上所称的复杂生物中心的叶绿体“特殊对”。&/b&&/p&&p&这表明这种模式适用于其他类型的光合作用。这一发现将改变教科书中关于光合作用主要工作形式的介绍。 &/p&&p&这项研究的发起人和第一作者 Dennis Nürnberg 博士说：“我从没想过我对蓝藻及其不同生活方式的兴趣像滚雪球般越滚越大，最终改变了我们对光合作用的理解。太神奇了，大自然还有多少奥秘等着我们去发现呢？” &/p&&p&BBSRC-UKRI 前沿生物科学负责人 Peter Burlinson 说：“这是光合作用方面的一大重要发现。光合作用在作物生物学中举足轻重，而作物是全世界的命脉。这样的发现拓展了人们对生命的认识。Bill Rutherford 教授和帝国理工学院的团队应该为揭示这个基础过程的全新视角而深感自豪。”&/p&
近日，科研人员发现了新型光合作用。该发现改变了人们对光合作用基本原理的认识，甚至可能改写课本。这一发现为我们搜寻外星生命量身定制了新方式，同时，此发现还为人们设计新作物提供了思路，使得这些作物能够利用更长的光波。此项研究于 14 日发表于《科…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-63ab84a6dd49ccda0d872d_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&262& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-63ab84a6dd49ccda0d872d_r.jpg&&&/figure&&p&&b&第六章 光和物质相互作用中弱测量(Weak measurement in light-matter interaction)&/b&&/p&&p&------Yiming Pan (枫林白印)（原创，转载请注明出处）&/p&&p&弱测量，我已经在前面的章节中介绍了很多结果和想法啦。然而弱测量和弱值到底是什么，至今却并没有明确的答案，这是好事儿但也是坏事儿。弱值和零作用测量等概念的诡异之处，任谁就算多年物理科班训练，接受起来都会别扭。这些弱测量中诡异之处，其实也是来源于量子力学本身的诡异。介绍完Aharonov和Vaidman的主要工作后，也就只剩下Berry的superoscillation(超振荡)了，然后这个专栏就可以大致完结了，而我自己的写作热情也差不多耗尽了。只是superoscillation需要一点偏复杂的数学，而且后面的讨论会越来越要求数学功底，因此对于follow这个专栏的小部分读者来说便会有些艰难。但我相信大部分读者数学功底应该是极好的，因此能经受得起‘被虐’的！&/p&&hr&&p&&b&我常想，我们发展一个理论去认识世界，然后同时也利用这个理论来改变世界：这是一种基于模型的实在论，也是科学大行其道的缘由。弱测量理论，可以帮助我们感受到量子力学的诡异之处，那它能否帮我们主动改变量子力学中的物理过程呢？&/b&这个问题的价值是希望把弱测量理论‘润物细无声’般地应用到物理学的各个领域中，也希望能启发读者在自己的研究工作中运用弱值和弱测量。&/p&&hr&&p&经典力学思辨起来简单，但实际操作却很难；而量子力学思辨起来困难，真操作起来却很好用。弱测量也是如此傲娇，如果能主动加以利用的话，对于各种物理中相互作用过程调控将会大发光彩！我们就以光和物质的电磁作用(light-matter interaction)为例来讨论，电子显微镜中激光诱导电子束散射过程，如图1所示。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d5f29c4a7cec59ce84441ecd1a6aa98e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&948& data-rawheight=&749& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&948& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d5f29c4a7cec59ce84441ecd1a6aa98e_r.jpg&&&figcaption&图：在电子显微镜(TEM)的样品上，发生的激光和电子束之间的光和物质相互作用以及弱测量调控。这张图非常详细而综合地把弱测量的pre-selection, post-selection以及electron-photon coupling引入到电镜和激光的实验研究中去了。其中通过合适的预选择和后选择，我们就有可能干预发生在样品上的相互作用。&/figcaption&&/figure&&p&接下来，我先简单介绍一下图1中这套牛逼哄哄的装备，它是目前最前沿的研究课题啦(cutting-edge)。首先，它源于一个非常尴尬的现实，如果仔细观察这个套设备的话，其实各个部件都非常的平庸，并没有多么的尖端。激光技术(Laser)和电子束(TEM)测量都是非常成熟且应用广泛的，但由于独立发展导致技术壁垒的产生。这个壁垒就是如何在电子束真空管中引入激光光场来实现激光强场诱导下的电子束-样品场的耦合过程，这就要求把真空管从中间打开放一根光纤把激光光场导入进去。一台电子显微镜的造价300万到3000万不等，通常实验上购置一台光电子显微镜(photoemission TEM)都当做宝贝来使用，岂敢拿来拆卸和组装！&/p&&p&然而，实际上却是越来越多的实验组在探索这种用强光场(Laser)和单电子脉冲来研究更加前沿的Attosecond科学问题啦，其中的核心思想是&用激光来调控电子，反之用电子来激发新光场&。在此我提供一些德国的小组供大家参考：Claus R Peter B Peter H C SLAC等。我自己是做理论的，对技术细节是一知半解，也在学习中，就不多发表评论啦。&/p&&p&现在我们来看看，理论上的设计意义何在？设计光子晶体来加速电子是其中一种方式。&/p&&p&就算如此，实际情况，弱测量在‘Laser+TEM的组合’依然是很难实现。预选择不容易，后选择也不容易。而且弱测量的相互作用如何激发起来也是一个非常难办的事情。但是我们还是乐见其成。现在我们不妨假设，技术层面我们可以更好地控制单电子发射以及单电子的测量。利用这样的技术手段，我们可以预选择和后选择电子的量子态，那么在电子经过样品附近发生相互作用时，它的耦合方式可以一般性地表示为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3D-%5Cgamma+J%5Ccdot+%5Cvarphi& alt=&\mathcal{L}=-\gamma J\cdot \varphi& eeimg=&1&& ，其中J是电子电流算子。因为弱测量的要求，我们假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 很小，同时电流算子由于pre selection and post selection的存在，可以替换成weak value of current operator. The step is the key point.&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D_w%3D-%5Cgamma+J_w%5Ccdot+%5Cvarphi& alt=&\mathcal{L}_w=-\gamma J_w\cdot \varphi& eeimg=&1&&&/p&&p&其中，弱值电流(weak-valued current)定义为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J_w%3D%5Cfrac%7B%5Clangle+f%7CJ%7Ci%5Crangle%7D%7B%5Clangle+f%7Ci%5Crangle%7D& alt=&J_w=\frac{\langle f|J|i\rangle}{\langle f|i\rangle}& eeimg=&1&&，这儿弱值电流通过对相互作用后被散射的电子束后选择来调控。我们获得的弱值相互作用项具体非常复杂和丰富的数学结构，因为这个电子是后选择出来的，其实是弱值的一种。通常物理上的测量过程，是先准备一个系统初态(量子态，经典态或者是统计混合态等)，然后让它演化一段时间，这段时间内引入相互作用，初态演化到末态被测量仪器通过系统坍缩的方法测量出来。因此大致可简化成三个过程是: measurment.&/p&&p&但是弱测量过程要复杂一点，这个的测量过程被当做后选择(post-selection)来处理了。同时我们把测量的过程放在了样品(近场 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi& alt=&\varphi& eeimg=&1&& )上了。可以通过调节预选择和后选择的内积来聚焦和放大电流的弱值信号，而这些弱值信号将参与样品的这儿有很多可理论和实验操作的地方。&/p&&p&但是这个发展却也在稳步推进中。&/p&&ul&&li&&i&&b&在量子力学中散射过程是一个初值问题(初态+相互作用---&末态)，但是在弱测量理论中很抱歉它不是，相反地，散射过程却是一个边值问题(初态+末态---&‘弱值’型相互作用)&/b&&/i&&/li&&li&这个思路跟路径积分过程是一致的，从初态到末态所有可能的路径对系统演化算子的加权平均，经典路径贡献最大。然后在弱测量的意义下，我们通过后选择筛选出想要关心的那条路径来，把经典路径的影响过滤掉。&/li&&li&当然这并不是容易的，第一点如何测量样品场就是个问题，如果你用电学的办法测，就会遇到电子束导电问题。或者用光学探测器的发光行为来看，那么问题是如何把背景激光的散射给有效地分离出来。第二点是一个理论问题，也是弱测量被人诟病的地方，就是反常的弱值其实是人为后选择出来的。真实的过程其实都发生了，只是那些不满意后选择要求的结果被放弃掉了罢了。&/li&&li&把时间上的演化过程，当作一个边值问题，这便是所有矛盾的关键所在。通过后选择来操作相互作用过程，也不过就是和时间玩了一个小把戏。但这个小把戏如果真的能在图一中实验系统中实现了，那我们的确实能看到更多量子力学的细节。&/li&&/ul&&p&我实在是忙不过来了啦，只能把想法零散的记录下来，不能详细分析。实际上，那么多的文章要写，那么多的书还要读。。。弱测量的基本知识，想来我也尽量介绍过了，剩下来的是关于M. Berry在superoscillation和super weak value方面的工作，需要一点较难的数学描述，我就留到暑假之后来更新吧，那时大概我已经去Weizmann了吧。&/p&&p&（第一稿 10-June-2018）&/p&
第六章 光和物质相互作用中弱测量(Weak measurement in light-matter interaction)------Yiming Pan (枫林白印)（原创，转载请注明出处）弱测量，我已经在前面的章节中介绍了很多结果和想法啦。然而弱测量和弱值到底是什么，至今却并没有明确的答案，这是好…
入坑凝聚态理论的学习和研究已经将近三年的时间，磕磕绊绊地做过一些research，许多无疾而终，终归是因为自己基础薄弱，又思考的太少又不够深入。恰逢考完博士，自我感觉并不理想，面试时很多问题由于自己薄弱的基础也显得有些力不从心。有一些闲暇的功夫，希望通过这段时间，系统地学习一下凝聚态场论的知识，为将来的研究做一些基础的铺垫和工作。开这个专栏，也是为了激励自己能够把学习坚持下去。希望自己尽可能多地去思考，去总结。如有不当之处，也请各位看官批评和指正。&/p&&p&
我所学习的书，是Eduardo Fradkin 所著的FIELD THEORIES OF CONDENSED MATTER PHYSICS 的第二版。全书从目录来看，涵盖了强关联电子系统理论的诸多重要的内容。相信系统学习过这些知识，在之后的research中阅读文献应该可以把握更清晰的物理。&/p&&p&
闲言少叙，书归正传。全书从Hubbard模型说起。所有与强关联电子体系相关的理论几乎都是从Hubbard模型开始，这得益于其简单的形式和明了的物理意义。模型中，考虑能带中电子的两体排斥库伦相互作用，不考虑声子和吸引相互作用。因此Hubbard模型传统上与磁性相联系。而另一方面，超导被理解为由有效的吸引相互作用（BCS理论中的电声相互作用产生的）所导致的基态不稳定性。后来安德森指出，一些材料的的高温超导电性是完全由排斥相互作用所导致的。这个提法来自于这样一个事实：超导电性似乎来源于对一种绝缘状态的掺杂（即提取或加电）。&/p&&p&
Hubbard模型是一个非常简单的模型，在这个模型中，你可以认为，在一个固体中可能存在的许多不同的能带。每个原胞中，只有一少部分的态对基态性质有明显的贡献。在紧束缚近似下，能带的波函数可以写为原子波函数（布洛赫函数）的叠加，也就是瓦尼尔函数：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CPsi_%5Calpha%28%5Cvec+r_i%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7B%5Cvec+p%5Cin+BZ%7De%5E%7Bi%5Cvec+p%5Ccdot%5Cvec+r_i%7D%5CPsi_%7B%5Cvec+p%2C%5Calpha%7D%28%5Cvec+r_i%29& alt=&\Psi_\alpha(\vec r_i)=\frac{1}{N}\sum_{\vec p\in BZ}e^{i\vec p\cdot\vec r_i}\Psi_{\vec p,\alpha}(\vec r_i)& eeimg=&1&&
（1）&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec+r_i& alt=&\vec r_i& eeimg=&1&&是第i个原子的位置。现在只考虑单带，忽略指标 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&& ，相互作用的矩阵元可以写为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7Bij%2Ci%27j%27%7D%3D%5Cint+d%5E3r_1+d%5E3r_2%5CPsi_i+%5E%2A%28%5Cvec+r_1%29%5CPsi_j%5E%2A%28%5Cvec+r_2%29V%28%5Cvec+r_2-%5Cvec+r_1%29%5CPsi_i+%27%28%5Cvec+r_1%29%5CPsi_j%27%28%5Cvec+r_2%29& alt=&U_{ij,i'j'}=\int d^3r_1 d^3r_2\Psi_i ^*(\vec r_1)\Psi_j^*(\vec r_2)V(\vec r_2-\vec r_1)\Psi_i '(\vec r_1)\Psi_j'(\vec r_2)& eeimg=&1&&
（2）&/p&&p&其中V是库伦相互作用。由于V随着距离的增加而减小，因此最大的项为在位相互作用项： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7Bii%2Cii%7D%3DU& alt=&U_{ii,ii}=U& eeimg=&1&& ，其次是最近邻、次近邻……。另外，由于瓦尼尔函数有指数递减的overlap， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7Bij%2Ci%27j%27%7D& alt=&U_{ij,i'j'}& eeimg=&1&& 随 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ci-j%7C& alt=&|i-j|& eeimg=&1&& 减小的很快。&/p&&p&
二次量子化下的哈密顿量在紧束缚近似（瓦尼尔函数为基矢）下可以写为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=H%3D-%5Csum_%7B%5Cvec+r_i%2C+%5Cvec+r_j+%5C%5C+%5Csigma%3D%5Cuparrow%2C%5Cdownarrow%7D%5Cleft%28c_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r_i%29t_%7Bij%7Dc_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r_j%29%2Bc_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r_j%29t_%7Bij%7Dc_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r_i%29%5Cright%29%2B%5Cfrac12%5Csum_%7Bi%2Cj%2Ci%27%2Cj%27%5C%5C%5Csigma%2C%5Csigma%27%3D%5Cuparrow%2C%5Cdownarrow%7DU_%7Bij%2Ci%27j%27%7Dc_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r_i%29c_%7B%5Csigma%27%7D%5E%5Cdagger+%28%5Cvec+r_j%29+c_%7B%5Csigma%27%7D%28%5Cvec+r_%7Bj%27%7D%29+c_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r_%7Bi%27%7D%29& alt=&H=-\sum_{\vec r_i, \vec r_j \\ \sigma=\uparrow,\downarrow}\left(c_{\sigma}^\dagger(\vec r_i)t_{ij}c_{\sigma}(\vec r_j)+c_{\sigma}^\dagger(\vec r_j)t_{ij}c_{\sigma}(\vec r_i)\right)+\frac12\sum_{i,j,i',j'\\\sigma,\sigma'=\uparrow,\downarrow}U_{ij,i'j'}c_{\sigma}^\dagger(\vec r_i)c_{\sigma'}^\dagger (\vec r_j) c_{\sigma'}(\vec r_{j'}) c_{\sigma}(\vec r_{i'})& eeimg=&1&&&/p&&p&
（3）&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r%29& alt=&c_{\sigma}^\dagger(\vec r)& eeimg=&1&& 为电子的产生湮灭算符，满足反对易关系：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bc_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r%29%2Cc_%7B%5Csigma%27%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r%27%29%5C%7D%3D%5Cdelta_%7B%5Csigma%2C%5Csigma%27%7D%5Cdelta_%7Br%2Cr%27%7D%5C%5C+%5C%7Bc_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r%29%2Cc_%7B%5Csigma%27%7D%28%5Cvec+r%27%29%5C%7D%3D0& alt=&\{c_{\sigma}(\vec r),c_{\sigma'}^\dagger(\vec r')\}=\delta_{\sigma,\sigma'}\delta_{r,r'}\\ \{c_{\sigma}(\vec r),c_{\sigma'}(\vec r')\}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&
（4）&/p&&p&哈密顿量中，只有最近邻的跳跃项，库伦相互作用假设被屏蔽，只有在位的项被保留，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7Bij%2Ci%27j%27%7D%3DU%5Cdelta_%7Bij%7D%5Cdelta_%7Bi%27j%27%7D%5Cdelta%7Bii%27%7D& alt=&U_{ij,i'j'}=U\delta_{ij}\delta_{i'j'}\delta{ii'}& eeimg=&1&& ,因此哈密顿量可以写为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=H%3D-%5Csum_%7B%5Clangle+i%2Cj%5Crangle+%5C%5C+%5Csigma%3D%5Cuparrow%2C%5Cdownarrow%7D%5Cleft%28c_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r_i%29t_%7Bij%7Dc_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r_j%29%2Bh.c.%5Cright%29%2BU%5Csum_%7B%5Cvec+r%7Dn_%7B%5Cuparrow%7D%28%5Cvec+r%29n_%7B%5Cdownarrow%7D%28%5Cvec+r%29& alt=&H=-\sum_{\langle i,j\rangle \\ \sigma=\uparrow,\downarrow}\left(c_{\sigma}^\dagger(\vec r_i)t_{ij}c_{\sigma}(\vec r_j)+h.c.\right)+U\sum_{\vec r}n_{\uparrow}(\vec r)n_{\downarrow}(\vec r)& eeimg=&1&&
（5）&/p&&p&这就是我们最常见的单带Hubbard模型。其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n_%5Csigma%28%5Cvec+r%29%3Dc_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r%29c_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r%29& alt=&n_\sigma(\vec r)=c_{\sigma}^\dagger(\vec r)c_{\sigma}(\vec r)& eeimg=&1&& 为粒子数算符。根据泡利不相容原理，有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n_%7B%5Csigma%7D%3D0%2C1& alt=&n_{\sigma}=0,1& eeimg=&1&& 或者 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n_%7B%5Csigma%7D%5E2%3Dn_%7B%5Csigma%7D& alt=&n_{\sigma}^2=n_{\sigma}& eeimg=&1&& .&/p&&p&
系统的希尔伯特空间可以表示为每个点的四种态的张量积： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C0%5Crangle%2C%7C%5Cuparrow%5Crangle%2C%7C%5Cdownarrow%5Crangle%2C%7C%5Cuparrow%5Cdownarrow%5Crangle& alt=&|0\rangle,|\uparrow\rangle,|\downarrow\rangle,|\uparrow\downarrow\rangle& eeimg=&1&&，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C0%5Crangle& alt=&|0\rangle& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cuparrow%5Cdownarrow%5Crangle& alt=&|\uparrow\downarrow\rangle& eeimg=&1&& 为自旋单态（也就是S=0）。&/p&&p&
为了方便起见，可以定义自旋算符：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+S%28%5Cvec+r%29%3D%5Cfrac+%5Chbar+2c_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r%29%5Cvec+%5Ctau_%7B%5Csigma%5Csigma%27%7Dc_%7B%5Csigma%27%7D%28%5Cvec+r%29& alt=& S(\vec r)=\frac \hbar 2c_{\sigma}^\dagger(\vec r)\vec \tau_{\sigma\sigma'}c_{\sigma'}(\vec r)& eeimg=&1&&
（6）&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec+%5Ctau& alt=&\vec \tau& eeimg=&1&& 为泡利矩阵. &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec+r& alt=&\vec r& eeimg=&1&& 处的粒子数算符（或者是电荷算符）为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n%28%5Cvec+r%29%3D%5Csum_%7B%5Csigma%7Dn_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r%29%3D%5Csum_%7B%5Csigma%7Dc%5E%5Cdagger_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r%29c_%7B%5Csigma%7D%28%5Cvec+r%29%3Dc_%7B%5Csigma%7D%5E%5Cdagger%28%5Cvec+r%291_%7B%5Csigma%5Csigma%27%7Dc_%7B%5Csigma%27%7D%28%5Cvec+r%29& alt=&n(\vec r)=\sum_{\sigma}n_{\sigma}(\vec r)=\sum_{\sigma}c^\dagger_{\sigma}(\vec r)c_{\sigma}(\vec r)=c_{\sigma}^\dagger(\vec r)1_{\sigma\sigma'}c_{\sigma'}(\vec r)& eeimg=&1&&
（7）&/p&&p&以及相应的总电荷为&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q%3De%5Csum_%7B%5Cvec+r%7Dn%28%5Cvec+r%29%3DeN_e& alt=&Q=e\sum_{\vec r}n(\vec r)=eN_e& eeimg=&1&&
（8）&/p&&p&&br&&/p&&p&明天在此基础之上继续讨论哈密顿量的对称性。后面补充（3）（5）两式的详细推导步骤。&/p&&p&&/p&&p&&/p&
入坑凝聚态理论的学习和研究已经将近三年的时间，磕磕绊绊地做过一些research，许多无疾而终，终归是因为自己基础薄弱，又思考的太少又不够深入。恰逢考完博士，自我感觉并不理想，面试时很多问题由于自己薄弱的基础也显得有些力不从心。有一些闲暇的功夫，…
&p&泻药。两个概念要区分开1）soc的强度，2）soc导致的劈劽。&/p&&p&根据我为数不多的材料计算经验，soc本身的强度几乎只和原子种类有关，并且拿孤立原子的soc项直接带入固体似乎总是一个不错的近似。拿dft软件来说，超软赝势一般就是直接用孤立原子的soc项；vasp的paw的soc虽然是自洽的，但是也是只考虑近原子核区域并且做球对称近似，和孤立原子的差不了多少。&/p&&p&soc在固体中的效果（也即引起什么样的劈裂），就取决于晶体的对称性了。如前面那位仁兄所答，在没有空间反演的晶体里会导致一些简并能带劈劽。当没有soc的时候，你可以简单地认为两种自旋就是把能带double一下而已，此时能带构成单群的表示。然而当考虑soc的时候，你不能简单地用自旋把能带分成两套，此时两种自旋合起来形成双群的表示，这就会引起一些劈裂。具体是怎么劈裂，取决于晶体场的群。确实存在你说得情况，沿两个方向的劈裂情况不同，这是因为这两个方向上的波矢群不同。&/p&&p&掌握这方面的知识需要学习一些群表示的理论及其在固体物理中的应用。&/p&
泻药。两个概念要区分开1）soc的强度，2）soc导致的劈劽。根据我为数不多的材料计算经验，soc本身的强度几乎只和原子种类有关，并且拿孤立原子的soc项直接带入固体似乎总是一个不错的近似。拿dft软件来说，超软赝势一般就是直接用孤立原子的soc项；vasp的pa…
&p&固体里面的自旋轨道耦合（SOC）有两种：&/p&&ol&&li&和对称性无关的&/li&&/ol&&p&存在于任何晶体。&/p&&p& 2. 和对称性相关的&/p&&p&没有中心反演对称性（no inversion symmetry），分两种&/p&&p&
1）. Dresselhaus type: intrinsic bulk induced assymetry&/p&&p&
2）. Rashba type: surface induced asymetry&/p&&p&晶体同时具有时间反演对称性time reversal和空间反演对称性space inversion symmetry的时候，不同自旋的能带在同一k和或（k，-k）点的能量是简并的，破坏inversion symmetry后仍然有二重简并（Kramer degeneracy），SOC并不破坏time reversal symmetry。在Rashba SOC里面，SOC是和表面电势的梯度，也就是电场成正比的。关于对称性的影响，需要点群论的知识。不同对称性下有效的Hamiltonian是不一样的，以最简单的C2v group为例，&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2f897021dafeeae35dcb_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&94& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2f897021dafeeae35dcb_r.jpg&&&/figure&&p&可以把它拆分开来&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0c2bcd4f13a7a324548a_b.jpg& data-rawwidth=&876& data-rawheight=&169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&876& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0c2bcd4f13a7a324548a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&从他们的Hamiltonian可知，Dresselhaus 和Rashba SOC可以共存，但所对应的spin texture完全不一样，由此可用来区分这两种effect。Rashba和Dresselhaus parameters也可以用DFT+GW+SOC去拟合，利用k dot p model就可以研究不同晶体体系（with different symmetry）内不同高对称点的SOC了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4b48dedefc0020eebe282_b.jpg& data-rawwidth=&492& data-rawheight=&256& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&492& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4b48dedefc0020eebe282_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&p&&/p&
固体里面的自旋轨道耦合（SOC）有两种：和对称性无关的存在于任何晶体。 2. 和对称性相关的没有中心反演对称性（no inversion symmetry），分两种 1）. Dresselhaus type: intrinsic bulk induced assymetry 2）. Rashba type: surface induced asymetry晶…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-176d9fb3c9e_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-176d9fb3c9e_r.jpg&&&/figure&&p&1959 年，理查德·费曼在加州理工学院美国物理学年会的演讲--《物质底层大有空间》（There's plenty room at the bottom）提出了在原子尺度上进行纳米操作和装配的可能性，以极高的前瞻性预言了 21 世纪各国争相占领的高地—— &b&纳米技术。&/b&&/p&&p&著名科学家钱学森也说过：&b&“纳米技术是二十一世纪科技发展的重点，会是一次技术革命，还会是一次产业革命。”&/b&一直以来，科学家们也在不断地拓展纳米技术，一个重要方向正是纳米机器人。&/p&&p&其中一类纳米机器人指的是由纳米或者分子级别的成分构成的、大小在 0.1-10 微米的纳米机器人，&b&另一类纳米机器人指的是可以与纳米级物体进行精确交互的纳米操作机器人，今天要介绍的正是这一类机器人。&/b&&/p&&p&上个月的《自然·通讯》（Nature Communication）杂志上，&b&我们终于得以见识到一款称得上是“神奇材料建造师”的纳米操作机器人的尊容，&/b&日本东京大学工业科学研究所 ( Institute of Industrial Science, University of Tokyo)的研究者 Satoru Masubuchi、Tomoki Machida 及其同事研发的纳米组装机器人系统，已经非常接近商业化。&/p&&p&上周的《自然·纳米技术》（Nature Nanotechnology）杂志上则刊登了马德里高级研究所 ( IMDEA) 的研究员 Riccardo Frisenda 和 Andres Castellanos-Gomez 的一篇关于这项研究的分析文章。&b&他们认为，该纳米机器人系统不仅改写了纳米技术研究的游戏规则，还打开了大规模纳米制造的前景。&/b&&/p&&p&相信近期看过“复联3” 的读者一定对钢铁侠的“新战袍” —— &b&纳米机甲&/b&有印象，这款机甲的一大特点就是储存了大量的纳米机器人以便随时修复机甲。虽然，此次论文研究的纳米机器人系统并不能担此重任，但是，它们同样背负着一个重要使命—— &b&以远超人类手工速度的效率实现范德华（vdW）异质结构的个性化制造，而范德华异质结构正是科学家梦寐以求的后摩尔时代的神奇材料。&/b&&/p&&p&这套“准商业化”的纳米机器人系统提供了一种高效的实现复杂 vdW 异质结构个性化设计和自动化组装的技术，有望进一步开发 vdW 异质结构的电子多样性，实现新型功能性微电子及光电子器件的制造，以及揭示新的 2D 物理学机制。&/p&&h2&&b&打破瓶颈，冲击后摩尔时代的材料梦&/b&&/h2&&p&简而言之，不同二维材料人工叠加在一起，就形成了 vdW 异质结构。这种结构本身就是新型人工材料，&b&相当于“原子层面的乐高”（atomic-scale lego）&/b&。&b&这种按需设计和叠加的人工结构极大地丰富了材料的属性，因此被认为是自然界中并不存在但却性能优异的神奇材料。&/b&&/p&&p&此前，DT 君报道的《 21岁MIT中国科学家连发两篇《Nature》论文：室温超导有望实现重大突破，石墨烯揭开其中“魔法” | 独家 》一文中，其实现突破的材料便是 vdW 异质结构。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c3ec72efca70e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&343& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c3ec72efca70e_r.jpg&&&/figure&&p&图 | 二维材料和范德华异质结构&/p&&p&试想一下，将性质迥异的不同二维材料堆叠在一起，就能创造出无限丰富的新材料和新物理特性，这使得vdW异质结构的吸引力远高于二维材料本身，&b&而这种技术也使得人类对材料的设计变得前所未有的简单，甚至还发掘了许多新奇的物理现象：&/b&比如第一次观察到了由 Hof-stadter预言的分形朗道量子化，还观察到分形量子霍尔效应、高质量的量子震荡、共振隧穿效应等。而这些仅仅是这种“原子层乐高”无限可能性中的冰山一角而已。&/p&&p&然而，能否以低成本、高效率批量化生产设计可控、结构复杂的 vdW 异质结构关系到其是否能够在应用上有足够的前景。&/p&&p&&b&目前，这种神奇材料的制造仍严重依赖于人工操作实验仪器，涉及非常多繁复的人工操作环节。&/b&因此，对 vdW 异质结构的研究正处于一个难以突破的瓶颈状态：&b&高复杂度需求与低制造可行性正在相互矛盾。&/b&显然，要解决这个问题，需要技术上的突破。&/p&&p&研究者们已经提出了一些自动化技术，可是，&b&受限于集成 vdW 异质结构制造、计算机视觉和机器人技术所面临的重重技术障碍，&/b&目前还没有实现真正的 vdW 异质结构自动化制造技术。&/p&&p&为了解决这个问题，科学家们将目光投向了纳米机器人。此次日本研究者们开发的自动化纳米机器人系统，最大的突破之一便在于能够高效的自动识别并分类二维晶体，通过自动化转移机械臂和压印技术实现复杂的 vdW 超晶格组装。&/p&&p&而且，这套纳米机器人该系统能够以极小的误差（&b&&7%，原来的识别算法真实检测率小于50%&/b&）&b&每小时自动识别 400 个单层石墨烯片&/b&，每小时能进行四个周期的指定二维晶体的组装，而每个周期仅需几分钟的人工干预。&/p&&p&目前，利用该机器人系统能够制造出由石墨烯和六方氮化硼交替叠加而组成的 29 层 G/hBN (石墨/六方氮化硼) 超晶格结构，打破了 2015 年 F. Withers 团队创下的 13 层记录。&/p&&h2&&b&拆解“神奇材料建造师”三大核心部分&/b&&/h2&&p&那么，这款纳米机器人系统是如何实现这些惊人效果的？&/p&&p&答案在于其关键的三大组成部分：&b&自动光学显微镜、芯片转移机械臂以及压印装置。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-12b544093bfcd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&692& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-12b544093bfcd_r.jpg&&&/figure&&p&图 | 纳米操作机器人系统&/p&&p&&b&其中，自动光学显微镜负责对材料实现分类和识别。&/b&结合高效的计算机视觉算法，自动显微系统每小时能分析 12000 张光学图像（每秒超过 3 张）以搜索和识别出机械剥离的二维材料薄片，并根据二维材料薄片的厚度进行分类。另外，识别出的二维晶体的位置坐标和形貌特征都会存储在后台数据库，以便用户访问。系统还允许用户提供个性化设计的材料层叠顺序和方向。&/p&&p&值得一提的是，作者提出&b&改进的图像处理算法，根据色彩对比和信息熵阈值两条路径对光学图像进行搜索和识别，从而极大地降低了识别错误率。识别之后，系统会开始组装。&/b&在组装过程中，通过检索数据库并在机器视觉算法的引导下，机器人系统会以特定顺序挑选不同的二维晶体薄片，并通过芯片机械臂转移。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cc04db1aa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&412& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cc04db1aa_r.jpg&&&/figure&&p&图 | 目标二维晶体片的对准、拾取与压印&/p&&p&再通过压印装备上的聚合物印章以特定方向将二维晶体薄片按顺序堆叠为复杂的 vdW 异质结构，同步不断重复后两个步骤，&b&我们就能够获得多层 vdW 异质结构的制造。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a4fea340c225c4c4496efc61_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a4fea340c225c4c4496efc61_r.jpg&&&/figure&&p&图 | 自动组装流程&/p&&h2&&b&打开大规模纳米制造的前景&/b&&/h2&&p&本周的《自然·纳米技术》的一篇关于这项研究的分析文章，更是用一个简单的数学计算证明了这个纳米机器人系统的商业化潜力：研究者需要花好几天的手工组装时间才能获得 13 层 vdW 异质结构，&b&而这款纳米机器人系统仅需 32 小时就能组装出 29 层 vdW 异质结构，而这还只是一个小小的开胃菜&/b&。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c976cc8e01ea0be9c5f8e7d336e40e7d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&712& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c976cc8e01ea0be9c5f8e7d336e40e7d_r.jpg&&&/figure&&p&图 | 这款纳米机器人系统仅需 32 小时就能组装出 29 层 vdW 异质结构。&/p&&p&Castellanos-Gomez 称：“这款机器人系统所耗费的时间还有很大的提升空间。目前，&b&限制速度的主要原因之一在于每一次转移步骤都需要进行中断以请求人类监督员的许可。&/b&这一人工监督步骤主要是为了校准机器人自动对准过程中产生的 10 微米误差。 &b&如果配合市场上已有的高精度移动平台（这种技术是现成的），就能省去这个人工监督步骤，我相信这将大大加快组装进程。&/b&”&/p&&p&Castellanos-Gomez 认为，这个系统是实现从原子机械组装分子的一种雏形。不同于制造业常用的“自顶向下”（top-down）的方法是由块材进行减材来生产小器件，比如硅工业中从宏观的晶片通过光刻等工艺获得极微小的晶体管。在日本研究者开发的系机器人统中，&b&他们采用的是“自下而上”（bottom-up）的方法&/b&，利用原子层厚度的二维材料层层堆叠而形成纳米器件。&/p&&p&当然，也有一些自组装的方法能够形成层叠的 vdW 异质结构并且不需要人工的参与。然而，这些自组装方法只能制造出简单的具有 A-B-A-B-A-B 交叠层的异质结构。相比之下，机器人技术就可以很容易地生产出用户自定义的任意的更复杂和更个性化的异质结构。&/p&&p&&b&因此，这项工作的意义不仅在于发明了一种能减轻科研人员人力负担的工具，还为制造复杂叠层异质结构和研究新的物理现象提供了可能性，而这是目前人工操作所不能实现的。&/b&并且，该系统还有利于纳米器件的大规模集成，该过程涉及到精确的、可重复的二维材料薄片的自动化识别和堆叠。&/p&&p&当然，任何新技术的成熟都会伴有一些挑战。&/p&&p&该系统仍旧面临许多亟待解决的问题：&b&如何去除人工监督校准步骤，实现转移过程的完全自动化？&/b&目前的二维材料剥离以及最终产物转移至目标基底等步骤还是暴露于空气中，&b&如何使整个工艺过程都处于环境可控的氛围中？&/b&此外，虽然作者已经提供了非常全面的系统操作描述并且开源了所使用的软件，还需要考虑进一步降低系统的操作复杂性以利于潜在用户的使用。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-176d9fb3c9e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-176d9fb3c9e_r.jpg&&&/figure&&p&图 | 纳米操作机器人&/p&&p&然而，尽管还有很多挑战，该机器人系统是实现基于二维材料的任意复杂性纳米器件的重要一步。&/p&&p&就目前而言，想要让这个纳米机器人系统不只成为实验室廉价劳动力的替代，同时实现大规模纳米制造的飞跃，研究者就必须证明其与化学气相沉积（CVD）法大规模生长二维材料的兼容性。Castellanos-Gomez 说：“目前为止，&b&已经证明了这项技术能够很好地应用于机械剥离二维材料薄片的堆叠。&/b&虽然目前仍仅限于实验室使用，但我认为在不久的将来将其用于 CVD 材料也不会有很大的技术难度。”&/p&&p&正如 Castellanos-Gomez 所说&b&：“这个机器人系统看起来已经很接近商业化了”。&/b&&/p&&p&目前对于二维 vdW 材料的研究正处于升温阶段，&b&随着纳米操作机器人自动化组装技术的推广，可以预见越来越多的 vdW 材料体系将进入我们的视野，更多的具有新奇和优异性能的材料有望问世。&/b&&/p&
1959 年，理查德·费曼在加州理工学院美国物理学年会的演讲--《物质底层大有空间》（There's plenty room at the bottom）提出了在原子尺度上进行纳米操作和装配的可能性，以极高的前瞻性预言了 21 世纪各国争相占领的高地—— 纳米技术。著名科学家钱学森…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1a939b53a329bfb3ad803ed_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&735& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-1a939b53a329bfb3ad803ed_r.jpg&&&/figure&&p&文章主要小结一下关于旋量与洛伦兹变换的问题,&/p&&ul&&li&旋量的初等计算&/li&&li&洛伦兹群的表示&/li&&li&相对论波动方程&/li&&li&矢量场的洛伦兹变换计算&/li&&/ul&&hr&&h2&&b&1.旋量的几何图像&/b&&/h2&&p&旋量最直观的理解是几何化的,在复变函数中,我们已知黎曼球面上的点与复射影直线上的点是一一对应的,考虑单位球面上的点的球极投影&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5E2%5Cto+%5Cmathrm%7BP%5E1%7D%5Cmathbb+C%3A%28x%5E1%2Cx%5E2%2Cx%5E3%29%5Cmapsto+z%3D%5Cfrac%7Bx%5E1%2Bix%5E2%7D%7B1-x%5E3%7D%3D%5Ccot%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7Bi%5Cphi%7D+& alt=&S^2\to \mathrm{P^1}\mathbb C:(x^1,x^2,x^3)\mapsto z=\frac{x^1+ix^2}{1-x^3}=\cot\frac{\theta}{2}e^{i\phi} & eeimg=&1&&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-08da4c59cd60c3bdac64f8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&818& data-rawheight=&446& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&818& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-08da4c59cd60c3bdac64f8_r.jpg&&&/figure&&p&我们用&b&齐次坐标&/b&来标记复射影空间中的点&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=z%5Csim%7Bz%5Cchoose+1%7D+& alt=&z\sim{z\choose 1} & eeimg=&1&&&/p&&p&则三维空间中的转动可以诱导复平面上的m?bius变换&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%7Bz%5Cchoose+1%7D%5Cmapsto%5Cbegin%7Bpmatrix%7Da%26b%5C%5Cc%26d%5Cend%7Bpmatrix%7D%7Bz+%5Cchoose+1%7D%2C+%5Cbegin%7Bpmatrix%7Da%26b%5C%5Cc%26d%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cin+%5Cmathrm%7BGL%282%2C%5Cmathbb+C%29%7D+& alt=& {z\choose 1}\mapsto\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}{z \choose 1}, \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathrm{GL(2,\mathbb C)} & eeimg=&1&&&/p&&p&依照量子力学中的习惯,我们将齐次坐标归一化,得到一个二分量的&波函数&,这就是一个旋量&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Bz%5Cchoose1%7D%5Csim%5Cxi%3D%7B%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7B%5Cphi%2B%5Cchi%7D%7B2%7D%7D%5Cchoose%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7B-i%5Cfrac%7B%5Cphi-%5Cchi%7D%7B2%7D%7D%7D+& alt=&{z\choose1}\sim\xi={\cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi+\chi}{2}}\choose\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi-\chi}{2}}} & eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cchi+& alt=& \chi & eeimg=&1&& 为不确定的相位因子&/p&&p&旋量可以用指标记法记作 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi%5Ea& alt=&\xi^a& eeimg=&1&& ,其中抽象的指标可以取 a=1,2 &/p&&p&我们也可以通过旋量的分量恢复出原先的矢量坐标 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%28x%5E1%2Cx%5E2%2Cx%5E3%29+& alt=& (x^1,x^2,x^3) & eeimg=&1&& 来&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E1%3D%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Cphi%3D%5Cxi%5E1%5Cbar%7B%5Cxi%5E2%7D%2B%5Cxi%5E2%5Cbar+%5Cxi%5E1%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cxi%5E1+%26+%5Cxi%5E2%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D0%261%5C%5C1%260%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cbar%5Cxi%5E1+%5C%5C+%5Cbar%5Cxi%5E2%5Cend%7Bpmatrix%7D+& alt=&x^1=\sin\theta\cos\phi=\xi^1\bar{\xi^2}+\xi^2\bar \xi^1=\begin{pmatrix}\xi^1 & \xi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bar\xi^1 \\ \bar\xi^2\end{pmatrix} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%3D%5Csin%5Ctheta%5Csin%5Cphi%3D-i%28%5Cxi%5E1%5Cbar%7B%5Cxi%5E2%7D-%5Cxi%5E2%5Cbar+%5Cxi%5E1%29%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cxi%5E1+%26+%5Cxi%5E2%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D0%26-i%5C%5Ci%260%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cbar%5Cxi%5E1+%5C%5C+%5Cbar%5Cxi%5E2%5Cend%7Bpmatrix%7D+& alt=&x^2=\sin\theta\sin\phi=-i(\xi^1\bar{\xi^2}-\xi^2\bar \xi^1)=\begin{pmatrix}\xi^1 & \xi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bar\xi^1 \\ \bar\xi^2\end{pmatrix} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E3%3D%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cxi%5E1%5Cbar%7B%5Cxi%5E1%7D-%5Cxi%5E2%5Cbar+%5Cxi%5E2%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cxi%5E1+%26+%5Cxi%5E2%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%260%5C%5C0%26-1%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cbar%5Cxi%5E1+%5C%5C+%5Cbar%5Cxi%5E2%5Cend%7Bpmatrix%7D+& alt=&x^3=\cos\theta=\xi^1\bar{\xi^1}-\xi^2\bar \xi^2=\begin{pmatrix}\xi^1 & \xi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bar\xi^1 \\ \bar\xi^2\end{pmatrix} & eeimg=&1&&&/p&&p&用简单写法就是&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%5Cbar%5Cxi%5E%5Cdagger%5Csigma%5E%5Cmu%5Cbar%5Cxi+& alt=&x^\mu=\bar\xi^\dagger\sigma^\mu\bar\xi & eeimg=&1&&
, &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D& alt=& \sigma^{\mu}& eeimg=&1&&
为Pauli矩阵&/p&&p&我们也可以用所谓van der Waerden 记法:&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%5Csigma%5E%5Cmu_%7Ba%5Cdot%7Ba%7D%7D%5Cxi%5Ea%5Cbar%7B%5Cxi%7D%5E%5Cdot%7Ba%7D+& alt=&x^\mu=\sigma^\mu_{a\dot{a}}\xi^a\bar{\xi}^\dot{a} & eeimg=&1&& , (重复上下指标Einstein求和)&/p&&p&注意到, &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cbar%5Cxi+& alt=& \bar\xi & eeimg=&1&& 这个&b&共轭旋量&/b&,在标记时,特别用加点的指标来标记分量,&/p&&p&我们把这个加点的指标 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdot+a& alt=&\dot a& eeimg=&1&& 叫做右手(anti-chiral)指标,把 a 叫做左手(chiral)指标&/p&&hr&&h2&&b&2.旋量的指标计算&/b&&/h2&&p&我们已知Puli矩阵张成的空间承载了 SO(3) 的伴随表示&/p&&p&即如果把Puli矩阵看作是一个 so(3) 的&b&基底&/b&,则有&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BAd%7D%28g%29%28x%5E%5Cmu%7B%5Csigma_%5Cmu%7D%29%3Dg%28x%29%5E%5Cmu%5Csigma_%5Cmu%2Cg%5Cin+SO%283%29+& alt=&\mathbf{Ad}(g)(x^\mu{\sigma_\mu})=g(x)^\mu\sigma_\mu,g\in SO(3) & eeimg=&1&&&/p&&p&而实际上,由李代数的同构,&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Bad%28L_i%29%2Cad%28L_j%29%5D%3Dad%28%5BL_i%2CL_j%5D%29+%2CL_i%2CL_j%5Cin%5Cmathbf%7Bso%283%29%7D+& alt=&[ad(L_i),ad(L_j)]=ad([L_i,L_j]) ,L_i,L_j\in\mathbf{so(3)} & eeimg=&1&&&/p&&p&又由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5B%5Csigma_i%2C%5Csigma_j%5D%3D2%5Cmathbf%7Bi%7D%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Csigma_%7Bk%7D+& alt=& [\sigma_i,\sigma_j]=2\mathbf{i}\epsilon_{ijk}\sigma_{k} & eeimg=&1&&&/p&&p&可以得到:
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=ad%5BL_i%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csigma_i+%5Cquad+i%3D0%2C1%2C2%2C3+& alt=&ad[L_i]=\frac{1}{2}\sigma_i \quad i=0,1,2,3 & eeimg=&1&&&/p&&blockquote&伴随表示就是把表示空间放在李代数上&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+x%5E%5Cmu+e_%5Cmu%5Cto+x%5E%5Cmu%5Csigma_%5Cmu+& alt=& x^\mu e_\mu\to x^\mu\sigma_\mu & eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BAd%7D%28g%29%28%5Csigma_%7B%5Cmu%7D%29%3Dg%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%5C+%5Cmu%7D%5Csigma_%7B%5Cnu%7D%3De%5E%7Bad%28%5Cmathbf+g%29%7D%5Csigma_%7B%5Cmu%7De%5E%7B-ad%28%5Cmathbf+g%29%7D+%5Cquad+g%5Cin+SO%283%29%2C%5Cmathbf+g%5Cin+so%283%29+& alt=&\mathbf{Ad}(g)(\sigma_{\mu})=g^{\nu}_{\ \mu}\sigma_{\nu}=e^{ad(\mathbf g)}\sigma_{\mu}e^{-ad(\mathbf g)} \quad g\in SO(3),\mathbf g\in so(3) & eeimg=&1&&&br&无穷小生成元是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbf+g%3D-i%5Ctheta%5Cmathbf%7Bn%7D%5Ccdot%5Cmathbf%7BL%7D+& alt=& \mathbf g=-i\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{L} & eeimg=&1&&&br&则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=ad%28%5Cmathbf+g%29%3D-%5Cfrac%7Bi%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cmathbf%7Bn%5Ccdot+%5Csigma%7D+& alt=&ad(\mathbf g)=-\frac{i\theta}{2}\mathbf{n\cdot \sigma} & eeimg=&1&&&br&经过简单的计算可以得到&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bad%28%5Cmathbf+g%29%7D%3D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D-i%5Cmathbf%7Bn%5Ccdot+%5Csigma%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&e^{ad(\mathbf g)}=\cos\frac{\theta}{2}-i\mathbf{n\cdot \sigma}\sin\frac{\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+g%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%5C+%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmathbf%7BTr%7D+%5Cbig%5C%7B%5Csigma_%7B%5Cnu%7D+%28%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D-i%5Cmathbf%7Bn%5Ccdot+%5Csigma%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%5Csigma_%7B%5Cmu%7D+%28%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2Bi%5Cmathbf%7Bn%5Ccdot+%5Csigma%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%5Cbig%5C%7D+& alt=& g^{\nu}_{\ \mu}=\frac{1}{2}\mathbf{Tr} \big\{\sigma_{\nu} (\cos\frac{\theta}{2}-i\mathbf{n\cdot \sigma}\sin\frac{\theta}{2})\sigma_{\mu} (\cos\frac{\theta}{2}+i\mathbf{n\cdot \sigma}\sin\frac{\theta}{2})\big\} & eeimg=&1&&&br&即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+g%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%5C+%5Cmu%7D%3D%5Ccos%5Ctheta%5Cdelta_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%2B%281-%5Ccos%5Ctheta%29n_%7B%5Cmu%7Dn%7B_%5Cnu%7D%2B%5Csin%5Ctheta%5Cepsilon_%7B%5Calpha%5Cmu%5Cnu%7Dn%5E%5Calpha+& alt=& g^{\nu}_{\ \mu}=\cos\theta\delta_{\mu\nu}+(1-\cos\theta)n_{\mu}n{_\nu}+\sin\theta\epsilon_{\alpha\mu\nu}n^\alpha & eeimg=&1&&&/blockquote&&p&利用的前面所说的记号,一个矢量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+x%5E%5Cmu+e%7B_%5Cmu%7D& alt=& x^\mu e{_\mu}& eeimg=&1&&
将基底换成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Csigma_%7B%5Cmu%7D& alt=& \sigma_{\mu}& eeimg=&1&&
可得到一个矩阵&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bpmatrix%7Dx%5E3%26x%5E1-ix%5E2%5C%5Cx%5E1%2Bix%5E2%26-x%5E3%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+-2%5Cxi%5E2%5Cbar%7B%5Cxi%5E2%7D%262%5Cxi%5E2%5Cbar%7B%5Cxi%5E1%7D%5C%5C2%5Cxi%5E1%5Cbar%7B%5Cxi%5E2%7D%26-2%5Cxi%5E1%5Cbar%7B%5Cxi%5E1%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D+%2B1+& alt=&\begin{pmatrix}x^3&x^1-ix^2\\x^1+ix^2&-x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\xi^2\bar{\xi^2}&2\xi^2\bar{\xi^1}\\2\xi^1\bar{\xi^2}&-2\xi^1\bar{\xi^1}\end{pmatrix} +1 & eeimg=&1&&&/p&&p&这将一个三维的矢量映射成了一个&b&旋量张量&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Ba%5Cdot+a%7D%3Dx_%7B%5Cmu%7D%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D_%7Ba%5Cdot+a%7D+& alt=&x_{a\dot a}=x_{\mu}\sigma^{\mu}_{a\dot a} & eeimg=&1&&&/p&&p&我们引入一个&b&指标升降&/b&运算:&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi_%7Ba%7D%3A%3D%5Cvarepsilon_%7Bab%7D%5Cxi%5Eb%2C%5Cvarepsilon_%7B12%7D%3D%5Cvarepsilon%5E%7B21%7D+%3D-%5Cvarepsilon%5E%7B12%7D%3D-%5Cvarepsilon_%7B21%7D%3D-1+& alt=&\xi_{a}:=\varepsilon_{ab}\xi^b,\varepsilon_{12}=\varepsilon^{21} =-\varepsilon^{12}=-\varepsilon_{21}=-1 & eeimg=&1&&&/p&&p&即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cxi_%7B1%7D%3A%3D-%5Cxi%5E%7B2%7D%2C%5Cxi_%7B2%7D%3A%3D%2B%5Cxi%5E1+& alt=& \xi_{1}:=-\xi^{2},\xi_{2}:=+\xi^1 & eeimg=&1&&&/p&&p&那么有&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Ba%5Cdot+a%7D%3D-2%5Cxi_%7Ba%7D%5Cbar%5Cxi_%7B%5Cdot+a%7D%2B%5Cdelta_%7Ba%5Cdot+a%7D+& alt=&x_{a\dot a}=-2\xi_{a}\bar\xi_{\dot a}+\delta_{a\dot a} & eeimg=&1&&&/p&&p&则在转动群的伴随作用下,&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cxi_%7Ba%7D%27%5Cbar%5Cxi_%7B%5Cdot+a%7D%27%3D-%5C%7Be%5E%7Bad%28%5Cmathbf%7Bg%7D%29%7D%5C%7D%5Eb_%7B%5C+a%7D%5Cxi_%7Bb%7D%5Cbar%5Cxi_%7B%5Cdot+b%7D%5C%7Be%5E%7B-ad%28%5Cmathbf%7Bg%7D%29%7D%5C%7D%5E%7B%5Cdot+b%7D_%7B%5C+%5Cdot+a%7D& alt=&-\xi_{a}'\bar\xi_{\dot a}'=-\{e^{ad(\mathbf{g})}\}^b_{\ a}\xi_{b}\bar\xi_{\dot b}\{e^{-ad(\mathbf{g})}\}^{\dot b}_{\ \dot a}& eeimg=&1&&&/p&&p&这意味着,我们可以规定,转动群的作用下,旋量所发生的线性变换就是伴随表示的矩阵&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi_%7Bb%7D%5E%7B%27%7D%3D%5C%7Be%5E%7Bad%5Cmathbf+%7Bg%7D%7D%5C%7D%5E%7Ba%7D_%7B%5C+b%7D%5Cxi_%7Ba%7D%3A%3DL%5E%7Ba%7D_%7B%5C+b%7D%5Cxi_a+& alt=&\xi_{b}^{'}=\{e^{ad\mathbf {g}}\}^{a}_{\ b}\xi_{a}:=L^{a}_{\ b}\xi_a & eeimg=&1&&&/p&&p&由与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cxi_a+& alt=& \xi_a & eeimg=&1&& 的指标是左手指标,我们可以定义这个变换为&b&左手变换,则,其复共轭为右手变换&/b&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%7Ba%7D_%7B%5C+b%7D%3DL+%5E%7B%5Cdagger+a%7D_%7B%5C+%5C+b%7D+& alt=&R^{a}_{\ b}=L ^{\dagger a}_{\ \ b} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%5Cxi%5E%7B%5Cprime%7D_+%7B%5Cdot+b%7D%3DR%5E%7B%5Cdot+a%7D_%7B+%5C+%5Cdot+b%7D%5Cbar%5Cxi%5E%5Cprime_%7B%5Cdot+a%7D& alt=&\bar\xi^{\prime}_ {\dot b}=R^{\dot a}_{ \ \dot b}\bar\xi^\prime_{\dot a}& eeimg=&1&&&/p&&p&旋量表示显示了SO(3) 和 SU(2) 的表示之间的对应,只不过,是一对二的,这是我们已经熟知的.&/p&&p&我们称旋量表示为转动群的spin- &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 表示&/p&&p&由于
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SU%282%29%5Csubset+SL%282%2C%5Cmathbb+C%29& alt=&SU(2)\subset SL(2,\mathbb C)& eeimg=&1&& 保持辛形式不变 ,所以,
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon_%7Bab%7D+& alt=&\varepsilon_{ab} & eeimg=&1&& 就可以定义旋量之间的不变&内积&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle%5Cxi%2C%5Cchi%5Crangle%3D%5Cvarepsilon%5E%7Bab%7D%5Cxi_%7Ba%7D%5Cchi_b%3D-%5Clangle%5Cchi%2C%5Cxi%5Crangle+& alt=&\langle\xi,\chi\rangle=\varepsilon^{ab}\xi_{a}\chi_b=-\langle\chi,\xi\rangle & eeimg=&1&&&/p&&p&如同我们在张量计算中所学到的,对旋量升降指标的计算也改变了旋量的变换方式,&/p&&p&我们把
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi_a+& alt=&\xi_a & eeimg=&1&& 叫做左手&b&协变旋量&/b&,&/p&&p&则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cvarepsilon%5E%7Bab%7D%5Cxi_%7Bb%7D%3D%5Cxi%5Ea& alt=& \varepsilon^{ab}\xi_{b}=\xi^a& eeimg=&1&&
就叫左手&b&逆变旋量&/b&,其变换矩阵是前者的逆.&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi%5E%7Bb%5Cprime%7D%3D%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5E%7B+b%7D_%7B%5C+a%7D%5Cxi%5Ea& alt=&\xi^{b\prime}={L^{-1}}^{ b}_{\ a}\xi^a& eeimg=&1&&&/p&&p&对于旋量张量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+x_%7Ba%5Cdot+a%7D& alt=& x_{a\dot a}& eeimg=&1&& , 我们早知其变换方式为&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5Ea_%7B%5C+b%7Dx_%7Bb%5Cdot+b%7DR%5E%7B%5Cdot+b%7D_%7B%5C+%5Cdot+a%7D+& alt=&L^a_{\ b}x_{b\dot b}R^{\dot b}_{\ \dot a} & eeimg=&1&&&/p&&p&也可以升降指标&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7Ba%5Cdot+a%7D%3A%3D%5Cvarepsilon%5E%7Bab%7D%5Cvarepsilon%5E%7B%7B%5Cdot+a%7D%5Cdot+b%7Dx_%7Bb%5Cdot+b%7D%3D-%5Cvarepsilon%5E%7Bab%7Dx_%7Bb%5Cdot+b%7D%5Cvarepsilon%5E%7B%7B%5Cdot+b%7D%5Cdot+a%7D+& alt=&x^{a\dot a}:=\varepsilon^{ab}\varepsilon^{{\dot a}\dot b}x_{b\dot b}=-\varepsilon^{ab}x_{b\dot b}\varepsilon^{{\dot b}\dot a} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%5E%7B%5Cmu+a%5Cdot+a%7D%3D-%5Cvarepsilon%5E%7Bab%7D%5Csigma%5E%5Cmu_%7Bb%5Cdot+b%7D%5Cvarepsilon%5E%7B%7B%5Cdot+b%7D%5Cdot+a%7D%3D-%5Csigma%5E%7B%5Cmu%5Cdot+a+a%7D+& alt=&\sigma^{\mu a\dot a}=-\varepsilon^{ab}\sigma^\mu_{b\dot b}\varepsilon^{{\dot b}\dot a}=-\sigma^{\mu\dot a a} & eeimg=&1&&&/p&&p&以后我们可以定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D%3A%3D-%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D%2C%5Cmu%3D1%2C2%2C3+& alt=&\bar\sigma^{\mu}:=-\sigma^{\mu},\mu=1,2,3 & eeimg=&1&&&/p&&p&则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%5E%7B%5Cmu+a%5Cdot+a%7D%3D-%5Cbar%5Csigma%5E%7B%5Cmu+%5Cdot+aa%7D+& alt=&\sigma^{\mu a\dot a}=-\bar\sigma^{\mu \dot aa} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%5Csigma_%7Ba%5Cdot+a%7D%5E%5Cmu%5Cxi%5Ea%5Cbar%5Cxi%5E%7B%5Cdot+a%7D%3D%5Cbar%5Csigma%5E%7B%5Cmu%5Cdot+a+a%7D%5Cxi_%7Ba%7D%5Cbar%5Cxi_%7B%5Cdot+a%7D+& alt=&x^\mu=\sigma_{a\dot a}^\mu\xi^a\bar\xi^{\dot a}=\bar\sigma^{\mu\dot a a}\xi_{a}\bar\xi_{\dot a} & eeimg=&1&&&/p&&hr&&h2&&b&3.左手旋量和右手旋量的关系, &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BDirac%7D& alt=&\mathcal{Dirac}& eeimg=&1&&旋量&/b&&/h2&&p&总结上面讨论:&/p&&ol&&li&旋量由基本的两类旋量及其张量积构成,左手旋量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi_a& alt=&\xi_a& eeimg=&1&& ,右手旋量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%5Cxi_%7B%5Cdot+a%7D& alt=&\bar\xi_{\dot a}& eeimg=&1&& ,他们互为复共轭&/li&&li&旋量有逆变分量,也有协变分量,如同在张量中的做法,将其用上下指标来区分,并且用辛形式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon_%7Bab%7D%5Cquad+%5Cvarepsilon%5E%7Bab%7D& alt=&\varepsilon_{ab}\quad \varepsilon^{ab}& eeimg=&1&& 来升降指标&/li&&li&在转动群作用下,左手右受旋量的变换都是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SU%282%29& alt=&SU(2)& eeimg=&1&& 矩阵,且互为&b&厄米共轭&/b&.其中左手协变旋量的变换矩阵为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bad%28%5Cmathbf%7Bg%7D%29%7D& alt=&e^{ad(\mathbf{g})}& eeimg=&1&&&/li&&/ol&&p&&b&我们将看到:在空间反射变换下,左手旋量和右手旋量可以相互转换.&/b&&/p&&p&空间反射变换下, &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7Bi%7D%5Cto-%5Csigma_%7Bi%7D& alt=&\sigma_{i}\to-\sigma_{i}& eeimg=&1&& 所以左手表示变成了右手表示&/p&&p&为了将离散的变换包含进来,完整的表示 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=O%283%29& alt=&O(3)& eeimg=&1&& 群&b&,我们有必要建立一种复合的旋量,使得其在反射变换下是封闭的.&/b&&/p&&p&这就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Dirac& alt=&Dirac& eeimg=&1&& 旋量,其由一个左手旋量和一个右手旋量直和而成&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CPsi%3D%7B%5Cxi_a%5Cchoose%5Cbar%5Cchi%5E%7B%5Cdot+a%7D%7D& alt=&\Psi={\xi_a\choose\bar\chi^{\dot a}}& eeimg=&1&&&/p&&p&我们也可定义共轭的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Dirac& alt=&Dirac& eeimg=&1&& 旋量&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%5CPsi%3D%28%5Cchi%5E%7Ba%7D%2C%5Cbar%5Cxi_%7B%5Cdot+a%7D%29& alt=&\bar\Psi=(\chi^{a},\bar\xi_{\dot a})& eeimg=&1&&&/p&&p&如位置矢量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%5E1%2Cx%5E2%2Cx%5E3%29& alt=&(x^1,x^2,x^3)& eeimg=&1&& 可以用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Dirac& alt=&Dirac& eeimg=&1&& 旋量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CPsi%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B%5Cxi_a%5Cchoose%5Cbar%5Cxi%5E%7B%5Cdot+a%7D%7D& alt=&\Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}{\xi_a\choose\bar\xi^{\dot a}}& eeimg=&1&& 来恢复&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%5Cxi%5E%7Ba%7D%2C%5Cbar%7B%5Cxi%7D_%7B%5Cdot+a%7D%29%5Cbegin%7Bpmatrix%7D0%26%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D_%7Ba%5Cdot+a%7D%5C%5C%5Cbar+%5Csigma%5E%7B%5Cmu+%5Cdot+aa%7D%260%5Cend%7Bpmatrix%7D%7B%5Cxi_a%5Cchoose%5Cbar%5Cxi%5E%7B%5Cdot+a%7D%7D& alt=&x^\mu=\frac{1}{2}(\xi^{a},\bar{\xi}_{\dot a})\begin{pmatrix}0&\sigma^{\mu}_{a\dot a}\\\bar \sigma^{\mu \dot aa}&0\end{pmatrix}{\xi_a\choose\bar\xi^{\dot a}}& eeimg=&1&&&/p&&p&正如前面的介绍 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D%3D-%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D& alt=&\bar\sigma^{\mu}=-\sigma^{\mu}& eeimg=&1&& ,我们也可以引入 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 矩阵作为pauli矩阵在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Dirac& alt=&Dirac& eeimg=&1&& 旋量表示中的counterpart&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0%26%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7D%5C%5C-%5Csigma%5E%7B%5Cmu%7