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CH07 二叉树期权定价法课件.ppt 39页
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根据单步二叉树的定价原理，可以可以将上述两步二叉树分离为三个单步二叉树（从右向左；先上后下）： * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 根据无套利原则，得 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 ⒉ 两步二叉树的一般形式 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
依据单步二叉树定价法，可得以下三表达式： 将前两式代入第三式，整理得到 这个结论验证了风险中性原理。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
考虑一个2年期的欧式股票看跌期权，其执行价格为52元，当前标的股票的价格为50元。我们假定股票价格为两步二叉树，每个步长为1年，在每个步长中，股票价格按20%的比例上升或下降。如果每个步长的无风险利率均为5%（连续复利），试绘制出股票价格和股票期权价格的两步二叉树，并确定该股票期权当前的合理价格。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 作业题：
⒈ 股票现价为50元，6个月后（期间无红利支付）的股票价格要么为60元，要么为42元。现有以该股票为标的物的欧式看跌期权，执行价格为48元，6个月后到期。如果6个月期的无风险利率为12%（连续复利），试分别利用无套利原理和风险中性定价原理确定该期权当前价格，并比较计算结果。
⒉ 将本章第一个示例中的单步分为两步，即步长由原来的3个月缩短为45天，其他条件不变，计算股票期权的价格。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 思考题：
⒈ 如果将课程中的期权换成美式期权，定价结论有变化吗？
⒉ 通过作业题第2题的结论与原来的结论对比，你能发现什么？
⒊ 就我们现有的教学内容而言，二叉树模型完美吗？ * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 第7章 期权定价的二叉树模型 第7章
期权定价的二叉树模型 单步二叉树模型 风险中性定价原理 两步二叉树模型 一、单步二叉树模型 执行价格为21元的看涨期权。 3个月 ⒈ 一个示例 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
股票和股票期权所面临的系统风险相关，适当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险组合。 考虑以下组合： ①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风险组合。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
如果这个组合是无风险组合，则其价值与状态无关，所以，以下数学表达式成立： 解得，
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股票空头构成的组合是无风险组合。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 4.50元 5.00-C0元 3个月 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 ⒉ 单步二叉树模型的推广 无风险组合：Δ股股票多头+1份期权空头 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 将Δ代入f，得 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 在之前的示例中， 我们得到： 结果与之前一致。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
单步二叉树模型至少给我们两点启示：
⑴期权价格与股票价格变化的真实概率无关（这与我们的直觉不一致）
⑵期权价格在定价形式上可以看成到期日价值期望值的贴现值（按无风险利率贴现） * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 二、风险中性定价 ⒈ 风险中性假设
公平赌博是指赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均的意义上来讲应当是“不输不赢”。 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
有一个掷硬币的赌局（假定硬币是完全对称的），正面朝上可以赢得2000元，反面朝上则无钱收回。试问你愿意以多少钱作为入局费参加这样的赌博？ 公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝1000元 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对风险采取无所谓的态度。 入局费＜1000元
风险厌恶者
众多 入局费＝1000元
风险中性者 入局费＞1000元
风险喜好者
极少 愿意支付的入局费
数量 * 第7章 期权定价的二叉树模型 */39 财富的效用 愿意支付的风险金 W0 Wh 风险厌恶者 风险中性者 风险喜好者 不同风险类型者的财富效用曲线 凹性效用函数 线性效
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第八章 二叉树模型 教学目的与要求 通过本章的学习，要求能够掌握运用单步和两步二叉树图方法对欧式期权和美式期权进行估值 理解并掌握在衍生证券估值中的风险中性原理 教学重点及难点 用二叉树图方法对期权进行估值的基本思路
风险中性估值原理
Delta的含义和计算 单步二叉树图 二叉树图的构造思路
根据期权的特性，可以用二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能够用一种股票和基于该股票的期权构造一个组合，使得在有效期末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。 例题
假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18，假设股票三个月内不付红利，无风险年利率为12%。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21，如何对该期权进行估值？
二叉树图构造的一般结论
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况 。
一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空头构成。利用单步二叉树图，根据无套利假设和期权的特性，可以推导出: 股票预期收益的无关性
上面的定价公式并没有用到股票上升和下降的概率。只是根据标的股票的价格估计期权的价值。 风险中性估值
两步二叉树图 问题
假设一种股票开始的价格为$20，在下图所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升10％或者下降10％。
假设在每个单步二叉树的步长是3个月，无风险利率是年率12％。考虑一个执行价格为$21的期权。
两步二叉树图中的股票价格和期权价格 一般结论
假设初始股票价格为S。在每个单步二叉树中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值的d倍。假设无风险利率是r。每个单步二又树的时间长度是Δt年。
重复式（8.2）的计算，给出：
考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为$50。
假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。
构造如下图所示的两步二叉树图。风险中性概率P的值为
美式期权估值
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。
Delta Delta的含义
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数目。
构造无风险对冲有时就称之为Delta对冲(delta hedging)。
看涨期权的Delta是正值，而看跌期权的Delta是负值。 Delta的计算
利用二叉树图，可以计算在每个时间步股票价格变动的Delta。
Delta值随时间而变化。这意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲，我们需要定期调整我们所持有的股票数量。 二叉树模型在实际中的应用
在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格运动。30个时间步意味着最后有31个终端股票价格(terminal stock prices)，并且有230 即大约10亿个可能的股票价格路径。
从股票价格波动率，可以确定u和d的值。可以有许多种不同的方式做到这一点。 定义Δt为单步时间步长，—种可能就是去设定：
于是，定义一个树图的完整方程式为 ：
二叉树模型的实质和优点 * * 思路
股票价格$20 股票价格$22 期权价格$1 股票价格$18 期权价格$0
当两个价值相等时 SuΔ-fu =SdΔ- fd
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
（8.1） 单步二叉树图中的股票价格 和衍生证券价格 如果股票价格上升，有效期末该组合的价值为:SuΔ-fu 如果股票价格下降，有效期末该组合的价值为:SdΔ-fd
用r表示无风险利率，该组合的现值应为： 而构造该组合的成本是： 因此 将式（9.1）代入上式，得到
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第八讲期权二叉树定价模型
第八讲期权二叉树定价? 8.1 单步二叉树图? 8.1.1 二叉树图的构造? 问题假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对 该期权进行估值？? 思路根据期权的特性，显然可以用图8-1所示的二叉树图来描 述股票和期权的价格运动。 如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需 成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得 出期权的价格。 构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。是否可有多种构造方法?
由图8-1可知，当股票价格从$20上升到$22时，该证券组 合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证 券组合的总价值为18Δ。 完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两 种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由 22Δ―1=18Δ 得 Δ=0.25?是否一定为正?因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头 构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期 权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险 利率。 假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为： 4.5e-0.12×0.25=4.3674股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。因此，由 20×0.25－f=4.3674 得 f=0.633 如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。? 8.1.2 一般结论考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股 票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻， 衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况 。 一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空头构 成。如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为：SU ? ? ? f U如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：SD ? ? ? f D
当两个价值相等时 即S D ? ? ? f D ? SU ? ? ? f UfU ? f D ?? SU ? S D（9.1）该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的 两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变 化之比。用r表示无风险利率，该组合的现值应为：( Su? ? fu )e而构造该组合的成本是：? rT因此S? ? fS ? ? f ? (Su? ? fu )e? rT将式（9.1）代入上式，得到f ? e [ pfu ? (1 ? p) f d ]其中? rTe S0 ? S D p? SU ? S DrT（9.3）风险中性概率运用单步二叉树图方法，式（9.2）和（9.3）就可为衍 生证券估值。? 8.1.3 股票预期收益的无关性衍生证券定价公式（9.2）并没有用到股票上升和下降 的概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假 设假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨 期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。 之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为 期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨 下降的概率。8.2 风险中性估值? 8.2.1 风险中性估值原理式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1―p就是股票价格下降的概率。这样，pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。同样，按照上式对p的解释，在T时刻预期的股票价格E ( ST ) ? pSU ? (1 ? p) S D即E ( S T ) ? p ( SU ? S D ) ? S D将式（9.2）中的p代入上式，得E(ST)=SerT（9.4）这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因 此，设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等 于无风险利率。? 我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（ risk-neutralworld ）。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收高效益是无风险利率。? 式（9.4）说明，当设定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险中性世界 。? 式（9.2）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。? 以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设世界是风险中性的。这就是所谓风险中性（risk-neutral valuation）原理。 在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。? 8.2.2 风险中性估值举例我们将风险中性估值原理运用于图8-1的例子。在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利 率12％。则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25即得4p=20e0.12×0.25-18p=0.6523在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价值 为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为： 0...6523 按无风险利率贴现得期权现在的价值：f=0.×0.25 =0.633? 8.3 两步二叉树图? 8.3.1 两步二叉树图的构造假设一种股票开始的价格为$20，并在图8-3所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升10％或者下降10％。 假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利 率是年率12％。考虑一个执行价格为$21的期权。 在图8-3中，很容易得到，在节点D，期权价格为 $3.2；在节点E和F，期权价格为零。 在节点B的期权价格计算如下：
u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.十0..0257 在节点C，期权价格为0。在节点A的期权价格为：e-0.12×0.25(0.7十0..2823 在构造这个例子时，u和d(股票价格上升和下降的比率) 在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长 度是相等的。由式（9.3）可得风险中性的概率p，它在每个 节点都是相同的。? 8.3.2 一般结论如图8-4所示，初始股票价格为S。在每个单步二叉树 中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值 的d倍。假设无风险利率是r。每个单步二又树的时间长 度是Δt年。 重复式（9.2）的计算，给出： ? r ?t （9.5）fu ? e[ pfuu ? (1 ? p) fud ]f d ? e? r?t [ pfud ? (1 ? p) f dd ] f ?e? r ?t（9.6） （9.7）[ pfu ? (1 ? p) f d ]
将式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到：f ? e?2 r?t [ p 2 fuu ? 2 p(1 ? p) fud ? (1 ? p)2 f dd ]式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、下三个节点的概率。衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。 如果在树图中加入更多的步(step)以推广应用二叉树图 方法，风险中性估值的原理一直是成立的。衍生证券的价 格总是等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴 现的值。? 8.3.3 看跌期权的例子考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为 $52，当前价格为$50。 假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单 步二叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者按比率 下降20％。无风险利率为5％。 构造如图8-5所示的两步二叉树图。风险中性概率P的 值为：e 0.05?1 ? 0.8 p? ? 0. ? 0.8
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的价格 f=e-2×0.05×1(0.6×0.8×4+0.3.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于 该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。? 84 美式期权估值? 8.4.1 方法二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从 树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期 杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。? 9.4.2 举例考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为 $52，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步 长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。如图8-6所示，在节点B，期权的价值为$1.4147，而 提前执行期权的损益为负值(-$8)。在节点B提前执行不是 明智的，此时期权价值为1.4147。在节点C，期权的价值 为$9.4636，而提前执行期权的损益为$12.0。在这种情况下，提前执行是最佳的，因此期权的价值为$12.0。
在初始节点A，求出的期权价值为: f= e-0..05×1(0.7+0.) =5.0894 而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不 明智的。因此期权的价值为$5.0894。8.5 Delta8.5.1 Delta的含义fU ? f D ?? SU ? S D? 股票期权的Delta是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数目。? 构造无风险对冲有时就称之为Delta对冲(delta hedging)。? 看涨期权的Delta是正值，而看跌期权的Delta是负值。? 8.5.2 Delta的计算以图8-2所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的 Delta计算如下：1? 0 ? 0.25 22 ? 18这是因为当股票价格从18变化到22时，期权价格从0 变化到1。 在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的 Delta为：2.0257 ? 0 ? 0.5064 22 ? 18如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：3.2 ? 0 ? 0. ? 19.8如果在第一个时间步之后，还有一个向下的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：0?0 ?0 19.8 ? 16在图8-5中，第一个时间步的Delta为：1.4147 ? 9.4636 ? ?0.4024 60 ? 40在第二个时间步，有两个Delta：0?4 ? ?0.1667 72 ? 48或者4 ? 20 ? ?1.0000 48 ? 32上面的两个例子说明，Delta值随时间而变化。这意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲，我们需要定期调整我们所持有的股票数量。? 9.6 二叉树模型在实际中的应用在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分 成30或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个二叉树 股票价格运动。30个时间步意味着最后有31个终端股票价格(terminal stock prices)，并且230即大约10亿个可能的股票价格路径。 从股票价格波动率，可以确定u和d的值。可以有许多 种不同的方式做到这一点。定义Δt为单步时间步长，―种可能就是去设定：u?e??t1 d ? u于是，定义一个树图的完整方程式为 ：u?e????t ?td ?ee ?d p? u?dr?t
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比如股票价格100，执行价格100，波动性0.3，无风险利率0.02，期权执行期限为1，精确度为10. 怎样用VBA编程分别计算美式、欧式期权价格呢？是基于二叉树模型的。。。跪求大神帮忙呀！！！
载入中......
& &没有人回复一下吗。。。~~~~(&_&)~~~~&&要抓狂了。。。
是不是这问题很菜呀。。。
本帖最后由 qiqi_2323 于
23:28 编辑
不用VBA，直接给你公式吧，二叉树和BS模型都能做
23:26:17 上传
热心帮助其他会员
总评分:&经验 + 20&
qiqi_2323 发表于
不用VBA，直接给你公式吧，二叉树和BS模型都能做谢谢。。。 可惜我没还币。。而且。。要求是要用VBA编程。。。 不过还是谢谢你啦~
Issilyn_lilac 发表于
谢谢。。。 可惜我没还币。。而且。。要求是要用VBA编程。。。 不过还是谢谢你啦~我没设购买啊，大概是流量币，你去右上角快捷导航里面的任务，每天50点经验可以换5个币
qiqi_2323 发表于
我没设购买啊，大概是流量币，你去右上角快捷导航里面的任务，每天50点经验可以换5个币 太感谢啦~
谢谢分享！
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