&p&温馨提示：本文涉及到的数学知识有一点点的概率论和一点点的解不等式，高中水平应该足够了。&/p&&hr&&p&&br&&/p&&p&没事干刷youtube看到有个叫李永乐老师的视频，讲一些关于数学的话题，觉得挺有意思的。&/p&&p&其中有一个是关于炒股的。&/p&&p&先放上连接。&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.youtube.com/watch%3Fv%3Dg-wCpEZBEdw& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&youtube.com/watch?&/span&&span class=&invisible&&v=g-wCpEZBEdw&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&p&&br&&/p&&p&当然我对炒股其实没兴趣，不过他里边提到的一个数学题很有意思。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设两个人，就叫男人和女人吧（本来想用A和B，后来发现容易搞混，男女比较容易区分）。他俩玩一个游戏：两人同时出一个硬币（两人可以自己决定出示正面或反面），如果都是正面，女人给男人3块钱，如果都是反面，女人给男人1块钱，如果一正一反，则男人给女人2块钱。问最后双方收益是多少。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d27b7ce4be9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1401& data-rawheight=&739& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1401& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d27b7ce4be9_r.jpg&&&/figure&&p&来思考一下。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&乍一看貌似55开嘛，不输不赢。&/p&&p&我粗略算一下。&/p&&p&男人的期望是： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=3%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B1%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D1& alt=&3\times\frac{1}{4}+1\times\frac{1}{4}=1& eeimg=&1&& 块钱&/p&&p&女人的期望是： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Ctimes%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%3D1& alt=&2\times\frac{2}{4}=1& eeimg=&1&& 块钱&/p&&p&你是不是跟我算的一样。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&然而仔细想想，俩人都是可以按照自己意愿来决定出的是正面还是反面，但上面计算的时候是默认正反各50%概率的。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&牛逼的来了。&/p&&p&。&/p&&p&假设男人出正面的概率是x，那么反面的概率就是(1-x)。同样设女人的正面概率是y则反面的概率是(1-y)。&/p&&p&先看男人的期望。&/p&&p&两人出正面赢3块+两人出反面赢1块:
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=3xy%2B1%5Ctimes%281-x%29%281-y%29& alt=&3xy+1\times(1-x)(1-y)& eeimg=&1&&&/p&&p&再看女人的期望。&/p&&p&两人一正一反赢2块：
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Ctimes%5Bx%281-y%29%2By%281-x%29%5D& alt=&2\times[x(1-y)+y(1-x)]& eeimg=&1&&&/p&&p&然后男人的减去女人的就是男人赢钱的期望值： &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=3xy%2B%281-x%29%281-y%29-2%5Ctimes%5Bx%281-y%29%2By%281-x%29%5D& alt=&3xy+(1-x)(1-y)-2\times[x(1-y)+y(1-x)]& eeimg=&1&&&/p&&p&展开一下合并同类项得到：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=8xy-3x-3y%2B1& alt=&8xy-3x-3y+1& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-bab951c5bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1405& data-rawheight=&756& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1405& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-bab951c5bd_r.jpg&&&/figure&&p&到这里我们再重新理解下。&/p&&p&x和y分别表示男人与女人的硬币正面的概率，上面那个式子则表示男人赢钱的期望值。&/p&&p&然后我们假设存在一种情况，假设女人用某种概率出正面，使男人一直输钱。&/p&&p&换句话说就是假设存在一组x与y，是的上面那个式子一直是小于零：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=8xy-3x-3y%2B1%3C0& alt=&8xy-3x-3y+1&0& eeimg=&1&&&/p&&p&然后解这个不等式。&/p&&p&先提取y得到： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%288x-3%29y-3x%2B1%3C0& alt=&(8x-3)y-3x+1&0& eeimg=&1&&&/p&&p&移项：
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%288x-3%29y%3C3x%2B1& alt=&(8x-3)y&3x+1& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin%5B0%2C1%5D& alt=&x\in[0,1]& eeimg=&1&& 所以想要把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%288x-3%29& alt=&(8x-3)& eeimg=&1&& 除到右边需要分类讨论。&/p&&p&第一种情况：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=8x-3%3E0%5CRightarrow+x%3E%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&8x-3&0\Rightarrow x&\frac{3}{8}& eeimg=&1&&&/p&&p&所以不等式变成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3C%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B8x-3%7D& alt=&y&\frac{3x-1}{8x-3}& eeimg=&1&&&/p&&p&右边这个函数你看不出是啥的话没事，我给你画出来。（注意x的取值范围）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a49c0a1006bfdbfbe813e75_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1034& data-rawheight=&630& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1034& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a49c0a1006bfdbfbe813e75_r.jpg&&&/figure&&p&所以为了让不等式成立，左边必须小于右边的最小值，而右边又是个减函数，所以当x最大时右边最小，也就是x=1的时候。&br&解得 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3C%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D& alt=&y&\frac{2}{5}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&br&第二种情况：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=8x-3%3C0%5CRightarrow+x%3C%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&8x-3&0\Rightarrow x&\frac{3}{8}& eeimg=&1&&&br&除过去之后不等号得变个方向所以不等式变成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3E%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B8x-3%7D& alt=&y&\frac{3x-1}{8x-3}& eeimg=&1&&&br&右边还是那个函数，不过这次的定义域不同，所以我画个新的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-abc90fba38a149b636bbcb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1014& data-rawheight=&621& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1014& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-abc90fba38a149b636bbcb_r.jpg&&&/figure&&p&依然是个减函数。所以为了让不等式成立，左边必须大于右边的最大值，而当x最小时右边最大，也就是x=0的时候。&br&解得 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D& alt=&y&\frac{1}{3}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&总结一下：如果男人出正面的概率大于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&\frac{3}{8}& eeimg=&1&& ，那么只要女人出正面的概率小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D& alt=&\frac{2}{5}& eeimg=&1&& ，男人就会输钱。&/p&&p&如果男人出正面的概率小于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&\frac{3}{8}& eeimg=&1&& ，那么只要女人出正面的概率大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D& alt=&\frac{1}{3}& eeimg=&1&& ，男人就会输钱。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-412dfdd010e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1406& data-rawheight=&754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1406& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-412dfdd010e_r.jpg&&&/figure&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&你有没有发现什么？&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&是的，女人出正面概率的那部分是有交集。&/p&&p&当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5Cin%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%29& alt=&y\in(\frac{1}{3},\frac{2}{5})& eeimg=&1&& 的时候，无论x取什么值，上边那个期望算出来都是负的，也就是说男人一定会输钱。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7307ebc5aa7cc7350746b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1400& data-rawheight=&748& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1400& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7307ebc5aa7cc7350746b_r.jpg&&&/figure&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-66a14dbaa3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&所以跟股票什么关系呢。（懒得打字直接截图了）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6e8df690eed7efb519fbcda_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1391& data-rawheight=&58& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1391& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6e8df690eed7efb519fbcda_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-baf47bc7b7e85f3fe2c22a9ad9a98f7e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1404& data-rawheight=&63& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1404& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-baf47bc7b7e85f3fe2c22a9ad9a98f7e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ea8df891ca0b99e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1391& data-rawheight=&61& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1391& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ea8df891ca0b99e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-13acb3e7193be5dfcd413f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1388& data-rawheight=&74& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1388& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-13acb3e7193be5dfcd413f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c26e6a706e1bedcb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1404& data-rawheight=&62& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1404& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c26e6a706e1bedcb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-988f9abed5ad159edee9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1402& data-rawheight=&56& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1402& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-988f9abed5ad159edee9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-eb23bdcee5d5f64fdd0a085f08962b0b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1403& data-rawheight=&61& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1403& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-eb23bdcee5d5f64fdd0a085f08962b0b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-609a25d6b191cb12f6f5ec918e08baa2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1402& data-rawheight=&67& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1402& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-609a25d6b191cb12f6f5ec918e08baa2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-1d6bcd923a38a718c4bea_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1409& data-rawheight=&73& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1409& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-1d6bcd923a38a718c4bea_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-6e1aa636ce4b25_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1403& data-rawheight=&76& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1403& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-6e1aa636ce4b25_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-14ea86f775f41a7c0dcafe9e0e5456a4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1403& data-rawheight=&70& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1403& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-14ea86f775f41a7c0dcafe9e0e5456a4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ab859e0b85_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1406& data-rawheight=&58& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1406& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ab859e0b85_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae5ab405a13c5863e81bb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1390& data-rawheight=&76& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1390& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae5ab405a13c5863e81bb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8a1d89dbc691feae24105d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1399& data-rawheight=&83& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1399& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8a1d89dbc691feae24105d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f0947acd86dd4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1401& data-rawheight=&64& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1401& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f0947acd86dd4_r.jpg&&&/figure&&p&&br&股票部分我觉得代入的有点生硬，不过上边那个题我觉得特别有意思。&/p&&p&&br&&/p&&p&这让我想到了之前有人说买菜用不到高数，学高数干嘛。&/p&&p&确实买菜是用不到高数。&/p&&p&但是一个不会高数的人，能做的事也只有买买菜了。&/p&
温馨提示：本文涉及到的数学知识有一点点的概率论和一点点的解不等式，高中水平应该足够了。 没事干刷youtube看到有个叫李永乐老师的视频，讲一些关于数学的话题，觉得挺有意思的。其中有一个是关于炒股的。先放上连接。
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce69beebc448b4e827f0f6_b.jpg& data-rawwidth=&1102& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1102& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce69beebc448b4e827f0f6_r.jpg&&&/figure&&p&&b&为学生，做一名i学向上的情怀师者&/b&&/p&&p&&b&高中数学名师锻造“2018”行动&/b&&/p&&p&对数平均数&b&“巧”&/b&，&b&“巧”&/b&在哪里呢？&/p&&p&从&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&上一节视频&/a&中我们知道，讲完对数平均不等式马上趁热打铁应用于实际例子，它巧就巧在大小位于算术平均不等式和几何平均不等式的中间。而算数平均数含有极值点偏移证明中加和形式，几何平均不等式含有乘积形式，若可以得到对数平均数恰好是一个定值，那简直太完美，加和形式与乘积形式证明一起搞定。&/p&&p&&b&本节视频为您带来：&/b&&/p&&p&详细归纳对数平均不等式解题的关键三步骤。&/p&&p&对数平均不等式解题巧，并且极值点偏移题目也巧，多与指数函数与对数函数有关，这恰好促成了对数平均数的出现，关键看对数平均数是否为常数。&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/543936& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-6af0e302e002e4ba8c2f969f1c41c078_b.jpg& data-lens-id=&543936&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-6af0e302e002e4ba8c2f969f1c41c078_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/543936&/span&
&p&&br&&/p&&p&&b&PS：&/b&点击【&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//yinglongyun.com/m/agency/CJGKS& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&名师锻造&/a&】获取更多数学视频&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a22b04a4ea57ba96be24dc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&495& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a22b04a4ea57ba96be24dc_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
为学生，做一名i学向上的情怀师者高中数学名师锻造“2018”行动对数平均数“巧”，“巧”在哪里呢？从中我们知道，讲完对数平均不等式马上趁热打铁应用于实际例子，它巧就巧在大小位于算术平均不等式和几何平均不等式的中间。而算数平均数含有极…
&p&大概数月之前，我在这个问题&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&淳于建：现代中国高中生的平均数学水平，相当于历史上哪个时代数学家的最高水平？&/a&&/p&&p&的回答下给出了一道数列题&/p&&p&数列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+a_%7Bn%7D+%5Cright%5C%7D& alt=&\left\{ a_{n} \right\}& eeimg=&1&& 、 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+b_%7Bn%7D+%5Cright%5C%7D& alt=&\left\{ b_{n} \right\}& eeimg=&1&& ，满足 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B1%7D%3Da& alt=&a_{1}=a& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7B1%7D%3Db& alt=&b_{1}=b& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B2a_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2Bb_%7Bn%7D%7D& alt=&a_{n+1}=\frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%2B1%7D%3D%5Csqrt%7Ba_%7Bn%2B1%7Db_%7Bn%7D%7D& alt=&b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_{n}}& eeimg=&1&& .&/p&&p&求数列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+a_%7Bn%7D+%5Cright%5C%7D& alt=&\left\{ a_{n} \right\}& eeimg=&1&& 、 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+b_%7Bn%7D+%5Cright%5C%7D& alt=&\left\{ b_{n} \right\}& eeimg=&1&& 的通项公式.&/p&&p&&br&&/p&&p&最近偶然发现 &a class=&member_mention& href=&https://www.zhihu.com/people/bdb030fa16a& data-hash=&bdb030fa16a& data-hovercard=&p$b$bdb030fa16a&&@sammy711&/a&同学早已给出了一个解答：&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&最近在数学群里传来传去的一道数列题&/a&&/p&&p&那么我再来给个我所知道的解法汇总吧，如果还有新的解法欢迎补充&/p&&p&&br&&/p&&p&我最早见到这一题是在很多年前了，当初在李世杰《高中数学竞赛专题讲座 递推与递推方法》一书中见到了此题. 当然他给出的初值是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B1%7D%3D2& alt=&a_{1}=2& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7B1%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D& alt=&b_{1}=\sqrt{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&之后百度贴吧一位叫做tian27546西西的先辈给出了一般形式：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d2dfbe463_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&966& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&966& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d2dfbe463_r.jpg&&&/figure&&p&题1是李世杰书上的原题，题2则是把初值一般化.&/p&&p&当然，如若把初值改成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B1%7D%3D2%5Csqrt%7B3%7D& alt=&a_{1}=2\sqrt{3}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7B1%7D%3D3& alt=&b_{1}=3& eeimg=&1&& 的话，恰好是阿基米德的圆周率的计算式（见参考资料【3】），就改成这种形式发了出来.&/p&&p&所以这实际上是当年阿基米德计算圆周率 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的迭代公式，算起来这道题真正的历史有2000余年了.&/p&&p&&br&&/p&&p&此题解法很多，以前我在百度发过解法汇总，但是在知乎发还是第一次&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&方法（一）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&注意到三角恒等式&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Ctan%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D+%3D%5Cfrac%7B2%5Ctan%5Calpha%5Csin%5Calpha%7D%7B%5Ctan%5Calpha%2B%5Csin%5Calpha%7D& alt=&2\tan\frac{\alpha}{2} =\frac{2\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha+\sin\alpha}& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csin%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7B2%5Ctan%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%5Csin%5Calpha%7D& alt=&2\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{2\tan\frac{\alpha}{2}\sin\alpha}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B1%7D%3Da%3Dc%5Ccdot%5Ctan%5Ctheta& alt=&a_{1}=a=c\cdot\tan\theta& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7B1%7D%3Db%3Dc%5Ccdot%5Csin%5Ctheta& alt=&b_{1}=b=c\cdot\sin\theta& eeimg=&1&&&/p&&p&显然 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%3D%5Carccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%5Cright%29& alt=&\theta=\arccos\left( \frac{b}{a} \right)& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D& alt=&c=\frac{b}{\sin\theta}& eeimg=&1&&&/p&&p&由于&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2c%5Ccdot%5Ctan%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D+%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot+c%5Ccdot%5Ctan%5Ctheta%5Ccdot+c%5Ccdot%5Csin%5Ctheta%7D+%7Bc%5Ccdot%5Ctan%5Ctheta%2Bc%5Ccdot%5Csin%5Ctheta%7D+%3D%5Cfrac%7B2+c%5Ccdot%5Ctan%5Ctheta%5Ccdot%5Csin%5Ctheta%7D%7B%5Ctan%5Ctheta%2B%5Csin%5Ctheta%7D& alt=&2c\cdot\tan\frac{\theta}{2} =\frac{2\cdot c\cdot\tan\theta\cdot c\cdot\sin\theta} {c\cdot\tan\theta+c\cdot\sin\theta} =\frac{2 c\cdot\tan\theta\cdot\sin\theta}{\tan\theta+\sin\theta}& eeimg=&1&&&/p&&p&由数学归纳法&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%5Ccdot+2%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%5Ctan%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D& alt=&a_{n}=\frac{b}{\sin\theta}\cdot 2^{n-1}\cdot\tan\frac{\theta}{2^{n-1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%5Ccdot+2%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D& alt=&b_{n}=\frac{b}{\sin\theta}\cdot 2^{n-1}\cdot\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&（ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&注意此处随着不同的初值 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& ，三角换元的过程是可能出现复数的，不去管它.&/p&&p&实在不想看到复数，某些初值下可以改使用双曲换元.&/p&&p&这个方法是最直接快捷的，但是那两个三角恒等式不属于最常见的，应该不是每个人都能想到.&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&方法（二）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&这个方法比较类似 &a class=&member_mention& href=&https://www.zhihu.com/people/bdb030fa16a& data-hash=&bdb030fa16a& data-hovercard=&p$b$bdb030fa16a&&@sammy711&/a&同学的解法&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B2a_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2Bb_%7Bn%7D%7D& alt=&a_{n+1}=\frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7Db_%7Bn%7D& alt=&b_{n+1}^{2}=a_{n+1}b_{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&由此两式消去 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D& alt=&a_{n+1}& eeimg=&1&& 可得&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bb_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2b_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%2Bb_%7Bn-1%7D%7D& alt=&\frac{b_{n+1}^{2}}{b_{n}^{2}}=\frac{2b_{n}}{b_{n}+b_{n-1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cfrac%7Bb_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7Bn-1%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%2B1& alt=&2\frac{b_{n}^{2}}{b_{n+1}^{2}}=\frac{b_{n-1}}{b_{n}}+1& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%2B1%7D%7D& alt=&x_{n}=\frac{b_{n}}{b_{n+1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&则有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D%3D2x_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D-1& alt=&x_{n}=2x_{n+1}^{2}-1& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2ab%7D%7Ba%2Bb%7D& alt=&a_{2}=\frac{2ab}{a+b}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7B2%7D%3D%5Csqrt%7Ba_%7B2%7Db_%7B1%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2a%7D%7Ba%2Bb%7D%7D%5Ccdot+b& alt=&b_{2}=\sqrt{a_{2}b_{1}}=\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\cdot b& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2a%7D%7D& alt=&x_{1}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\sqrt{\frac{a+b}{2a}}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%3D%5Ccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D+%5Cright%29& alt=&x_{1}=\cos\left( \frac{\theta}{2} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&由数学归纳法， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D%3D%5Ccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D+%5Cright%29& alt=&x_{n}=\cos\left( \frac{\theta}{2^{n}} \right)& eeimg=&1&& （ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bb%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D+%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Bb_%7Bi%7D%7D%7Bb_%7Bi%2B1%7D%7D+%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7Dx_%7Bi%7D+%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Ccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bi%7D%7D+%5Cright%29+%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%2F%5Csin%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D+%5Cright%29& alt=&\frac{b}{b_{n}}=\frac{b_{1}}{b_{n}} =\prod_{i=1}^{n-1}\frac{b_{i}}{b_{i+1}} =\prod_{i=1}^{n-1}x_{i} =\prod_{i=1}^{n-1}\cos\left( \frac{\theta}{2^{i}} \right) =\frac{\sin\theta}{2^{n-1}}/\sin\left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5Ccdot2%5E%7Bn-1%7D%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D+%5Ccdot%5Csin%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D+%5Cright%29& alt=&b_{n}=\frac{b\cdot2^{n-1}}{\sin\theta} \cdot\sin\left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb_%7Bn-1%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Bx_%7Bn-1%7D%7D& alt=&a_{n}=\frac{b_{n}^{2}}{b_{n-1}}=\frac{b_{n}}{x_{n-1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5Ccdot2%5E%7Bn-1%7D%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D+%5Ccdot%5Ctan%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D+%5Cright%29& alt=&a_{n}=\frac{b\cdot2^{n-1}}{\sin\theta} \cdot\tan\left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&（ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%3D2%5Carccos%5Cleft%28+%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2a%7D%7D+%5Cright%29& alt=&\theta=2\arccos\left( \sqrt{\frac{a+b}{2a}} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%3D%5Carccos%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%5Cright%29& alt=&\theta=\arccos\left( \frac{b}{a} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&注意此处随着不同的初值 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& ，三角换元的过程是可能出现复数的，不去管它.&/p&&p&否则的话，也可以采取这样的换元：&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28+t%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D+%5Cright%29& alt=&x_{1}=\frac{1}{2}\left( t+\frac{1}{t} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&则数学归纳法， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28+t%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B+t%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%7D+%5Cright%29& alt=&x_{n}=\frac{1}{2}\left( t^{2^{1-n}}+\frac{1}{ t^{2^{1-n}}} \right)& eeimg=&1&& （ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&它实际上和双曲余弦换元是等价的&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&方法（三）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&这种方法比较繁琐，不推荐&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B2a_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2Bb_%7Bn%7D%7D& alt=&a_{n+1}=\frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7Db_%7Bn%7D& alt=&b_{n+1}^{2}=a_{n+1}b_{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%2Bb_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%3D2a_%7Bn%7Db_%7Bn%7D& alt=&a_{n}a_{n+1}+b_{n}a_{n+1}=2a_{n}b_{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%3Db_%7Bn%7D%5Cleft%28+2a_%7Bn%7D-a_%7Bn%2B1%7D+%5Cright%29& alt=&a_{n}a_{n+1}=b_{n}\left( 2a_{n}-a_{n+1} \right)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D-a_%7Bn%2B1%7D%7D& alt=&b_{n}=\frac{a_{n}a_{n+1}}{2a_{n}-a_{n+1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7Db_%7Bn%7D& alt=&b_{n+1}^{2}=a_{n+1}b_{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%3Db_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D-a_%7Bn%2B1%7D%7D& alt=&b_{n+1}^{2}=b_{n}a_{n+1}=\frac{a_{n}a_{n+1}^{2}}{2a_{n}-a_{n+1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7Da_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28+2a_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%2B2%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D-a_%7Bn%2B1%7D%7D& alt=&\frac{a_{n+1}^{2}a_{n+2}^{2}}{\left( 2a_{n+1}-a_{n+2}\right)^{2}}=\frac{a_{n}a_{n+1}^{2}}{2a_{n}-a_{n+1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28+2a_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%2B2%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D-a_%7Bn%2B1%7D%7D& alt=&\frac{a_{n+2}^{2}}{\left( 2a_{n+1}-a_{n+2}\right)^{2}}=\frac{a_{n}}{2a_{n}-a_{n+1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D-a_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D%3D4a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D-4a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D%2Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D& alt=&2a_{n}a_{n+2}^{2}-a_{n+1}a_{n+2}^{2}=4a_{n}a_{n+1}^{2}-4a_{n}a_{n+1}a_{n+2}+a_{n}a_{n+2}^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D-a_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7D%3D4a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D-4a_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D& alt=&a_{n}a_{n+2}^{2}-a_{n+1}a_{n+2}^{2}=4a_{n}a_{n+1}^{2}-4a_{n}a_{n+1}a_{n+2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B2%7D%5E%7B2%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B2%7D-a_%7Bn%2B1%7D%7D%3D4%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7Da_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%7D%7D+& alt=&\frac{a_{n+2}^{2}a_{n+1}}{a_{n+2}-a_{n+1}}=4\frac{a_{n+1}^{2}a_{n}}{a_{n+1}-a_{n}} & eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2a_%7B1%7Db_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B1%7D%2Bb_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2ab%7D%7Ba%2Bb%7D& alt=&a_{2}=\frac{2a_{1}b_{1}}{a_{1}+b_{1}}=\frac{2ab}{a+b}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7B2%7D%5E%7B2%7Da_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D-a_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B4a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D%7D& alt=&\frac{a_{2}^{2}a_{1}}{a_{2}-a_{1}}=\frac{4a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7Da_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B4%5E%7Bn%7Da%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D%7D& alt=&\frac{a_{n+1}^{2}a_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=\frac{4^{n}a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&（ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&&br&&/p&&p&若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0%3Ca%3Cb& alt=&0&a&b& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=u%3D%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D%7D& alt=&u=\frac{a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7Da_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%7D%7D%3D4%5E%7Bn%7D%5Ccdot+u& alt=&\frac{a_{n+1}^{2}a_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=4^{n}\cdot u& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B4%5E%7Bn%7D%5Ccdot+u%5Ccdot+a_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%2B4%5E%7Bn%7D%5Ccdot+u%7D& alt=&a_{n}=\frac{4^{n}\cdot u\cdot a_{n+1}}{a_{n+1}^{2}+4^{n}\cdot u}& eeimg=&1&& ，得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2%5E%7Bn-1%7D%5Csqrt%7Bu%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B4%5E%7Bn%7Du%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%7D%2B1%7D%7B2%5Ccdot%5Cfrac%7B2%5E%7Bn%7D%5Csqrt%7Bu%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7D& alt=&\frac{2^{n-1}\sqrt{u}}{a_{n}}=\frac{\frac{4^{n}u}{a_{n+1}^{2}}+1}{2\cdot\frac{2^{n}\sqrt{u}}{a_{n+1}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&再令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B2%5E%7Bn-1%7D%5Csqrt%7Bu%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D& alt=&c_{n}=\frac{2^{n-1}\sqrt{u}}{a_{n}}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bu%7D%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D%7D%7D& alt=&c_{1}=\frac{\sqrt{u}}{a_{1}}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&则有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bc_%7Bn%2B1%7D%5E%7B2%7D%2B1%7D%7B2c_%7Bn%2B1%7D%7D& alt=&c_{n}=\frac{c_{n+1}^{2}+1}{2c_{n+1}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bc_%7Bn%2B1%7D%2B1%7D%7Bc_%7Bn%2B1%7D-1%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bc_%7Bn%7D%2B1%7D%7Bc_%7Bn%7D-1%7D%7D& alt=&\frac{c_{n+1}+1}{c_{n+1}-1}=\sqrt{\frac{c_{n}+1}{c_{n}-1}}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bc_%7Bn%7D%2B1%7D%7Bc_%7Bn%7D-1%7D%3D%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bc_%7B1%7D%2B1%7D%7Bc_%7B1%7D-1%7D+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D& alt=&\frac{c_{n}+1}{c_{n}-1}=\left( \frac{c_{1}+1}{c_{1}-1} \right)^{2^{1-n}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bc_%7B1%7D%2B1%7D%7Bc_%7B1%7D-1%7D+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%2B1%7D%7B%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bc_%7B1%7D%2B1%7D%7Bc_%7B1%7D-1%7D+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D-1%7D%3D+%5Cfrac%7B%5Cleft%28+c_%7B1%7D%2B1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%2B%5Cleft%28+c_%7B1%7D-1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%7D+%7B%5Cleft%28+c_%7B1%7D%2B1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D-%5Cleft%28+c_%7B1%7D-1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%7D& alt=&c_{n}=\frac{\left( \frac{c_{1}+1}{c_{1}-1} \right)^{2^{1-n}}+1}{\left( \frac{c_{1}+1}{c_{1}-1} \right)^{2^{1-n}}-1}= \frac{\left( c_{1}+1 \right)^{2^{1-n}}+\left( c_{1}-1 \right)^{2^{1-n}}} {\left( c_{1}+1 \right)^{2^{1-n}}-\left( c_{1}-1 \right)^{2^{1-n}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B2%5E%7Bn-1%7D%5Csqrt%7Bu%7D%7D%7Bc_%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot+a%5Ccdot+b%7D%7B%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cleft%28+c_%7B1%7D%2B1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D-%5Cleft%28+c_%7B1%7D-1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%7D+%7B%5Cleft%28+c_%7B1%7D%2B1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%2B%5Cleft%28+c_%7B1%7D-1+%5Cright%29%5E%7B2%5E%7B1-n%7D%7D%7D& alt=&a_{n}=\frac{2^{n-1}\sqrt{u}}{c_{n}}=\frac{2^{n-1}\cdot a\cdot b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\frac{\left( c_{1}+1 \right)^{2^{1-n}}-\left( c_{1}-1 \right)^{2^{1-n}}} {\left( c_{1}+1 \right)^{2^{1-n}}+\left( c_{1}-1 \right)^{2^{1-n}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D-a_%7Bn%2B1%7D%7D%3D2%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%5Csqrt%7Bu%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bc_%7Bn%2B1%7D-c_%7Bn%7D%7D& alt=&b_{n}=\frac{a_{n}a_{n+1}}{2a_{n}-a_{n+1}}=2^{n-1}\cdot\sqrt{u}\cdot\frac{1}{c_{n+1}-c_{n}}& eeimg=&1&&&/p&&p&（ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&允许各变量取复数值的话，这个换元可适用于所有的初值&/p&&p&上面的计算中，如果采取倒代换，令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D& alt=&A_{n}=\frac{1}{a_{n}}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D& alt=&B_{n}=\frac{1}{b_{n}}& eeimg=&1&&的话&/p&&p&会有： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bn%2B2%7D%5Cleft%28+A_%7Bn%2B2%7D-A_%7Bn%2B1%7D+%5Cright%29%3D%5Cfrac%7BA_%7Bn%2B1%7D%5Cleft%28+A_%7Bn%2B1%7D-A_%7Bn%7D+%5Cright%29%7D%7B4%7D& alt=&A_{n+2}\left( A_{n+2}-A_{n+1} \right)=\frac{A_{n+1}\left( A_{n+1}-A_{n} \right)}{4}& eeimg=&1&& （ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&这样能够使得计算稍微简便一点点，当然结果仍然是等价的.&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&方法（四）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&这是百度吧友 &a class=&member_mention& href=&https://www.zhihu.com/people/7d1a8a512dd6d0df583ba& data-hash=&7d1a8a512dd6d0df583ba& data-hovercard=&p$b$7d1a8a512dd6d0df583ba&&@rugals&/a&同学给出的方法，他有这个知乎帐号但很少使用&/p&&p&他的这种方法和我的方法（三）的倒代换形式基本上差不多，懒得再打一遍，直接上传他的解答的截图&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2edb1ef413cdfec846cff_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2edb1ef413cdfec846cff_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-80f8fda11f030f299d2545b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&154& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-80f8fda11f030f299d2545b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-867f6ebaedaba6dfaa3d26_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&163& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-867f6ebaedaba6dfaa3d26_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7dbf32ab616b031cc27488_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&147& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7dbf32ab616b031cc27488_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-668ff7d9cb1e8dceb9f52d2efc55e70e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&161& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-668ff7d9cb1e8dceb9f52d2efc55e70e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6b955c0adc305e5e8d7fb5cb9567fac2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&180& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6b955c0adc305e5e8d7fb5cb9567fac2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7b237bd843ed75a6e257e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&176& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-7b237bd843ed75a6e257e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d2b8bb905de35c27b1b5dc84f3a7e2c7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&187& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d2b8bb905de35c27b1b5dc84f3a7e2c7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&关于极限问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&显然，数列&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%5Ccdot+2%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%5Ctan%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D& alt=&a_{n}=\frac{b}{\sin\theta}\cdot 2^{n-1}\cdot\tan\frac{\theta}{2^{n-1}}& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%5Ccdot+2%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D& alt=&b_{n}=\frac{b}{\sin\theta}\cdot 2^{n-1}\cdot\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}& eeimg=&1&& （ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in\mathbb{N}^{*}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Crightarrow%5Cinfty& alt=&n\rightarrow\infty& eeimg=&1&& 时是有着共同极限的，这个共同极限是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bb%5Ccdot%5Ctheta%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D& alt=&\frac{b\cdot\theta}{\sin\theta}& eeimg=&1&&&/p&&p&而当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B1%7D%3D2%5Csqrt%7B3%7D& alt=&a_{1}=2\sqrt{3}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7B1%7D%3D3& alt=&b_{1}=3& eeimg=&1&& 时，这个共同极限便是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&/p&&p&这就是当年阿基米德计算圆周率时采用的割圆术&/p&&p&其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_%7Bn%7D%3D3%5Ccdot+2%5E%7Bn%7D%5Ccdot%5Csin%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%5Ccdot2%5E%7Bn%7D%7D& alt=&b_{n}=3\cdot 2^{n}\cdot\sin\frac{\pi}{3\cdot2^{n}}& eeimg=&1&&&/p&&p&这恰好是圆的内接正&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5Ccdot2%5E%7Bn%7D& alt=&3\cdot2^{n}& eeimg=&1&&边形的周长与圆直径的比值&/p&&p&而 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D3%5Ccdot+2%5E%7Bn%7D%5Ccdot%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%5Ccdot2%5E%7Bn%7D%7D& alt=&a_{n}=3\cdot 2^{n}\cdot\tan\frac{\pi}{3\cdot2^{n}}& eeimg=&1&&&/p&&p&这是圆的外切正&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5Ccdot2%5E%7Bn%7D& alt=&3\cdot2^{n}& eeimg=&1&&边形的周长与圆直径的比值&/p&&p&容易验证，这样的迭代对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的逼近，是按一阶速度收敛的&/p&&p&&br&&/p&&p&那么最后，再给诸位一个简单的小思考题：请不用三角函数，而用单纯的平面几何法解释这个二元差分方程组的意义.&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&h2&参考资料：&/h2&&p&李世杰《高中数学竞赛专题讲座 递推与递推方法》&/p&&p&谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边《数学分析习题课讲义》&/p&&p&Berggren L、Borwein J、Borwein P《Pi：A Source Book》&/p&
大概数月之前，我在这个问题的回答下给出了一道数列题数列 \left\{ a_{n} \right\} 、 \left\{ b_{n} \right\} ，满足 a_{1}=a ， b_{1}=b ， a_{n+1}=\frac{2a_{n}b_{n}}{a_…
&p&技巧的话，我说几点吧。&/p&&p&第一，使用双排版的软件，比如texmaker，这样你可以左边写code，右边出现pdf， 当然了，你用一个24寸的大屏幕更直接。对了，双排版也不能马上看成pdf，也得“生成”，只是你不需要在排版和pdf之间换来换去而去而已。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cbad999f5b5c3c9d826257c_b.jpg& data-rawwidth=&1500& data-rawheight=&898& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cbad999f5b5c3c9d826257c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e58e38181eaaab34a9a3a417_b.jpg& data-rawwidth=&2528& data-rawheight=&1232& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2528& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e58e38181eaaab34a9a3a417_r.jpg&&&/figure&&p&第二， 设置“自定义”命令： 利用自己明白的“短定义”替换“长命令”，比如，引入以下定义后, 原本需要使用\hookrightarrow 来输入&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chookrightarrow& alt=&\hookrightarrow& eeimg=&1&& , 通过一开始的输入\def\embed{\hookrightarrow}，我们在全文中只能用\embed. &/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3699fadbe7b42c281faed695c84fcf54_b.jpg& data-rawwidth=&766& data-rawheight=&1012& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&766& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3699fadbe7b42c281faed695c84fcf54_r.jpg&&&/figure&&p&第三，这也是自定义，不过这个更厉害，定义完后本质上就是定义“函数”。比如我下面的&/p&&p&\newcomannd{\Ker}[1]{\mathcal{K}er(#1)}&/p&&p&是什么意思，就是说，如果我在文章正文中输入$\Ker{A}$, 那么出现的就是$\mathcal{K}er(A)$
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BK%7Der%28A%29& alt=&\mathcal{K}er(A)& eeimg=&1&& .&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7dd6da8ed3cc7a825fad_b.jpg& data-rawwidth=&930& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&930& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7dd6da8ed3cc7a825fad_r.jpg&&&/figure&&p&第四，很多软件有“自动补完”，比如你要输入只需要输入一半的命令，它会出现可能的命令。你可以通过简单的选择来完成命令。&/p&
技巧的话，我说几点吧。第一，使用双排版的软件，比如texmaker，这样你可以左边写code，右边出现pdf， 当然了，你用一个24寸的大屏幕更直接。对了，双排版也不能马上看成pdf，也得“生成”，只是你不需要在排版和pdf之间换来换去而去而已。第二， 设置“自…
&h2&&b&欢迎搜索关注我的公众号mengge47，或者扫码添加。更多有趣有料的文字会首发在公众号里。&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s/cdwOaU39j9REzFUy_0WREQ& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点这里进入公众号二维码关注&/a&&/h2&&h2&&b&序&/b&&/h2&&p&数学是一种形而上学，不行退学。相信此文可以最优雅的帮助同学们彻底理解虚数，正如之前写的理解矩阵是对运动的描述。&/p&&p&&br&&/p&&p&中学我们就学过虚数，老师说是-1的平方根。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&i=\sqrt{-1}& eeimg=&1&&&/p&&p&可是拿计算器算会直接出错，什么数的平方等于-1呢？负数也能开平方根了？&/p&&p&考试我都会计算，可是到底怎么理解呢，弄个虚数出来到底干啥用的呢？&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&一、虚数的定义&/b&&/h2&&p&首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0868cfb2defbb7d3c0128_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&159& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0868cfb2defbb7d3c0128_r.jpg&&&/figure&&p&这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-a01ad81cbb_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&218& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-a01ad81cbb_r.jpg&&&/figure&&p&这相当于两次逆时针旋转90度。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-09badedf71_b.jpg& data-rawwidth=&629& data-rawheight=&348& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&629& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-09badedf71_r.jpg&&&/figure&&p&因此，我们可以得到下面的关系式：&/p&&blockquote&　　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)&/blockquote&&p&如果把+1消去，这个式子就变为：&/p&&blockquote&　　(逆时针旋转90度)^2 = (-1)&/blockquote&&p&将&逆时针旋转90度&记为 i ：&/p&&blockquote&　　i^2 = (-1)&/blockquote&&p&这个式子很眼熟，这就是本文开头的虚数定义公式。&/p&&p&因此我们可以知道，&b&虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&二、复数的定义&/b&&/h2&&p&既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-dcce57f68cbcd4e6b2e56eb_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-dcce57f68cbcd4e6b2e56eb_r.jpg&&&/figure&&p&将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。&/p&&p&只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。&/p&&p&数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。&b&这种表示方法就叫做复数，其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&三、虚数的加法&/b&&/h2&&p&虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0935dba772c03ea56f846a2c2c3d242f_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0935dba772c03ea56f846a2c2c3d242f_r.jpg&&&/figure&&p&比如，物理学需要计算&力的合成&。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d76ac21f106ecfbbebea8_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d76ac21f106ecfbbebea8_r.jpg&&&/figure&&p&根据&平行四边形法则&，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。&/p&&p&这就是&b&虚数加法的物理意义&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&四、虚数的乘法&/b&&/h2&&p&如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cf820c6d99a53d6db5d99c0a8a1dbfb4_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cf820c6d99a53d6db5d99c0a8a1dbfb4_r.jpg&&&/figure&&p&比如，一条船的航向是 3 + 4i 。&/p&&p&如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d30cdaae59924a7fca739041_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&296& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d30cdaae59924a7fca739041_r.jpg&&&/figure&&p&45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：&/p&&blockquote&　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )&/blockquote&&p&所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。&/p&&p&如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：&/p&&blockquote&　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )&/blockquote&&p&这就是虚数乘法的物理意义：&b&改变旋转角度&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&五、虚数乘法的数学证明&/b&&/h2&&p&为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？&/p&&p&下面就是它的数学证明，实际上很简单。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ceaeead42f67b160e417_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&298& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ceaeead42f67b160e417_r.jpg&&&/figure&&p&任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。&/p&&p&假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：&/p&&blockquote&　　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )&br&　　c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于&/p&&blockquote&　　r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&展开后面的乘式，得到&/p&&blockquote&　　cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&根据三角函数公式，上面的式子就等于&/p&&blockquote&　　cos(α+β) + isin(α+β)&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&所以，( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )&/p&&p&这就证明了，两个复数相乘，就等于&b&旋转半径相乘、旋转角度相加&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&跋&/h2&&p&原版英文出处——&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//math.stackexchange.com/questions/199676/what-are-imaginary-numbers& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&What are imaginary numbers?&/a&里面有一个答案推荐了图解虚数&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&欢迎搜索关注我的公众号mengge47，或者扫码添加。更多有趣有料的文字会首发在公众号里。&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s/cdwOaU39j9REzFUy_0WREQ& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点这里进入公众号二维码关注&/a&&/h2&
欢迎搜索关注我的公众号mengge47，或者扫码添加。更多有趣有料的文字会首发在公众号里。序数学是一种形而上学，不行退学。相信此文可以最优雅的帮助同学们彻底理解虚数，正如之前写的理解矩阵是对运动的描述。 中学我们就学过虚…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-69a92a03fad18ce763384_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-69a92a03fad18ce763384_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2462d39eec8da06e6e6b9e8bb5156038_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&9727& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2462d39eec8da06e6e6b9e8bb5156038_r.jpg&&&/figure&
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9446dac6b86f94e8b890_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9446dac6b86f94e8b890_r.jpg&&&/figure&&p&&strong&希尔伯特旅馆悖论&/strong&(Hilbert's paradox of the Grand Hotel)是一个与无限集合有关的数学悖论. 在上世纪 20 年代, 德国数学家大卫.希尔伯特提出了一个著名的思想实验来向我们表明, 用人类的思维去把握&无穷/无限&这个概念究竟有多难. &figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4db102db1c272e349b59c42b50b528c7_b.png& data-rawwidth=&722& data-rawheight=&372& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&722& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4db102db1c272e349b59c42b50b528c7_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。或许有人会认为此时这一旅馆将无法再接纳新的客人（如同有限个房间的情况），但事实上并非如此。&/p&&br&&br&&p&&strong& 正文&/strong&&/p&&h2&&strong&01 &/strong&有限个新客人&/h2&&p&想象一家旅馆有无穷多间客房, 还有一位非常勤奋的夜班经理. 一天晚上, 无限旅馆彻底客满, 已经被无限多位客人全部预定了. 一个男士走进了酒店并且要求一个房间。夜班经理并没有拒绝他，而是决定给他一个房间。&br&&/p&&br&&p&怎么可能？很简单，他让1号客房的客人搬到了2号客房，2号客房的客人搬到3号客房，以此类推。每个客人从&n&号房间搬入&n+1&号房间。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1f4cd6d25c69dc72c1d95a_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1f4cd6d25c69dc72c1d95a_r.jpg&&&/figure&&p&因为酒店有无限个房间，所以总有第 n+1 个房间给每 n 个已入住的客人, 这样的话 1号房间就留给了新的客人。&/p&&br&&p&这个安排房间的方法可以被重复给任何有限个的新客人们。假设一个观光大巴有 40 个乘客下车要找房间，那么每个已在的客人只要从&n&号房间搬到&n+40&号房间，因此，就能有新的40个房间供入住。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bb9f62c9cc0fd_b.png& data-rawwidth=&805& data-rawheight=&428& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&805& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-bb9f62c9cc0fd_r.jpg&&&/figure&&/p&&br&&h2&&strong&02 &/strong&无限个新客人&/h2&&p&但是现在有一个无限长的巴士拉了&strong&可数的&/strong&无限多位客人来订房间。关键是可数无限个新客人。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a3fcbb4f5_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a3fcbb4f5_r.jpg&&&/figure&&p&现在，这个无限长的巴士里面搭乘的无限多客人一开始为难了夜店经理，但是他意识到有一个方法来安置每一个新人。他让1号房间的客人搬到了2号房间。他然后让2号房间的客人搬到了4号房间，3号房间的客人搬到6号房间，以此类推。让每一个原先入住的客人从&n&号房间搬到了&2n&号房间，于是只有无限多的偶数号房间里住了人, 而空闲下来的无限多个奇数房间由新来的客人入住。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-71eeb103b0d5dce603a6db28ecd1ba40_b.png& data-rawwidth=&860& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&860& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-71eeb103b0d5dce603a6db28ecd1ba40_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5ae048774fecad6228477d_b.png& data-rawwidth=&142& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&142&&&/figure&&p&通过这样安排，这辆无限长的巴士的乘客们将占用这些奇数房间。皆大欢喜, 酒店的生意达到了空前的兴隆, 人们从世界各地蜂拥而来。&/p&&br&&h2&&strong&03 &/strong&无限个大巴且每个巴士有无限客人&/h2&&p&一天晚上，发生了超乎想象的事情发生了。夜班经理看了外面并且看到了由无限多辆并且每一辆都是无限长的大巴们开到酒店门口，每个大巴都载着可数的无限多位的客人。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-676fdbc49a35ab25_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&224& data-thumbnail=&https://pic2.zhimg.com/v2-676fdbc49a35ab25_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&br&&p&他能干些什么？如果他不能给这些疲惫不堪的乘客找到房间住下来，这个酒店就要失去无限多的收入，并且他肯定会失去他的工作。幸运的是，他记得在公元300年前，Euclid 给出了质数有无穷多个的证明. &/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-345e1c66f963e9bc84aaf_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-345e1c66f963e9bc84aaf_r.jpg&&&/figure&&p&所以，为了完成这个看上去不可能实现的任务: 找到无限张床, 给无限辆的大巴上的无限位疲倦的旅客们. 夜店经理安排给每个原有的客人这样分配要调整的房间.
&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f894dcdb72ef46bbda99536_b.png& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&309& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f894dcdb72ef46bbda99536_r.jpg&&&/figure&&p&把第一个质数 2 作为的底数, 原有客人当前的房间号为指数。譬如, 原先住在房间号为7的酒店客人, 就要搬到房间号为2的7次方的房间里，也就是128号房。&/p&&br&&p&然后, 夜班经理这样安排在第一个超级大巴上的客人, 以下一个质数 3 为底数, 以他们在大巴的座位号为指数来分配房间。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e0c3b40e64d7b9c5f539_b.png& data-rawwidth=&564& data-rawheight=&293& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&564& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e0c3b40e64d7b9c5f539_r.jpg&&&/figure&&/p&因此，座位号为7的第一辆大巴上的人到房间号为3的七次方即2187号房间去。这个过程持续给第一辆大巴上的所有人。&br&&p&第二辆大巴上的乘客们被安排到了下一个质数 5 为底数.&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c3a1eb461f8bf859a7a7d8_b.png& data-rawwidth=&564& data-rawheight=&293& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&564& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c3a1eb461f8bf859a7a7d8_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&接下的大巴以 7 为底的幂。每辆大巴如下：11的幂，13的幂，17的幂，等等。因为这些底数都是质数, 因此就房间号就不会重复, 也就利用了这种基于质数的独特安置分配方案将所有大巴里乘客们散列分配到到各自房间.
&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b7557ced3edf24e59e7122_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b7557ced3edf24e59e7122_r.jpg&&&/figure&&p&这样一来，夜班经理能够安排每辆大巴的每位乘客入住。尽管，还有许多房间是空的，像是1, 6, 10, 12 号房因为不是任何质数的幂就闲置了起来。不过幸运的是，他的老板数学不是很棒，所以的夜班经理的工作还是保住了。&/p&&br&&p&夜班经理现在都是面对这些难题都只涉及到了最低级的无穷数，主要是可数的无限自然数1，2，3，4......等等。George Cantor称这个等级的无限为阿列夫-零(Aleph-zero).&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fbc9dbfcdb4ee51a0384c7a_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-fbc9dbfcdb4ee51a0384c7a_r.jpg&&&/figure&&p&我们使用自然数为房间号, 同时也是使用自然数来对应大巴的座位号。如果我们处理更高级的无穷数，比如实数的无限情况, 前面这些结构策略就不行了, 因为我们没有办法系统地包含每一个数字。比如实数, 负数, 无理数这样的场景, 都在提醒我们目前这样相对有穷的思维, 如果想要掌握无穷数这样的概念是有多么困难. 或许你在希尔伯特酒店好好睡了一晚后能解决这些问题. 不过老实说，夜班经理可能需要你在凌晨2点换房间。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0a256cfddd3d110ef7badaae_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&224& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-0a256cfddd3d110ef7badaae_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&/p&&p&根据有关 TED Ed 视频: The Infinite Hotel Paradox 及维基百科编写. 图片版权属于TED, 完整视频与字幕, 请到&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这里&/a&或B站搜索或 [遇见数学] WeChat ID: MeetMath 微信后台回复关键字 [TED] 得到国内云盘下载地址. 更多 TED Ed 视频见下图或未来继续推出的文章. &/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e6a0c53bbeb091f5df37a_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e6a0c53bbeb091f5df37a_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&遇见数学&/b&&/p&&p&拨开知识的层层密林，探寻美妙数学中的趣味。&/p&&p&感谢关注遇见数学!&/p&&br&&br&&br&&br&&p&?如果你喜欢这篇文章，欢迎分享到朋友圈?&/p&&p&评论功能现已开启，灰常接受一切形式的吐槽和意见?&/p&
希尔伯特旅馆悖论(Hilbert's paradox of the Grand Hotel)是一个与无限集合有关的数学悖论. 在上世纪 20 年代, 德国数学家大卫.希尔伯特提出了一个著名的思想实验来向我们表明, 用人类的思维去把握"无穷/无限"这个概念究竟有多难. 假设有一个拥有可数无限多…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-48db975f362dc049cef0a25f4d2af1f5_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1046& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-48db975f362dc049cef0a25f4d2af1f5_r.jpg&&&/figure&&p&记得 2002 年我还在上初中。一天，母亲从书店回家给我带了一本《&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//book.douban.com/subject/1019284/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&新概念几何&/a&》，副标题是张景中院士给中学生的礼物。没想到，12 年后，我把书中的方法教给了在&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_Olympiad_Summer_Program& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&美国奥林匹克数学夏令营&/a&的学生。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-244dc35ca573d_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&440& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&这个叫做面积方法的秘诀，只是基于如下事实：&/p&&p&&b&定理（共边定理）&/b&如果&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&是直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AB& alt=&AB& eeimg=&1&&和直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=PQ& alt=&PQ& eeimg=&1&&的交点，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPM%7D+%3A+%5Coverline%7BQM%7D+%3D+%5BPAB%5D+%3A+%5BQAB%5D& alt=&\overline{PM} : \overline{QM} = [PAB] : [QAB]& eeimg=&1&&。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d0fb4c8fec0abc3dcd86f11ad85548fd_b.png& data-rawwidth=&5135& data-rawheight=&1574& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&5135& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d0fb4c8fec0abc3dcd86f11ad85548fd_r.jpg&&&/figure&公式中的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPM%7D& alt=&\overline{PM}& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BQM%7D& alt=&\overline{QM}& eeimg=&1&&需要理解为有向线段。假设直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=PQ& alt=&PQ& eeimg=&1&&上&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&到&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&&是正方向，那最左图中&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPM%7D& alt=&\overline{PM}& eeimg=&1&&为正，而&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BQM%7D& alt=&\overline{QM}& eeimg=&1&&为负。同理，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5BPAB%5D& alt=&[PAB]& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5BQAB%5D& alt=&[QAB]& eeimg=&1&&需要理解为有向面积。假设逆时针方向的面积为正，那最左图中&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5BPAB%5D& alt=&[PAB]& eeimg=&1&&为正，而&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5BQAB%5D& alt=&[QAB]& eeimg=&1&&为负。&/p&&p&共边定理的叙述非常简单，但运用得当，可以&b&按部就班&/b&地解决许多平面几何问题。注意到，定理中等式的左边包含交点&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&，而右边则与&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&无关。从这种意义上说，共边定理&b&消除&/b&了交点&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&，降低了表达式&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPM%7D%3A%5Coverline%7BQM%7D& alt=&\overline{PM}:\overline{QM}& eeimg=&1&&的复杂度。&/p&&p&我们先看如何用共边定理证明一个经典定理。&/p&&br&&p&&b&定理（帕普斯定理）&/b&设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%2C+B%2C+C& alt=&A, B, C& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%2CY%2CZ& alt=&X,Y,Z& eeimg=&1&&分别是两条直线上的三个点，如果&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AY& alt=&AY& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=BX& alt=&BX& eeimg=&1&&的交点，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&&是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AZ& alt=&AZ& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=CX& alt=&CX& eeimg=&1&&的交点，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&&是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=BZ& alt=&BZ& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=CY& alt=&CY& eeimg=&1&&的交点，则&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=P%2CQ%2CR& alt=&P,Q,R& eeimg=&1&&共线。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5436dfe091a86d1aebe0b4_b.png& data-rawwidth=&3200& data-rawheight=&1414& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3200& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5436dfe091a86d1aebe0b4_r.jpg&&&/figure&&p&为了应用共边定理，我们将证明三点共线的问题转化为计算线段比例的问题。设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q_1& alt=&Q_1& eeimg=&1&&是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AZ& alt=&AZ& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=PR& alt=&PR& eeimg=&1&&的交点，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q_2& alt=&Q_2& eeimg=&1&&是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=CX& alt=&CX& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=PR& alt=&PR& eeimg=&1&&的交点。我们只需要计算&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPQ_1%7D%3A%5Coverline%7BRQ_1%7D& alt=&\overline{PQ_1}:\overline{RQ_1}& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPQ_2%7D%3A%5Coverline%7BRQ_2%7D& alt=&\overline{PQ_2}:\overline{RQ_2}& eeimg=&1&&，并证明它们相等，这样&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q_1& alt=&Q_1& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q_2& alt=&Q_2& eeimg=&1&&重合，也就是说&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AZ%2CCX%2CPR& alt=&AZ,CX,PR& eeimg=&1&&共点，即&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=P%2CQ%2CR& alt=&P,Q,R& eeimg=&1&&共线。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3bd103e8dc2eeab9816668_b.png& data-rawwidth=&3755& data-rawheight=&1660& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3755& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3bd103e8dc2eeab9816668_r.jpg&&&/figure&&p&由于&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q_1& alt=&Q_1& eeimg=&1&&是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AZ& alt=&AZ& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=PR& alt=&PR& eeimg=&1&&的交点，由共边定理，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPQ_1%7D%3A%5Coverline%7BRQ_1%7D+%3D+%5BPAZ%5D%3A%5BRAZ%5D& alt=&\overline{PQ_1}:\overline{RQ_1} = [PAZ]:[RAZ]& eeimg=&1&&。注意，点&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q_1& alt=&Q_1& eeimg=&1&&消失了，降低了表达式的复杂度。&/p&&p&接下来，需要降低&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5BPAZ%5D%2C+%5BRAZ%5D& alt=&[PAZ], [RAZ]& eeimg=&1&&的复杂度。由于&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ad5e18b4a4_b.png& data-rawwidth=&334& data-rawheight=&19& class=&content_image& width=&334&&&/figure&&p&结合共边定理：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BPA%7D%3A%5Coverline%7BPY%7D%3D%5BBXA%5D%3A%5BBXY%5D& alt=&\overline{PA}:\overline{PY}=[BXA]:[BXY]& eeimg=&1&&，可知&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9bc775dca2d_b.png& data-rawwidth=&468& data-rawheight=&19& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9bc775dca2d_r.jpg&&&/figure&&p&同理，由于&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0e4b9cd022d0e3b3ceb18_b.png& data-rawwidth=&335& data-rawheight=&19& class=&content_image& width=&335&&&/figure&&p&结合共边定理：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7BRB%7D%3A%5Coverline%7BRZ%7D%3D%5BCYB%5D%3A%5BCYZ