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导语：资本市场上有诸多风险资產各有不同的收益率和波动率。为了分散风险我们一般会同时持有多种不同的资产，但是如何合理的资产配置地进行配置是个难题配置不好的话可能不光分散了风险，也对冲没了收益本文要介绍的，就是著名的现代资产配置（MPT）理论

阅读本文需要掌握效用和（level-1）嘚知识。

本文是一系列文章中的第三篇本系列从基础概念入手，推导出 CAPM 模型系列中共有四篇：

金融资产配置的目标是将投资资金合理嘚资产配置地分配在多种资产上，在将风险控制在一定范围内的同时把收益率最大化其中最著名的理论是现代资产配置理论(Modern Portfoilio Theory)，简称 MPT由 Markowitz 茬1952年提出。MPT 的核心思想是以最小化标准差（或同理的方差）并最大化预期收益为目标来进行资产配置，有时也称为均值-方差分析(Mean-Variance Analysis)是金融经济学的一个重要基础理论。

在 MPT 模型中我们假设投资者对一个资产的风险的认知等同于该资产的收益率变量的标准差（见）。因此任何一个资产或者资产组合都可以根据其收益和风险被放在一个二维图坐标图上，该图的横轴是收益率的标准差竖轴是收益率的预期值。

投资者追求的是风险低并且收益高的资产配置因此，固定收益率不变我们要将风险降到最低，也就是要得到最小的横轴值；或者固萣风险不变将收益率提升到最高，也就是要得到最大的竖轴值

假设市场上有 n 种不同的金融资产（可以狭义地想象为股票） 1,2,…,n。对于某┅资产 i 用 ri 表示该资产的收益率的随机变量，E[ri] 表示收益率的预期σi 表示 ri 的标准差。

我们将市场上所有收益率方差大于 0 的资产叫做风险资產(risky assts)将收益率没有不确定性的资产叫做无风险资产(risk-free assets)。并且假设市场上所有无风险资产的收益率是一样的，叫做无风险利率(risk-free interest rate)写作 rf。

一个風险资产配置(risky portfolio) P 是由风险资产 i=1,2,…,n 按照某个权重比例组成的每一个资产 i 在 P 中的权重是 wi，满足 我们假设市场是完全开放的，并且可以无限制哋买多或卖空因此 wi 可以是任何实数。

根据单个资产的收益率可以计算资产配置 P 的收益变量的一些性质。首先资产组合收益率的随机變量是

它的预期收益是方差是并且有标准差

现在，我们固定预期收益然后拥有该预期收益，并且标准差最小的资产组合也就是说，对於任意一个预期收益值 μ，找到一个由配置权重 w=(w1,w2,…,wn) 定义的资产配置 P要求 P 的预期收益率为 μ，并且，在所有可以配置出的预期收益为 μ 的組合中，P的方差是最小的用最优化问题表示出来的话，就是

这个问题的最佳解用 Lagrange 乘子的方法可以找出但解决过程比较复杂，这里就不哆做解释对于每一个值 μ，我们求得一个风险资产配置 P，满足 E[rP]=μ，并且 σP 是最小的将这些最优解画成图，在标准差-预期的坐标上得到┅条抛物线根据计算所用到的资产的信息不同，这根曲线会不尽相同但基本上遵循这个形状。

这条曲线被叫做有效前沿(efficient frontier)由于它的形狀像一枚子弹尖，所以有时也叫做马科维兹子弹(Markowitz bullet)有效前沿存在一个波动率最小的位置，也就是图中曲线最靠左的地方并且在这个点以仩的位置才是真正“有效”的；我们是固定预期收益算得的最低风险而得到的这条曲线，如果再固定风险并选择最大的预期收益则会筛選掉有效前沿的下半部分。所以很多时候人们所说的“有效前沿”会特指上半部分。

我们举个例子风险资产采用从沪深三百股票池中隨机选出的五支股票，取 2014 年到 2016 年的所有收盘价数据经计算得出它们的平均日均收益率分别是

画在协方差-预期轴上，如下图中的五个蓝色彡角是我们模型中选用的五支股票；背景中的粉点是沪深三百中的其他股票作为参考。

计算这五支股票收益率的协方差得到矩阵

这个矩阵的 (i,j)位置是第 i 和第 j 个资产之间的协方差。通过穷举出用五支股票可以组成的资产配置（允许一定限度的卖空）绘出一个看起来很好吃嘚图

图中的每一个点代表一个风险资产组合，颜色偏绿代表夏普比率高偏紫的代表夏普比率低（下一节会介绍夏普比率）。图中最左侧勾勒出来的曲线就是以这五支股票所构成的有效前沿是在固定收益率的情况下能配置出的最小标准差。

有效前沿上风险最少的配置（最咗侧的顶点）有标准差 0.0212并且有预期收益率 0.00202。

上图中紫色五角星就是最低风险的配置它的预期收益大约是五支股票的平均，但风险要小於其中的每一支

理论上的有效前沿是无限延伸的，并且前沿右侧的所有空间都是可以通过配置这五支股票得到因为计算量的有限性，看上去很好吃的图里只包含了可行资产配置里的一部分不过其中已经包括了本模型中最重要的一个股票组合。是什么呢

有效前沿左侧嘚区域是通过风险资产无法配置出的。但是！如果把无风险资产加入资产配置那么左侧的一些位置是可以获取的。

我们选择有效前沿上嘚一个资产配置 P并选择比例 α≥0，将本金的 α 配置于 P并将 1?α 配置于无风险资产。如果 α≤1那么 1?α≥0，也就是说我们将 1?α 倍嘚本金存入银行或买入债券，获取那部分的无风险利率如果 α≥1，那么 1?α≤0意思是，我们贷款本金 α?1 倍的资金支付无风险利率，并用贷款连同本金一并配置于 P如此，以 α 为系数使用 P 和无风险资产配制出一个组合，我们将它的收益随机变量记为 rα。计算得到

和仩面的有效前沿的计算不同这里 σα 和 E[rα] 不是复杂的多项式关系，而是简单的线性关系因此，将所有 α≥0 所对应的点画出我们得到嘚是穿过 (0,rf) 和 (σP,E[rP])的整条射线。

如上图所示如果蓝点是无风险利率，红点是一个有效前沿上的风险资产配置 P那么黄线上的所有点都是可以按照一定比例配置无风险资产和 P得到的。

使用常用的直线坡度计算方法所得的黄线的坡度是 P 和 无风险资产的收益差除以它们的标准差的差。也就是

经计算可以证明，用市场信息计算得来的有效前沿上必定有一个夏普比率最高的点我们将其叫做市场组合(market portfolio)。

我们知道一個配置的夏普比率等同于连接无风险资产和这个配置的直线的坡度；那么市场组合的夏普比率最高，就意味着它连接无风险资产的线坡度朂陡因此，这条线必定与有效前沿构成切线关系如下图所示。

图中的蓝点是无风险资产红点是市场组合，穿过它们的射线叫做资本市场线(capital market line)红点和蓝点之间的位置是将一份资金存于无风险资产，并将余下资金买入市场组合而得到的；红点右侧的位置是以无风险利率进荇一些贷款并将本金连同贷款全部买入市场组合的配置。

设无风险利率为 rf市场组合为 M，并且市场组合的夏普比率为 的话资本市场线嘚公式为

资本市场线的意义在于，固定标准差那么市场上收益预期最高的投资组合在这条线上；或者，固定预期收益那么市场上标准差最低的投资组合在这条线上。所以资本配置线可以直观地理解为理论上的“最佳配置线”。

实际中无风险利率不是唯一的，贷款和存款所支付的利率也不是一样的为了方便起见，我们一般会把国债的利率作为模型中的无风险利率

现在，在之前的示例中加入无风险資产进行计算按国债年化利率为 4% 来计算，无风险的日化利率为

计算得知有效前沿上最高的夏普比率是 0.11885，由此得知资本市场线的公式为

將资本市场线画出如下

资本市场线和有效前沿相切在夏普比率最高的资产配制上，我们将这个组合称作 M计算可得，该组合的日化预期收益率为 E[rM]=0.0037746并且标准差为 σM=0.030439。将其与原生的五支股票以及最低风险组合进行对比如下图

图中红色五角星是组合 M，黑线是资本市场线

再假设，我们想用这五支股票和无风险资产配制出预期日化收益率为 0.003 并且风险最低的组合那么就应该去资本市场线上找相应的位置。设我們要找的组合是由 α 份 M 和 1?α 份无风险资产构成的利用资本市场线的公式倒推的标准差

因此，该组合中每个 1 元钱的配置比例为 0.786 的 M 以及 1?0.786=0.214 嘚国债对应下图中的红方块。

这个新的股票组合的预期收益率高于它的五个成分股但风险比其中的每一支都低。

一个资产组合的预期收益是它的成分资产的线性加权平均但组合的波动性和风险却更复杂，是由成分资产两两之间的相关性决定的在 MPT 模型的分析中，通过匼理的资产配置地配置资产可以在保证高收益的同时也降低风险。理论上最优的风险组合就是夏普比率最高的市场组合。在本系列的丅一篇文章中我们将介绍著名的 CAPM 模型：在已知市场组合的定价的情况下，该如何推算市场上其他风险资产（或风险组合）的收益率

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打个比方构建投资组合就好比慥房子：

第一步：打地基，即设定合理的资产配置、适合的投资目标这是最重要的一步，是之后所有工作的基础

在国外，投资顾问为超高净值人士提供投资建议前会花很长时间（往往1-2个月甚至更久）和投资人密切沟通，梳理其资金状况和需求并进行必要的教育，协助其明确投资目标

常见的投资目标涵盖以下方面：

组合层面的预期收益是多少？在何时间段内实现（3年、5年、10年…)?

投资人对流动性的要求如何如：50%的资产1年内可流动。

投资组合未来的预期现金流情况（非投资相关）如何如每年预期从投资组合中支出5%的资金（用于子女敎育、慈善等等），或2年内预期有20%的新资金注入投资组合（预期未来股票套现）等

投资人对于不同资产类别或投资策略有何特殊偏好？洳有人特别喜欢实物资产（房地产、黄金等）有人压根不相信VC，有人特别喜欢投资新兴市场等这些都要在资产配置时考虑在内。

第二步：基于投资目标制定资产配置方案，也就是实际的建造房体的过程

根据第一步确定的风险、收益等目标，利用有效边际（Efficient Frontier) 或者说马克维茨模型确立符合需求的大类资产配置。

众所周知一个模型的核心在于其假设。有效边际模型所采用的假设是不同资产类别的回报囷收益属性(risk and return profile)及相关性

关于这些属性，大部分专业机构都有各自proprietary的假设不同机构间略有差异，但差别不会太大因为毕竟都是基于实际市场表现的empirical study。比如美股的长期收益率约为7%波动率约为16%，这一假设在不同机构间基本大同小异

资产配置还分为战略（也称为长期或静态）资产配置和战术（也称短期或动态）资产配置，在此不展开

当今世界经济形势下，身家 1000 万以上的高净值客户该如何进行全球资产配置假设投资人的长期收益目标为10%，可承受的波动性为20%那么基于大部分资产配置模型，一个潜在的配置方案是：40%股票、30%私募股权、10%对冲基金、10%实物资产（房地产、能源等）、10％固定收益

总的来说，具体的进行资产配置的过程是一个相对“标准化”的流程因为很大程度上取决于模型。当然在模型的基础上，根据人为经验对结果进行调整往往可产生巨大的增值(value-add)。这也是目前机器人投顾(robo advisor)还不能代替人的原洇之一

第三步：选择具体的投资标的，可以看成是对建成的毛坯房进行装修布置

毛坯房只有进行装修、布置完家具家电后才能住人；哃样，再好的资产配置也必须落实到具体的标的方能实现

换个角度说，资产配置主要是从beta的角度产生回报而具体投资标的的选择则是產生alpha。

假设已确定40%的资金用于配置股票那么具体投资时，投资人仍需要做出一系列的决策：

其中多少进行直接投资（即自己进行选股）、多少进行间接投资（即委托基金来管理）

进行分散投资时，采用何种结构是平均分配、还是采用更复杂的结构：比如核心加卫星(core-sattelite)、“甜甜圈”（donut)形式等？

是否采用不同的投资策略包括成长型、价值驱动型、趋势型等等。如是那么不同策略间如何平衡和配置

在不同區域间如何配置？

在每个具体标的层面决定具体投资金额、时点（可分为多个时点进入）、退出机制等。

以上所有决策均需根据投资囚自身的资源进行安排，包括团队、人脉网络、专业知识等

比如，资金体量较大的家族办公室往往会有专业化分工的投资团队也可能茬部分领域有直接投资的能力；但对于高净值个人来说，除非自身有特殊资源或专业从事金融否则在时间精力有限的情况下更适合采用間接投资、并依赖专业的理财顾问（区别于理财产品销售）给予建议。

第四步：投资组合再平衡（Rebalance)即对房屋进行维护修缮。

投资是个动態的过程资产配置虽然不会频繁变动，但也需要定期复盘和调整就如再好的房子也需要定期维护管理。一般再平衡每年进行1-2次

配置偏离。假设40%的股票配置在一年后涨了20%而整体组合只涨5%，那么一年后股票所占的比例就提高到了46%600个基点的偏离幅度是比较大的，通常需偠考虑是否将当前超配的份额转移到其他低配的资产类别换句话说，如果一个股票或基金在较短时间内上涨了20%那么它有可能已接近或箌达估值高点，是时候锁定部分收益、控制下行风险了

特定市场发生根本性变化。如20年前美国PE的预期回报一般都在20%以上，但当前国外LP對PE这一资产类别的预期回报往往只有15%或有人用股票市场收益＋300-500基点（非流动性溢价，iliquiidy premium）原因就是随着PE市场自身的效率提高、AUM增大、竞爭加剧等原因，行业整体的回报率下降了这种情况下，可能需要调整大类资产配置

投资人自身的收益风险偏好或资金规划发生改变。

鉯上是构建投资组合的一个基本框架是一个相对 time-insensitive、当然也相对抽象化的操作方法。实操过程涉及的很多问题需要系统化整理以后一一發文吧。（作者：李晓  来源：知乎）

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