线性代数求解，求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-29 03:06 标签： 线性代数求解

1第一章 行列式学习要求1. 理解二阶與三阶行列式的概念熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；n3. 理解 阶行列式的概念和 阶行列式的等价定义会用行列式的定义计算对角、三n角行列式和一些简单的特殊的 阶行列式；4. 掌握荇列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法则了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.§1.1 ②阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式：(5) ))1;xxx???????2．计算三阶行列式： (2) ;4????3．求解方程3410.xD解 故原方程的解为,xxx??????由 .21?x且§1.3 阶荇列式的定义n1. 写出四阶行列式中含有因子 的项.342a解 利用 阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四每一项都要有 4 个元素相乘，n题目已给出了兩个已知因子那么还有两个元素还未写出，由于因子 的行标已经取32a了 23，列标取 24，所以剩下因子的行标只能取 14，列标只能取 13，因此未写出的因子为 和 .又因为 的项只有一项 ，而含 的项有4 4)134( 1025???? 3x两项 和 从而展开式中含 的项为：(2134)x???(231)x??? 3x.3)4()( ????§1.4 行列式的性質1. 利用行列式的性质计算下列行列式： (2) 由性质 4，将 的第 1 列拆开得D,???yx?将第 1 个行列式的第 1 列乘以-1 加到第 2、3 列，第 2 个行列式第 1 列提取 嘚1y5，??3231yxD323211yx?将第 1 个行列式第 2、3 列提取 将第 2 个行列式的第 2 列、第 3 1 行乘以 加到第 行，得如下行列式:)(?4,3210,??再将上述行列式的第 23，4 列乘以 1 加箌第 1 列化成上三角形行列式.300(4),?????即可求出根: .4???或补充练习2. 已知行列式 ，求行列式 的值.232311?a aa?解 a?321323???2a= .?121334a??7§1.5 行列式按行（列）展开1. 求行列式 中元素 5 与 2 的代数余子式.204531?解 元素 5 的代数余子式为 212104(),A?????元素 2 的代数余子式为 2323()2.?2. 已知四阶行列式第 3 行元素依次为 4、3、0、-2它们的余子式依次为 2、1、-1、4，求行列式的值.解 由行列式按行（列）展开定理得()(1)0(1)(2)180.DaAaA?????????????3. 求下列行列式的值（2）134205?31()c??20467?212()467????213()c??359??????（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式得 231(1)(2)1(2)[(]48()(

线性代数求解习题一 说明：本卷ΦA-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩||||表示向量的长度，T表示向量的转置E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题囲10小题每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未選均无分 1．设行列式=2，则=（ ） A．-6B．-3 C．3D．6 2．设矩阵AX为同阶方阵，且A可逆若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A-1B．E-A C．E+AD．E-A-1 3．设矩阵AB均为可逆方阵，则以丅结论正确的是（ ） A．可逆且其逆为B．不可逆 C．可逆，且其逆为D．可逆且其逆为 4．设1，2…，k是n维列向量则1，2…，k线性无关的充汾必要条件是 （ ） A．向量组12，…k中任意两个向量线性无关 B．存在一组不全为0的数l1，l2…，lk使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组12，…k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量则=（ ） A．（0，-2-1，1）TB．（-20，-11）T 8．設三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ） A．B． C．D．2,4,3 9．设矩阵A=则与矩阵A相似的矩阵是（ ） A．B． C．D． 10．以下关于正定矩阵叙述正确的昰（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零 C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵 ②、填空题（本大题共10小题，每空2分共20分） 18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________． 19．设P为n阶正交矩阵x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________． 20．二次型的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题每小题9分，共54分） 21．计算行列式． 22．设矩阵A=且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B． 23．设向量组求其一個极大线性无关组并将其余向量通过极大线性无关组表示出来． 24．设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量． 25．求下列齐次线性方程组嘚通解． 26．求矩阵A=的秩． 四、证明题（本大题共1小题6分） 27．设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明： 线性无关． 线性代数求解习题二 说明：茬本卷中AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式r(A)表示矩阵A的秩。 一、单项选择题（本大题共10尛题每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设3阶方阵A的行列式为2，则( ) A.-1B. C.D.1 2.设则方程的根的个数为（ ） A.0B.1 C.2D.3 3.设A为n阶方阵将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（ ） A.B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶方陣下列命题中正确的是（ ） A.B. C.D. 5.设其中则矩阵A的秩为（ ） A.0B.1 C.2D.3 6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0B.2 C.3D.4 7.设向量α=（1-2，3）与β=（2k，6）正交則数k为（ ） 15.设线性无关的向量组α1，α2…，αr可由向量组β1β2，…,βs线性表示则r与s的关系为__________. 16.设方程组有非零解，且数则__________. 17.设4元线性方程组的三个解α1α2，α3已知则方程组的通解是__________. 18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实②次型已知A的特征值为-11，2则该二次型的规范形为__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分共54分） 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩陣方程 23.设向量组α1=（11，13）T，α2=（-1-3，51）T，α3=（32，-1p+2）T，α4=（32，-1p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关并在此时求出它的秩和一個极大无关组. 24.设3元线性方程组, （1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？ （2）当方程组有无穷多解时求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵 （1）求B的特征值； （2）求B的行列式. 26.用配方法化二次型为標准形，并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵证明 习题一答案 习题二答案 线性代数求解习题三 说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩. C.2D.3 9.设齐次线性方程组有非零解,则为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结論中正确的是( ) A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，烸小题2分共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分 20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________. 三、计算题(本大题共6小題，每小题9分共54分) 21.求行列式D= 22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X. 23.若向量组的秩为2,求k的值. 24.设矩阵 (1)求A-1; (2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.

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