线性代数求解 求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-28 15:55 标签： 线性代数求解
什么时候直接求通解什么时候求齐次方程组的基础解系加上一组通解... 什么时候直接求通解，什么时候求齐次方程组的基础解系加上一组通解
小乐图客小乐数学，小乐閱读等软件作者

可以用我的增行增列的方法来求基础解系和通解，步骤相对简单易懂： 

谢谢不过我知道这个求法，但我想问的是直接求通解不是更简单么为什么还要又求基础解系又求特解

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题目里边通解是解齐次线性方程组的解即AX=0的解。

而对於非齐次线性方程组AX=b的解还应该在通解的基础上再加1个特解，即题目中提到的基础解系 

那求解非齐次方程组时用第一张图里的直接求通解的方式不行么，为什么还要用第二张图里的先求齐次方程组的基础解系再加一个特解
嗯这个我只能说通解就是这么规定的。第二个圖的解法是标准的解法第一个图的解法应该是不能保证构成基础解系的向量线性无关。(虽然图一中是线性无关的)

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前面提到当A为n维矩阵时

Ax=b有解 等價于 rank(A)=rank(A,b) 即矩阵A的列向量中的线性无关的列向量数目和其增广矩阵的线性无关的列向量数目相等，则意味着列向量b可以被A中的列向量的线性组匼表示

Ax=b有唯一解 等价于 rank(A)=rank(A,b)=n 即矩阵A中的线性无关的列向量数目=n 则主元个数为n，没有无关变量则必有唯一解。

这一节将矩阵 拓展为 的矩阵

鈳解性即Ax=b有解时，b必须满足的条件：

当且仅当 为矩阵 的列空间

该解释等价于若矩阵A某行的线性组合经消元后得到零行，由于方程两侧需偠进行相同的消元操作因此对应行的b端分量同样的组合的结果必须为0。

b满足可解性条件时b才有解。

什么意思呢也就是说，b有解的两個分支1是有无穷多解，则有无关变量x那么无关变量ax=b中a和b均=0，才能满足x无论去什么值，都满足该方程则有无穷多解；2是只有唯一解，那么没有无关变量也就是说ax=b中a和b均不为0，则无需满足上述条件

如何描述Ax=b中的解？若原方程组有唯一解那么很好描述，只需要用一個向量描述即可；难的是描述无穷多个解显然特解的求解较为容易，只需要赋值无关变量即可

可以推测出，Ax=b的解可以写成x2赋值为0的Ax1=b的解 和 Ax=0的通解的组合

（将x2和x3进行列变换换位）

则有 零空间的解原本为 经过调换x2和x3后得

  1. 当 时有（1） （2）对任意b，Ax=b都有解且解唯一。
  2. 当 时囿（1） （2）对于任意 Ax=b有解，且解唯一
  3. 当 时，有（1） ,其中 为 的混合（2）对任意b皆有无限解。
  4. 当 时有（1） D为I和F的混合，0的列数根据D决定（2）对于任意 Ax=b有解，且为无限解

矩阵的秩决定了方程组解的数目（不是等于而是决定）：

r决定自由列，自由列决定零空间零空间决萣解的个数。

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