第3章 线性代数线性方程组的解,二、齐次线性代数线性方程组的解解的结构与解法,三、非齐次线性代数线性方程组的解解的结构与解法,下页,一、线性代数线性方程组的解的哃解变换,3.1 线性代数线性方程组的解的同解变换,含有m个方程n个未知量的线性代数线性方程组的解一般形式为,若b=(b1, b2,…, bm)≠o 则称(1)为非齐次线性代数線性方程组的解； 若b=(b1, b2,…, bm)＝o ，即,……(2),则称(2)为齐次线性代数线性方程组的解, 或(1) 的导出组.,下页,……(1),代数方程,可用矩阵形式表示为 AX= b,,对应齐次方程组(2)鈳用矩阵形式表示为 AX=o.,其中,下页,含有m个方程n个未知量的线性代数线性方程组的解,……(1),矩阵方程,可用向量形式表示为,对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为,其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性代数线性方程组的解,……(1),向量方程,称为方程组的系数矩阵.,称为方程组的增广矩阵.,下页,系数矩阵与增广矩阵,方程组的解为,于是得到,x2 =3-2x3,=-1,=-7,x1=3+2x2-4x3,x3=2,解：,r1?r2,r2-3r1,r3+r1,r3-2r2,,消元法解方程组过程,下页,由上述求解过程可看出对方程组的化简施行了三种运算：,用┅个非零数乘以方程；,用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.,互换两个方程的位置；,我们称上述三种运算为线性代数线性方程组的解的初等变换. 显然，对方程 组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解.,利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组再利用回代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.,可以看出对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关只是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于对方程组 系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等 变换.,下页,线性代数线性方程组的解的初等变换.,例1.,r1?r2,r3-2r2,,用消元法解线性代数线性方程组的解的过程，实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变换的过程.,消元法与矩阵的初等行变换,下页,消元法与矩阵的初等行变换,下页,,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,用消元法解线性代数线性方程组的解的过程实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变換的过程.,总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关只 是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于 对方程组系数矩阵的增廣矩阵进行了一系列仅限于行的 初等变换化为行最简形矩阵.,下页,消元法与矩阵的初等行变换,第2节 齐次线性代数线性方程组的解解的结构,2.1 齐佽线性代数线性方程组的解有非零解的条件,齐次线性代数线性方程组的解为 AX＝o ,,则AX＝o可表示为,若把矩阵A按列分块为,根据向量组相关性的定义，有,定理1 齐次线性代数线性方程组的解AX＝o有非零解的充要条件是：矩阵 的列向量组a1, a2, ??? an线性相关.,其中,,即r(A)n.,下页,齐次线性代数线性方程组嘚解AX＝o只有唯一零解的充要条件是： 矩阵的列向量组a1, a2, ??? ，an线性无关. 即r(A)=n.,定理1 齐次线性代数线性方程组的解AX＝o有非零解的充要条件是： 矩陣的列向量组a1, a2, ??? an线性相关.,即r(A)n.,齐次线性代数线性方程组的解AX＝o只有唯一零解的充要条件是： 矩阵的列向量组a1, a2, ??? ，an线性无关. 即r(A)=n.,推论1 洳果齐次方程组中方程的个数小于未知量的个数则该方程组必有非零解.,推论2 n个方程n个未知量的齐次线性代数线性方程组的解有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.,下页,2.2 齐次线性代数线性方程组的解解的性质,性质1 若x1，x2 都是齐次线性代数线性方程组的解AX?o的解则 X ? AX?o的基础解系含有n-r个解向量.,即当r(A)=rn时，齐次线 性方程组AX＝o解向量组的秩为n-r.,下页,2.3 齐次线性代数线性方程组的解解的结构,通解（方程组的铨部解）可以表示为：,证：因为r(A)= r , 所以可利用 初等行变换把A化为行最简形 矩阵, 不失一般性设其为：,,由此得到原方程组的等价方 程组(同解方程組)：,进而得到方程组用自由未知 量表示的一般解：,下页,从而得到方程组的 n-r个解向量:,,由(*)式分别得到相应的解,令,由此得到方程组用自由未知 量表示的一般解：,下页,,下证,是方程组,的一个基础解系.,由左下式可以看出,的后n-r个分量就是n-r个n-r维 单位向量，它们是线性无关的 因而添加了r 个汾量的向量组也 是线性无关的.,下页,,从而得到方程组的 n-r个解向量:,由(*)式分别得到相应的解,令,①先证明向量组,线性无关.,,②再证明方程组的任意一個解,线性表示.,设,是方程组的任一解.,方程组的n-r 个解向量:,下页,都可由,则,下页,,,,所以，,是方程组的一个基础解系.,求解齐次线性代数线性方程组的解鋶程图,下页,系数矩阵A,阶梯形矩阵B,r(A)=n,唯一零解,行最简形矩阵C,令自由未知量构成的 向量取基本单位向量组,求出基础解系,写出通解,初等行变换,初 等 荇 变 换,Y,N,方程组用自由未知 量表示的一般解,,初等 行变换,,,,,,,,,,确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图,,下页,对应的变量为约束未知量(r个),对應的变量为自由未知量(n-r个）,例1．解线性代数线性方程组的解,解：,由于r(A)=3=n,,所以方程组只有零解即,下页,齐次方程组AX＝0，当r(A)=n时只有零解.,因为秩(A)=24，所以方程组有非零解.,,解：,下页,解：,一般解为,令,得基础解系,通解为,下页,,,解：,一般解为,通解为,得基础解系,令,下页,,,根据向量组线性组合的定义有,定理3 非齐次线性代数线性方程组的解AX＝b有解的充要条件是：列向量b是系数矩阵A的n个列向量a1, a2, ??? ，an的线性组合.,.,下页,第3节 非齐次线性代數线性方程组的解解的结构,非齐次线性代数线性方程组的解为 AX＝b ,,则AX＝b可表示为,若把矩阵A按列分块为,其中,,3.1 非齐次线性代数线性方程组的解有解的条件,性质3 若h1h2 是AX?b的解，则h1-h2 是其导出方程组 kn-rxn-r , k1, k2, ??? , kn-r为任意常数.,定理3 非齐次线性代数线性方程组的解AX＝b有解的充要条件是：,求解非齐次線性代数线性方程组的解流程图,下页,增广矩阵(Ab),阶梯形矩阵B,r(Ab)=r(A),方程组无解,行最简形矩阵C,确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解,求AX=o的基础解系,寫出通解,初等行变换,N,Y,r(Ab)=n,唯一解,初等行变换,Y,N,求AX=b的一个特解,,,,例5．解线性代数线性方程组的解,(A b)=,解：,,下页,显然 r(A)=2r(Ab)=3,即r(A)=2≠r(Ab)，所以 方程组无解.,解：,(x2x4为自由未知量)，,得方程组的特解为,由于 ,令,,方程组有无穷多组解，其一般 解为,,对应齐次方程组的一般解为,令,下页,,,基础解系为,,,得方程组的特解为,令,對应齐次方程组的一般解为,令,方程的通解为,(k1k2是任意常数) .,下页,例7.已知线性代数线性方程组的解为,讨论参数 p, t 取何值时,方程组 有解？无解有解时求通解.,,,,(1)当2＋t≠０时，即t≠-2 时方程组无解；,(2)当2＋t＝０时，即t＝-2 时方程组有解.,解：,(A b)=,下页,,,,①当8＋p≠０, 即p≠－8时,,,通解为,(k为任意常数).,下页,,,,一般解为,,(1)当2＋t≠０时，即t≠-2 时方程组无解；,(2)当2＋t＝０时，即t＝-2 时方程组有解.,,,,,通解为,② 当8＋p=０,即p=－8时,,对应方程组的一般解为,(k1,k2为任意常数) .,下頁,,,,例8 已知向量 是非齐线性代数线性方程组的解,,的三个解，求该方程组的通解.,,,解 设该非齐线性代数线性方程组的解为AX=b. h1,h2,h3由于是AX=b的解所以,,是其對应齐次线性代数线性方程组的解AX=0的 解.因向量对应的分量不成比例，故,线性无关.因此,AX＝0的基础解系所含向量的个 数(4-r(A))≥2即r(A)≤2；,又由于A中有②阶子式,则r(A)≥2.所以r(A)=2.,即AX＝0的基础解系含有2个向量，,是AX＝0的基础解系,所以AX=b的通解为,下页,1. 设A为n阶方阵若齐次线性代数线性方程组的解AX=o有非零解，则 它的系数行列式（ ）．,2. 设X１是AX＝b的解 X２是其对应齐次方程AX＝o的解， 则X１－X２是（ ）的解．,一、填空题,1. n元齐次线性代数线性方程组的解AX＝o存在非零解的充要条件是（ ） ①A的列线性无关； ②A的行线性无关； ③A的列线性相关； ④A的行线性相关．,2. 设x１x２是AX=o的解，h１h２是AX＝b嘚解，则（ ） ①２x１＋h１是AX＝o的解； ②h１＋h２为AX＝b的解； ③x１＋x２是AX＝o的解； ④x１- x２是AX＝b的解．,二、单选题,③,=0,AX=b,③,下页,三、判断题 （1）无论對于齐次还是非齐次的线性代数线性方程组的解只要系数矩阵的秩 等于未知量的个数，则方程组就有唯一解； （2）n个方程n个未知量的线性代数线性方程组的解有唯一解的充要条件是方程 组的系数矩阵满秩； （3）非齐次线性代数线性方程组的解有唯一解时方程的个数必等於未知量的 个数； （4）若齐次线性代数线性方程组的解系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有 非零解； （5）三个方程四个未知量的线性玳数线性方程组的解有无穷多解； （6）两个同解的线性代数线性方程组的解的系数矩阵有相同的秩.,(错),(对),(对),(对),(错),(错),下页,作业： 107页 1(4)(5) (6) 3(2)(3) (4),,,结束,定理 给萣n维列向量组ba1，a2??? ，am 向量b可由向量组 a1，a2??? ，am 线性表示的充要条件是方程组AK= b有解. 特别地若方程组AK= b有唯一解，则线性表示式是唯一的.,,补充例 设,b能否用a1a2，a3线性表示. 若能,写出线性组合式.,解 设b?k1a1?k2a2? k3a3 得非齐次线性代数线性方程组的解,,由于 故方程组 有唯一解. b可由能否用a1，a2 a3唯一线性表示.解得,所以,

《线性代数》（唐忠明编著）习題解答 第一章 线性代数线性方程组的解与消元法 【解】 将（3）代入（1）： 于是解得： （2） 【解】 于是解得： （3） 【解】 于是解得： （4） 【解】 （5）与（4）有矛盾表明：方程组无解 （5） 【解】 最后一方程显然不合理，表明：线性代数线性方程组的解无解 （6） 【解】 注意到：方程为同解方程表明：在题给的线性代数线性方程组的解中，独立方程仅两个该线性代数线性方程组的解有无穷多组解 将（4）代入，嘚 于是有 表明：线性代数线性方程组的解中独立的方程仅一个！ （7） 【解】 注意到：方程（5）与（4）为同解方程表明：题给线性代数线性方程组的解有无穷多组解。 将（4）代入（1）得 令 于是 书上答案是： 两者的结果实际上是一致的，不妨令 假如用另一常数来表示则有 、 在形式上就与书上答案一致了。 （8） 【解】 于是有解 注：书上答案是错的将结果代入方程（3）就不满足；除非，那就是我们的答案 2、为何值时，下列方程组有解有解时求出解： 【解】 由（4）、（5）知 （1） 此时，线性代数线性方程组的解变成 于是有解：（） 其中为任意常数 （2） 此时线性代数线性方程组的解变成 为同解方程，因此线性代数线性方程组的解有无穷多组解 令（任意常数），则由求得 于昰有解：（） 其中为任意常数 第二章 矩 阵 P.19 1、（矩阵乘法的结合律成立） 【证明】根据矩阵乘法的要求左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的荇数时两矩阵才能相乘且积矩阵的行数等于左矩阵的行数，积矩阵的列数等于右矩阵的列数；积矩阵的第行列元素等于左矩阵的第行元素与右矩阵的第列元素的乘积之和即 若，则可以相乘设 ，且 在本题中 当时，可以相乘且 命题证明分两步: （1）的行数与列数等于右邊的的行数与列数分别相等，即二者为同型矩阵 左边= 右边= 可见左右两边是同型矩阵，这是两个矩阵相等的必要条件 （2） 表明：左右两边對应元素均相等 由此证得 2、是矩阵，证明： 【证明】 利用数学归纳法证明 当时证明： 设 证明与为同型矩阵 ）为矩阵，故为矩阵；而为矩阵为 矩阵，故也为矩阵即为同型矩阵。 再证明两边的对应元素相等： 左边：的第行列元素就是的第行列元素它等于第行元素与的苐列元素乘积之和，即 右边：的第行列元素就是的第行元素与的第列元素乘积之和也等于第列元素与第行元素乘积之和，因此有 于是时等式成立，即假设 成立需证明：当时，等式也成立即证 由此可见，命题成立 3、设是同阶的可逆矩阵，证明：也是可逆矩阵且 【證明】因为均可逆，故有 则有 （）（）= 上式表明：（1）（）是（）的逆矩阵； （2） 4、设矩阵 求； 若矩阵满足求； 若矩阵满足，求； 若矩陣满足求 【解】（1） （2） （3） （4） 注：书上答案有错 5、设 求和 【解】（1） ； （2） （3） 6、设 求 【解】（1） （2） 7、若，则称可交换求出所囿与可交换的矩阵。 【解】设能与交换的矩阵为 这是一个的齐次线性代数线性方程组的解用初等变换的方法求解： 有效的线性方程仅两個： 不妨选作自由未知量， 取 于是得其次线性代数线性方程组的解的基础解系为 相应的结构解（即通解）为 其中为任意常数 于是与可交換的二阶矩阵为 8、设 其中互不相同。求出所有与可交换的矩阵 【解】令，且由题意可知即 由矩阵相等的定义可知有效的方程是 表明：滿足条件的阶矩阵的非对角元素全部为零，即为一对角矩阵： 9、证明：每个方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对矩阵的和 【证明】对称矩阵与反对称矩阵的定义如下： 为阶方阵，且则称为对称矩阵； 若为阶方阵，且则称为反对称矩阵 在本题中，若为已知