线性代数这道题怎么做？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-29 08:15 标签： 线性代数搜题

线性代数学225002） 　摘　要　本文从线性代数学线性代数 关键词　线性代数 基本概念 基本计算 常见错误 中图分类号 O151.2 G642.0　　　文献标识码　A “在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了．许多概念看书整不明白课本解题步骤线性代数的知识衔接很紧密线性代数[美]的著作《》的书名,但从内容到思想完全无关，只是吸引读者来读完下面的文字. 线性代数课程所讨论的核心问题是线性方程组的求解、矩阵可对角化判定和二次型的化简．针对要解决的问题，自考教材[1]从知识准备的角度首先介绍行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程的基础内容，循着知识发展的轨迹，一可以用它的系数矩阵和增广矩阵来表示．线性方程组的解的存在性和解的结构集中反映在这两个矩阵上，线性方程组有解的充分必要条件是，等价于可以由的列向量组线性表示．矩阵的秩是刻画其行（列）的线性相关性和众多子式的特征的一个最重要的数量指标，是线性代数课程中最深刻的概念之一．能够借助于矩阵的秩和简化行阶梯形矩阵求齐次线性方程组的基础解系，求非齐次线性方程组的通解是课程大纲提出要达到“综合应用”最高要求标准的内容． 矩阵（线性变换）的特征值和特征向量是线性代数中有着广泛应用的一部分内容，也是数值代数讨论的一个主题，其几何背景是平面或空间上的变换在一组基下的矩阵以及在不同基下矩阵的关系．特征值和特征向量的概念、性质和计算是线性代数课程的基本概念和基本计算，也是考核的一个重点．矩阵的相似对角化问题是线性代数的三大问题之一，在向量空间中引进内积概念后，矩阵（特别是实对称矩阵）的正交相似对角化方法是重要且特别实用的方法．这部分内容是本课程综合性最强的一部分内容，容易出现较灵活的考题． 实二次型是定义在实向量空间上的系数是实数的二次齐次函数，化实二次型为标准形并判定其正定性，是线性代数课程的又一有广泛应用背景的课题．从几何上看，平面上有心二次曲线，空间的有心二次曲面的标准方程即为对应二次型的标准形．掌握配方法和正交相似变换法化实二次型为标准形并判定其正定性，是线性代数课程中学习这部分内容的基本要求[1][2]． 知晓课程的重点和难点 要学好线性代数，首先必须注重它的基本概念，掌握基本计算，这是基础．其次，还必须在各个部分知识的内在联系上下工夫，提高分析、综合能力．第三，对定理的条件、结论，概念的理解要清晰，要注意推理论证时逻辑的正确性．具体地： 1.注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算． （1）基本概念——注重对基本概念的理解与把握 线性代数的概念很多，重要的有： 行列式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合（线性表出），线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换等． 学习线性代数的抽象概念，需要我们逐字逐句慢读定义，结合课本及具体例子仔细琢磨，反复体会，弄清定义中的关键词语的作用．如线性相关定义中的“不全为零”，特征向量定义中的“非零向量”，正交矩阵定义的前提是“实数方阵”，正定矩阵定义的前提是“实对称矩阵”等．线性代数的许多概念源自于解析几何，学习时，尽可能借助几何直观来理解抽象概念．如线性相关概念可借助于向量的平行、共面理解．子空间的几何背景是“过原点的平面”，二次型的几何背景是平面二次曲线或空间二次曲面等．我们不仅要准确把握住概念的内涵，还要注意相关概念之间的区别与联系[7]．如，矩阵的等价、相似、合同三个概念都是用来研究矩阵之间的关系的．它们的定义分别是：设都为矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称是等价的，记为．设都为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称是相似的，记为．设都为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称是合同的，记为．关于这三个概念的理解，由定义可见： （a）矩阵的等价关系存在于同型矩阵中．矩阵的相似、合同关系存在于同阶方阵中．特别地，我们常对于对称矩阵研究合同关系． （b）等价的矩阵不一定相似或合同，但相似或合同的矩阵一定等价． （c）相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵不一定相似．反例：由于 即，但它们不合同，因为与对角阵合同的必是对称阵，而不是对称阵．又如： 所以与合同．但它们不相似．这是因为相似的矩阵特征值必相同，而这里的两个矩阵的特征值不同． （d）如果存在正交矩阵，使，则既相似又合同．这是因为对于正交矩阵，有．从而此时由可得，反之亦然． (e) 设是实对称矩阵，若，则．事实上，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使，要实现这一点，关键是二次型的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似，则A与B有相同的特征值，从而它们

线性代数课后****题复****指导.txt举得起放得下叫举重，举得起放不下叫负重。头要有勇气，抬头要有底气。学****要加，骄傲要减，机会要乘，懒惰要除。人生三难题：思，相思，单相思。同济五版《线性代数****题解读（一）
1、利用对角线法则计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角的过程，基本题。
2、3题涉及排列以及行列式的展开准则，不是太重要，了解即可。
4、5、6题是一些计算行列式的练****不同特点的行列式通常有不同的方法，常见的就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分，基本题，要通过这些练****来熟练行列式的运算这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算。
7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练，而且该题的结论很常用，最好掌握。
8、一些难度较高的行列式的计算题，涉及到不少技巧，而这些技巧通常初学者是想不到的，这时候可以看看答案，体会一下答案的做法，对这块内容的要求和不定积分是类似的。
9、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果为0。注意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而根据代数余子式的定义可知，这及题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以根据需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算。此题技巧性较强，但这个构思方法值得掌握。
10、克兰姆法则的应用，归根结底还是计算行列式。
11、12题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情况，基本题，在已经复****完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做。
总的来说，第一章的****题大都非常基本，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。
同济五版《线性代数****题解读（二）
1 、矩阵乘法的基本练****简单题，但计算很容易出错，不可轻视，（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型。
2、直接考察矩阵相关运算，基本题。
3、矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换，还给出了从z到y的变换，要求z到x的变换。既然一个矩阵可以表示一个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。
4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重要的，因为有时能在考场上派上用场，需要熟悉。
6、7题是求矩阵乘方的题目，基本题，但要注意些适当的技巧，比如拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。
8、9是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义出发证明。所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心。
10、11、12都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同，10题是直接提出要求，11题是以矩阵方程的形式来暗示求逆，12题则从线性方程组的角度来暗示求逆。求逆是错误率很高的一类题目，所以需要重点练****
13、和3题类似，矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换——可以用一个矩阵表示，反过来求x到y的变换，求逆阵即可。此题的另外一个暗示：要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到一个马上反应到另一个。
14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。
15、16解简单的矩阵方程，注意先对已知等式做一些适当的变形，基本题。
14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可，注意从题目中体会思路。
16、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。
17、18稍微复杂一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵，但也不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考研中的填空题。
19、20是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方）运算，在复****完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的，只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。
21、22证明矩阵可逆，从可逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵及已知矩阵的乘积为单位阵，那么已知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目中体会这种常用的思路。
23、24题本身的证明

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