三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等 如何证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-29 08:15 标签： 一内一外角平分线夹角

某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝

（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．

【推荐1】如图，，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交 CD于点N，AK平分∠BAG，交CD于K，交EF于点H，交BE于点M．
(2)若，求∠GNE的度数．
(3)在（2）的条件下，将△KHE 绕着点E以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

【推荐2】如图，圆内接四边形ABDC中，AB＝AC＝4，AD＝5，E为的中点，AE交CD于点F，M为AD上一点，且AM＝4．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．

下列命题中假命题的是（　　）
A．三角形三条中线的交点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
B．平行于梯形一底并和两腰相交的直线，分两腰所成的线段对应成比例
C．一个点到圆心的距离不小于这个圆的半径，这个点在圆内
D．两圆半径分别为4和9，当两圆外切时它们的外公切线长为12

据专家权威分析，试题“下列命题中假命题的是（）A．三角形三条中线的交点到顶点的距离是它..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心，点与圆的位置关系，圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切），比例的性质，命题，定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心点与圆的位置关系圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）比例的性质命题，定理

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

  • 1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
    内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
    2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
    外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
    3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
    4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
  • 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
    2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
    3.锐角三角形的外心在三角形内；
    钝角三角形的外心在三角形外；
    直角三角形的外心与斜边的中点重合。

    1.锐角三角形的垂心在三角形内；
    直角三角形的垂心在直角顶点上；
    钝角三角形的垂心在三角形外。
    2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
    者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
    3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
    4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
    5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
    6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
    8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
    10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
    11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
    12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
    14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
    15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

    1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
    2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
    3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
    4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
    5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
    6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

    1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
    2、每个三角形都有三个旁心。
    3、旁心到三边的距离相等。
    三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

考点名称：点与圆的位置关系

考点名称：圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）

  • 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
    如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
    如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

    圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

  • 圆和圆位置关系的性质与判定：
    设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
    两圆外离d>R+r（没有交点）

定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。

角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC。

应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。

三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。

三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。

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