函数极值问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-03 03:53 标签： 函数的最值和极值的关系

摘 要：文章从二元函数极值的定义出发，用几个例子说明如何用定义解决一些难题。并将思政元素渗透到极值定义中，对学生处于低谷时的心理进行疏导，提升学生的抗压能力。

关键词：二元函数;二元函数极值定义;驻点;思政

中图分类号：O172.1文献标识码：A

在一元函数极值的基础上，我们引入二元函数的极值问题，首先给出定义。

定义1[1] 设函数z=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）为D的内点。若存在P0的某个领域U（P0）D，使得对于该邻域内异于P0的任何点（x，y），都有f（x，y）f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点（x0，y0）有极小值f（x0，y0），点（x0，y0）称为f（x，y）的极小值点;极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。

人生何尝不像一张曲面，极大值在高峰处取得，极小值在低谷处取得。人生总会有起有落，没有一帆风顺的人生。有的学生可能已经选择好了即将要完成的目标，而在完成目标的过程中，有心酸、有困难，此时不要轻言放弃，低谷是为了更好地迎接胜利。也许此时的你非常的无助，但是这样的事情在人生漫漫旅途中，只能算是小小的涟漪。所以，勇敢面对，不忘初心，砥砺前行吧。

而在处理二元函数极值问题的时候，也会遇到类似这样的问题。往往用判定驻点是否为极值点的判别方法时非常的简单，但是，如果遇到可能的极值点是驻点，但是AC-B2=0，或者，该点根本不是驻点，我们会觉得非常的难，感觉到了解决二元函数极值问题的低谷。此时不要放弃，可以尝试从定义出发。

下面从几个例子来说明，怎样从定义出发，解决二元函数的极值问题。

2 二元函数无条件极值特例

解：因为fx（x，y）=x x2+y2，fy（x，y）=y x2+y2，函数f（x，y）在R2上除（0，0）点外均可偏导，且无驻点，故可能的极值点仅为（0，0）点。又（0，0）点为不可偏导的点，此时从定义出发进行判别。简单易见地是，

（x，y）∈R2＼（0，0），f（x，y）= x2+y2>0=f（0，0），所以（0，0）点为函数的极小值点，且极小值为f（0，0）=0。

例1给出了对于不可偏导点处，如何判断其是否为极值点的方法。从定义出发，借助几何直观、数学表达式大小关系等方法确定该点是否为极值点。

例2 已知函数f（x，y）在点（0，0）的邻域内连续，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1。其中a为非零常数，则（0，0）是否取得极值点，如果取得，是否跟a的取值有关。

又 ∵f（x，y）在点（0，0）连续，

故，当x充分小的时候，f（x，y）在（0，0）点附近的值有正有负，而f（0，0）=0，故（0，0）不是函数的极值点，且其未取到极值与非零常数a无关。

例2题干中只给出了函数在（0，0）点处连续的条件，故不能用从驻点处取得极值的判别方法进行判断。本题找出了函数在（0，0）点的某个邻域内，既有f（x，y）>f（0，0），又有f（x，y）

求得驻点为（-4，2）、（0，0）。

在点（0，0）处，AC-B2=6·24-（-12）2=0，无法判别（0，0）是否为极值点。

下面我们从定义出发，判别O（0，0）点是否为函数f（x，y）的极值点。

对于O（0，0）点的邻域U°（O，ε）（ε1ε时，（1n，0）∈U°（O，ε），f1n，0=3n2+1n3>0，从而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）>0。

因此，（0，0）不是函数f（x，y）的极值点。

所以，函数f（x，y）仅在（-4，2）处有极大值，且极大值为f-4，2=64。

例3不仅介绍了如何判断驻点是否为极值点的解决方法，还给出了当出现AC-B2=0时，如何从定义出发，给出解题方法。

所以，（0，0）点是函数f（x，y）的驻点。

因为驻点是可能的极值点，所以下面判断（0，0）点是否为函数的极值点。由于f（x，y）在（0，0）点二阶偏导数未必存在，因此我们从定义出发，研究其极值问题。

（2）因为lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，所以根据极限的定义，对于A2>0，δ>0，对于（x，y）∈U°（O，δ），有α（x，y）

由（1）、（2）知，f（x，y）-f（0，0）

从而，（0，0）是函数f（x，y）的极值点，且为极大值点。

例4 对于驻点处二阶偏导未必存在的情况，从定义出发，给出证明。

本文主要从二元函数极值的定义出发，用四个不同类型的例子说明，如何运用极值的定义来解决问题，并且根据极值的定义引入了思想政治元素，既能使学生联系实际，理解极值的定义，又能从思想上对学生进行心理疏导。现在的大学生抗挫折能力较差，遇到困难，往往容易放弃，其实雨后才有彩虹。相信在高等数学的教学过程中，融入思想政治元素，会使我们的学生抗压能力更强，变得越来越优秀。

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第五版下册.北京：高等数学出版社，2016：52.

[2]第十四届江苏省高等数学竞赛本科组试题.

[3]黄正刚.解二元函数无条件极值的一个有效方法[J].大学数学，2017，33（2）：114117.

[4]韩淑霞，黄永忠，吴洁.一类二元函数极值的判别.高等数学研究，2018，2（21） ：5355.

基金项目：江苏省2020年度高校哲学社会科学研究一般项目“新时代背景下思想政治教育融入高等数学课堂的探索与实践”（编号：2020SJA2217）

作者简介：肖小燕（1979— ），女，汉族，江苏如皋人，硕士研究生，講师，研究方向：多元统计。

根据目标函数（当然是已知的了，如果是未知的下面很多算法都无法用）形式可分为凸函数规划和线性规划：

降法，牛顿法，高斯牛顿法，LM算法等，这些算法都只是确定一个新的迭代方向时候不同罢了，停止迭代条件为梯度足够小即函数值变化足够小，但是梯度足够小会不会遇到了鞍点呢，或者遇到了局部极小值点呢（可以加入一些其他算法如退火算法来一起迭代解决这些问题），所以这些算法针对的目标函数是凸函数优化，一些奇奇怪怪的函数可能求不出正确极值。

 注：因为目标函数表达式可能很复杂（比如机器学习中的一些目标函数），偏导数不存在的点也可能是极值点，而且求二阶导和联立解出驻点都可能会很复杂（需要非常高的求解运算代价甚至无解），所以计算机就不能按照理论手算方法，得用迭代搜索的方式，虽然迭代步骤可能很多，但是具有可实现性，计算机每秒迭代速度非常快，所以这并不是问题

 计算机求解：也是一样

求解算法：理论手算：分别算出在边界上时候的极值（拉格朗日数乘法）和区域内部极值（按照无条件极值方式算出），然后进行两个极值比较即可，一般而言，优化问题的极值都在边界上取得

 计算机求解数值算法：内点法，外点法（参考工程优化）。都是在边界上筑一堵墙的方式来改写目标函数为无条件极值求解方式，然后用上面介绍的梯度下降等算法一步步迭代即可

二、线性函数（比如：cTX ,c，X为列向量,T为转置）

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