用二重积分计算闭区域面积？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-09 01:17 标签： 二重积分划分区域技巧

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证 (1) 由于被积函数f(x,y)?1，故由二重积分定义得

??0i?1n??0 (2) 因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。这样f(x,y)在D1?D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和，记为

D1D2令所有??i的直径的最大值??0，上式两端同时取极限，即得

D1D23.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

DD4. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：

解 由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1、顶为曲面z?(x2?y2)3的曲顶柱体?1的

体积；I2表示底为D2、顶为曲面z?(x2?y2)3的曲顶柱体?2的体积．由于位于D1上方的曲面z?(x2?y2)3关于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将?1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为?2．由此可知I1?4I2．

1. 计算下列二重积分：

D为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是：

（1）D是由直线y?2，y?x及y?3x所围成的闭区域．

222（2）由x轴及半圆周x?y?a(y?0)所围成的闭区域；

（3） 由双曲线y?1(x?0)和直线y?3，y?x，所围成的闭区域； x解 （1）画出积分区域D如图9.2-2（4），D可用 不等式表示为

1(x?0)和直线y?3，y?x， x（3） 作出由双曲线y?所围成的闭区域D的图形（如图9.2-3（3））；

3.画出积分区域，并计算下列二重积分：

D2（8）计算??xyd?，其中D是由抛物线y2?x及直线y?x?2所围成的闭区域．

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