材料力学的基本公式是怎么推导出来的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-05 08:57 标签： 学材料力学要弄懂公式推导不

基于三维的一般弹性力学理论，我们来推导材料力学中梁弯曲的方程。在推导的过程中，引入材料力学中的变形假定，我们可以看到材料力学是怎么样从弹性力学一步步退化的。

一般的三维弹性力学问题，假设位移解 都是坐标的函数。 表示水平位移， 表示 方向的位移， 表示 方向的位移，在梁弯曲问题中也就是常说的挠度。考虑梁的弯曲问题，所以

我们从几何变形的角度来分析梁的弯曲，考虑梁上不在中线上的任意一点 ，点 的 坐标可以是任意的。在弯曲后变为点 。

由于是小变形，所以转角

点 到中性面的距离为 ，发生变形后，由于纵向纤维不挤压的假设， 的长度保持不变，在小变形假设下，我们得到 点的水平位移为

这就是梁弯曲的水平位移表达式。

梁弯曲的位移表示为 ， ,

材料力学梁的弯曲理论，假设 , , , 与 , 很小引起的应变可以忽略不计。

要注意的是， ，如果按胡克定律计算得到 。但是 是有值的，这是由于计算假定带来的误差，这个本构方程不能精确满足。

在梁的弯曲中， 是主要的应力，称为弯曲应力， 是次要的剪应力， 是挤压应力，是更小的量。

表示梁的抗弯截面系数。

这样我们就从弹性力学的角度得到了与材料力学相同的梁弯曲的内力 表达式。但是可能与有的材料力学书上推导的公式差了个负号，原因可能有

  1. 定义的 坐标方向不一样，本文是向下，有的材料力学书是向上。
  2. 的定义方向不同。不同的材料力学书定义弯矩顺时针为正还是逆时针为正不一样。

不管怎么样，我们用弹性力学定义的方向来求解都不会有错，这样得到的方程和材料力学是一致的，这说明了弹性力学与材料力学的深刻联系。

我们还可以从计算梁弯曲的应变能来体会这一点。

在考虑计算梁弯曲的应变能

在梁的弯曲中，只有 与 是成对存在的，所以

这就是从弹性力学的角度结合材料力学的基本假设得到梁弯曲的应变能，和在材料力学里面计算得到相同表达式。

上文基于弹性力学理论来分析材料力学，这是力学逻辑的严密性，也是力学之美。这种对比学习可以加深我们对力学的理解。并且这种分析方法对于分析板壳结构是非常有用的，板壳力学基于弹性力学，引入了一些计算假定，它的分析和这里讲的非常类似，但是几忽没有老师愿意来分析梁，但是这种分析是有意义的。

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材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。材料力学与理论力学、结构力学并称三大力学，是土木工程专业学生的必修课之一。但是，学好材料力学，才能在之后的混凝土，钢结构中杀出一番天地，才能在土木的大海中平稳前行。

本篇推送将分享几位学霸在学习《材料力学A1》的心得体会：

土木2018-09班 刘肖汇 牢固基础，把握核心知识点

材料力学在研究每个变形开始都会提到各种假设，这些假设一定要记清楚，往往在选择题里经常出现，也帮助你更好理解之后的内容。

其次就是各种概念公式要滚瓜烂熟，什么是应力应变，什么是强度刚度，不同变形求它们的公式又是什么等等；同样，内力图也非常重要，几乎每年都考。这些都是基础的内容，熟练掌握了这些对解题起到事半功倍的作用（本学期学的最后一章，利用叠加法求转角和挠度就是最典型的例子）。

基础内容的掌握方法就是做好老师平时布置的习题多看书，多理解，实在不行就跟着书本推一遍公式。学习系统（中国出了个郝老师）上的每一道题都要自己独立完成，巩固已学要点。

掌握基础之后，要学会把知识点混搭、交叉运用，熟练运用这就需要不断地做题、思考、总结来提升自己。考前几周，把往历年期末试卷打印出来，每隔一到两天做一套，虽然有的没答案，但是可以做完之后找同学或者助教老师对一下，不会的问老师。这样往复的练习，大概的考试题型，不会的知识点，几乎都能掌握好，做题速度也有明显的提高。

土木2018-10班 苏圣鹏 记准规律，总结复习思路

材料力学的试卷大题占比非常高，所以对于材力的复习需要从它的大题入手，材力大题的题型是单一的，套路都是不变的。在材料力学的学习当中，我们除了记住公式之外，还需要记住一些规律。

对于材力的复习，老师的PPT、书上的例题、网上作业、课后习题等都可以作为材力复习的资料。个人觉得，书上例题是最基本的，它包括所有的题型和解题方法；其次是网上作业，它可能更贴近老师出题的方向。总之，公式多熟悉，习题多练习。

总结我的复习方法就是：先看书，熟悉公式推导作用及意义、之后看老师PPT，看老师侧重的方向、再看书上例题，记住基本题型及解题方法、最后做网上作业，对于不熟悉的知识点需反复练习。

土木2017-11班 徐毅 熟悉重点，构建整体框架

整体思维是任何学科学习必不可少的思维模式，熟悉内容、构建知识体系对材料力学的学习也至关重要。徐同学为大家总结了《材料力学A1》中各章的重点内容：

第一章：绪论及基本概念

明确材料力学的主要任务、材料力学主要研究对象及基本概念

第二章：轴向拉伸和压缩

1.熟练掌握轴力图的绘制（采用截面法：受拉为正，受压为负）

2.深入理解不同材料杆件（主要低碳钢和铸铁）的轴向拉伸和压缩的应力应变曲线

3.熟练掌握轴向受力构件的强度计算以及强度验算条件

1.熟练掌握扭矩图的绘制（采用截面法：使用右手定则，除拇指外的其他四指的绕行方向与扭矩的绕行方向一致，拇指指向截面外为正，反之为负）

2.熟练掌握等直圆杆扭转时的应力计算和变形计算以及验算其相应的强度和刚度验算条件

1.熟练掌握梁的剪力图的绘制（采用截面法：剪力的绕行方向为顺时针时为正，反之为负）以及弯矩图的绘制（使杆件下侧受拉为正，反之为负）

2.熟练掌握梁横截面上的正应力和切应力的计算以及相应的强度验算条件

第五章：梁弯曲时的位移

1.熟记书本后附录中的简单荷载作用下梁的挠度和转角，掌握按叠加原理计算梁的挠度和转角的方法

来源：土木犀浦学生党总支

第一章 绪论 第一节 材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。 第二节 材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。 第三节 内力 1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。 2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。 4、内力的分类：轴力；剪力；扭矩；弯矩 第四节 应力 1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。 全应力；正应力σ；切应力τ； 2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m2，1MPa=1×106 Pa，1GPa=1×109 Pa） 第五节 变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变：。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。 6、切应变：。切应变为无量纲量，切应变单位为rad。 第六节 杆件变形的基本形式 1、材料力学的研究对象：等截面直杆。 2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切 第一节 轴向拉伸（压缩）的特点 1、受力特点：外力合力的作用线与杆件轴线重合。 2、变形特点：沿杆件的轴线伸长和缩短。 第二节 拉压杆的内力和应力 1、内力：拉压时杆横截面上的为轴力 。 2、轴力正负号规定：拉为正、压为负。 3、轴力图三个要求：上下对齐，标出大小，标出正负。 4、横截面上应力：应力在横截面上均匀分布 第三节 材料拉伸和压缩时的力学性能 1、低碳钢拉伸时的应力–应变曲线：（见图） 2、低碳钢拉伸时经过的四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段。 3、胡克定律：应力小于比例极限时，应力与应变成正比，材料服从胡克定律：，E为（杨氏）弹性模量，是材料常数，单位与应力相同。钢的弹性模量E=210GPa。 4、低碳钢拉伸时四个强度指标：弹性极限；比例极限；屈服极限；强度极限。 5、低碳钢拉伸时两个塑性指标：伸长率：；断面收缩率 6、材料分类：( ＜5％为脆性材料，(≥ 5％为塑性材料。 7、卸载定律和冷作硬化：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高，但塑性变形和延伸率有所降低。 8、名义屈服极限：对于没有明显屈服阶段的材料，工程上常以卸载后产生残余应变为0.2%的应力作为屈服强度，称为名义屈服极限 9、材料压缩时的力学性能：塑性材料的拉压性能相同。脆性材料在压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限，脆性材料抗拉性能差，抗压性能好。（如图） 第四节 失效、许用应力与强度条件 1、失效：塑性材料制成的构件出现塑性变形，脆性材料制成的构件出现断裂。 2、n为安全因数， 为极限应力 3、（或）；脆性材料取强度极限（或）。 4、拉压时强度条件： 5、强度计算：根据强度条件，可进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等强度计算。在工程中，如果工作应力σ略大于[σ]，其超出部分小于[σ]的5%，一般还是允许的。 第五节 杆件轴向拉压时的变形 1、轴向变形： ，为拉压刚度。公式只适用于应力小于比例极限（线弹性范围）。 2、横向变形： ，μ称为泊松比，材料常数，对于各向同性材料，。 3、计算变形的叠加原理： 分段叠加：①分段求轴力②分段求变形③求代数和 。 分载荷叠加：几组载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生效果的总和。 4、叠加原理适用范围：①材料线弹性（应力与应变成线性关系）②小变形。 5、用切线代替圆弧求节点位移。 第五节 杆件轴向拉压时的应变能 1、应变能：构件在外载荷作用下发生变形，载荷在相应位移上作了功，因变形而储存的能量称为应变能。忽略动能、热能等能量的变化，在数量上等于外力作功。 2、轴向拉压杆

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