二重积分计算问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-17 01:22 标签： 二重积分先积分

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f（x，y）≥ 0。并设积分区域D可以用不等式

来表示[插图1]，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。

为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图2]中阴影部分），所以这截面的面积为

一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

于是，得曲顶柱体的体积为

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作

因此，等式（1）也写成

在上述讨论中，我们假定f（x，y）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。

类似地，如果积分区域D可以用不等式

来表示[插图3]，其中函数ψ1（y）、 ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作

因此，等式（2）也写成

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。

解法1 首先画出积分区域D[插图4]。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得

解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。

例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。

解 设这两个圆柱面的方程分别为

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图5]的体积V1，然后再乘以8就行了。

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为

如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是，

8.2.2 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。

下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域[插图6]。

除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。

公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图7]，二重积分化为二次积分的公式为

特别地，如果积分区域D是[插图8]所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式

0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β

来表示，而公式（5'）成为

如果积分区域D如图[插图9]）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式

0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π

来表示，而公式（5'）成为

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为

在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为

如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有

特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是

例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为

0≤r≤a，0≤θ≤2π。

由公式（4）及（5）有

例4 求球体x2+y2+z2≤4a2圆柱面x2+y2=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图10]。

其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等式

(一)二重积分的计算方法

考研数学大纲指出，要求考生掌握计算二重积分的直角坐标法和极坐标法。老师认为不能忽略首先应用对称性尝试化简要计算的二重积分。

本文不再赘述这3个化简和计算二重积分的计算方法，请详汤老师编著的《考研数学复习大全》的相关内容。下面请随老师看一下2018年数学(三)的一道二重积分真题。

 上述的解法(三)很简洁，如果熟练掌握这种计算二重积分的计算方法，对计算这类二重积分会带来一些方便;当然多掌握一种方法的前提条件是，首先熟练掌握考试大纲要求的基本方法，否则就是舍本逐末之举(因为基本方法也能计算上述真题)。本文讨论了一道二重积分计算题的多种解法，希望能对小伙伴们的2019考研数学复习有些帮助。

每年都要给学生讲二重积分，但有多少学生真正理解了二重积分的概念和计算方式呢？二重积分的定义是下面和式的极限。求极限时，积分区域的分块不是一个简单的程序，当其中的每一块的直径都是无穷小时，意味着每一小块都缩成一点，此时每一小块中任选的一点几乎就是积分区域D中的任一点！即积分区域中每一点对应的函数值都要被计算！大家在计算二重积分时要牢记这一点。

为了保证积分区域中每一点的函数值都被计算，我们必须对积分区域进行“地毯式搜索”。

几何意义（曲顶柱体的体积）：

下面谈谈具体如何“搜索”

一、直角坐标系下的搜索方式

图中红线是穿过区域的动线（与边界交点不超过两个），先找区域内红线上的点（即所有人站成一排先搜索脚下的“点”），之后红线由左至右扫过积分区域（大家手拉手搜遍地毯），如此这般可保证每一点都不被遗漏。

积分次序也是按这个顺序写

换个方向考虑，搜索方法完全一样

二、极坐标下的搜索方式

    了解什么是极坐标是理解以下内容的前提条件。

    极坐标下如何看一个点P？从极点O引出射线到点P,再测量点P到极点O的距离和射线与极轴的夹角，于是就得到极坐标系下点P的坐标。

极坐标系下的积分区域如何分割成小块区域呢？按极坐标的思维就是通过画圆和作射线进行分割。

这种思维特点也决定了极坐标系下的二重积分计算时的两种“搜索”方式。

射线----型：视积分区域夹在两条射线之间

首先在两条射线之间任意画一条射线（下图红线）穿过积分区域（与边界交点不超过两点），搜索区域内红线上的点，然后让红线按逆时针方向旋转扫遍整个区域，不放过任何一个点！

圆弧---型：视积分区域在两个圆弧之间

首先在两个圆弧的半径之间任取一个值作为半径，以极点为圆心画圆，对落在区域内的那一段弧上的点先行搜索，之后将该动态圆弧扫遍积分区域。

实例：交换以下积分次序

本站是提供个人知识管理的网络存储空间，所有内容均由用户发布，不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息，谨防诈骗。如发现有害或侵权内容，请点击。

我要回帖

更多关于 二重积分先积分 的文章

 

随机推荐