偏微分方程求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-17 01:22 标签： 二阶偏微分方程的通解

伴随着非线性科学的发展，非线性物理学也迅速发展起来。在非线性物理学中，常常把复杂的非线性物理系统简化为非线性演化或发展方程来研究，非线性发展方程在物理及其他多领域中的背景、应用和孤立波解的特殊性质使得非线性发展方程的精确解和孤立波解理论成为了非线性科学中的一个前沿和热门课题，因为我们可以通过对这些非线性方程的解的研究来确定物理量之间的定量或定性关系，并可以根据解以及解的图形看出物理量之间关系的直观形象。在非线性偏微分方程的研究中主要有两个问题：一是在寻找方程的精确解，构造多孤子解过程中遇到的复杂计算和推理，二是求解非线性偏微分方程方法的创新和推广。
　　对于问题一，近年来，由于计算机的发展极大地简化了方程的求解过程，因此，从很大程度上推动了非线性偏微分方程的研究。对于问题二，虽然非线性发展方程还没有系统的、统一的解法，但针对一些可积的非线性系统已经一些有效的解法，主要的方法有:反散射方法、达布变换方法、贝克隆变换方法、Tanh函数方法、相似约化、分离变量法、双线性和多线性方法、齐次平衡法、经典和非经典李群法、C K直接法、形变映射法、Painlev6截断展开法、函数展开法、同宿测试方法、双波方法、三波方法、拓展的三波方法等，新的方法还在不断的涌现。
　　本文以几个非线性分数阶偏微分方程为研究对象，借助于计算机代数系统Maple这一有效研究工具，主要研究了分数阶子方程的方法在非线性分数阶偏微分方程精确解中的应用，从而获得了丰富的精确解。本论文共分四章，具体安排如下：第一章绪论部分。分为孤立子的发现和研究概况，近期发展的特点，非线性偏微分方程求解研究状况，以及孤立子理论研究的重要意义。第二章介绍了分数阶子方程的方法求解步骤，然后将其应用于WBK方程与Coupled Burgers方程，得到了方程的精确解，并且这些解中含有任意参数。第三章简单的介绍了分数阶生物种群模型及精确解。第四章结论与展望。

【摘要】本文用偏微分方程理论研究了Black-Scholes方程的求解问题.利用案例验证了所求解的结果.

在金融市场中，经典Black-Scholes微分方程是基于标的资产不支付红利的假设下，标的资产的衍生性商品价格所满足的偏微分方程，即

其中，r表示无风险利率，S为股票的价格（0≤S

方程（1.1）是刻画期权价格变化的偏微分方程，实际应用时，为确定在合约有效期[0，T]内期权的价值，本文在区域0≤t≤T，0≤S

从而得到欧式买入期权价格的B-S公式.

设V（s，t）为股价s在时间t的价格，B-S方程的两个边界条件：

令S=Kex，t=2T-tσ2，V=KC（x，τ），其中K表示选择权到期时标的物品的履约价格.

定解问题（1.2）转化为常系数抛物方程的Cauchy问题：

引理1.1[1]熱传导方程的Cauchy问题有形式解：

本文用偏微分方程理论得到如下定理.

定理2.1偏微分方程（1.4）在t∈（0，t）上有唯一解：

证明做函数变换，令v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t），α，β为待定系数，则

以上三式代入方程（1.4），化为热传导方程的Cauchy问题：

由引理1（N=1），偏微分方程（2.4）的解可用Possion公式表示为

做变换ξ=x-s2τ，以及初值代入式（2.5）得

将式（2.6）代入v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t），则

定理2.1中方程（1.4）的解即为不支付红利股票期权在到期日T执行价格K的欧式看涨期权价格公式.这为金融工作者提供了计算期权价值的理论依据.在具体应用时所需要的参数有：股票价格的波动率、无风险利率、距离到期的时间、行权价格和股票价格.这些参数中，后三个容易获取确定数值，前两个需一定计算得到其估值.

例工商银行（601398.CH）2013年10月8日市价为384元，无风险利率为6%，年波动率为15%，求工商银行行权价位3.6元，期限为半年的欧式认购期权与认沽期权价格.其中期限内不支付红利.

依据定理2.1，得工商银行股票欧式认购期权价格：

工商银行股票欧式认沽期权价格：

上例表明，理论上该期权的合理价格是0.386元，如果该期权市场实际价格低于0.386元，那么意味着该期权被低估，在没有交易成本条件下，购买该看涨期权是有利可图的.通过代入B-S公式能够得到看涨期权价格，B-S模型的优点是模型中的变量除了波动率外，其他都可以直接得到，而且期权价格不依赖于投资者的风险偏好.因此，波动率的取值是关键，取值不同，得出的价格会有比较大的出入.B-S模型是最受欢迎的模型，是很多其他模型的基础.投资者应用的时候只需要考虑5个可观察的变量，但缺点是只能计算欧式期权，而且无法计算分派股息的期权.

[3]闫海峰，刘三阳.广义 Black-Scholes模型期权定价新方法——保险精算方法[J].应用数学和力学，2003（7）：730-738.

[4]任智格，何朗，黄樟灿.一种无风险利率时变条件下的Black-Scholes期权定价模型[J].数学杂志，2015（1）：203-206.

[5]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法：第2版[M].北京：高等教育出版社，2008.

上，用偏微分方程理论求解定解问题：>）表示股票价格的波动率，t表示时间变量（0≤t≤t），t为期权到期时间.>

本课程根据作者十多年为数学专业大学生讲授“数学物理方程”和“偏微分方程”课程的基础上，汲取近年来国内外同类优秀教材的精华制作而成的。课程共分六周，包括：（1）引言与偏微分方程建模；（2）偏微分方程一般概论；（3）求解波动方程的Cauchy问题(D'Alembert公式)；（4）分离变量法；（5）Fourier变换法；（6）能量方法与极值原理。各章内容紧凑、层次分明、一气呵成，并且讲授的内容完全根据课时选择，其余部分可以作为学生自行学习而用。

本课程力求实事求是地刻画偏微分方程这门学科产生的历史源头问题以及在当今世界的实用性，不仅选编了历史上著名的案例，还选编了现实感较强的案例进行分析，让同学们不仅感受到这门课程的理论价值，还希望能让读者感受这门学科的时代感和她所具有的社会的、现实的价值。因此，本课程可作为高等院校本科生“偏微分方程”、“数学物理方程”的在线学习课程，也可作为理工科和经济管理学科本科生、研究生的在线学习课程。

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高等数学、高等代数、解析几何、常微分方程

第1章 引言：从音乐审美到揭秘量子纠缠

1.1 偏微分方程诞生的历史源头问题

1.2 偏微分方程在当今世界的应用

1.3 偏微分方程课程在全国的开课现状与原因

1.4 偏微分方程课程性质、开课目的、内容与前沿研究概述

第2章 典型偏微分方程模型的建立

2.1 分析与场论复习

2.2 弦振动方程的建立

2.3 位势方程的建立

2.4 热传导方程的建立

2.5 一阶偏微分方程的建立

第3章  偏微分方程的基本概念、形成的数学问题与分类

3.1 偏微分方程的基本概念与形成的数学问题

3.2 二阶偏微分方程的分类

第5章 高维波动方程的Cauchy问题

5.1 解的适定性与影响区域

5.2 半无界问题的求解

5.3 高维波动方程的降维法

6.1 用分离变量法求解一阶偏微分方程

6.4 用分离变量法求解波动方程

6.5 用分离变量法求解热传导方程

6.6 分离变量法求解二维边界值问题

7.1 傅里叶变换及性质

7.2 应用傅里叶变换法求解偏微分方程

第8章 能量方法、极值原理与格林函数法

谭忠编著：偏微分方程—现象、建模、理论与应用，高等教育出版社出版，2019年12月.

2．数学物理方程讲义，姜礼尚、吴兰成，高等教育出版社. 

1.不知偏微分方程从何而来？

2.不知偏微分方程为何要来？

3.不知偏微分方程怎样得来？

4.不知偏微分方程是微积分的继续；

5.不知偏微分方程是微积分的提高；

6.不知学了偏微分方程有什么用？

7.不知偏微分方程跟其他学科的关系；

8.不知偏微分方程跟其他行业的关系；

10.不知“万物皆方程”。

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