导数在高中数学中处于一个知识的汇合点,是沟通初等数学和高等数学的桥梁。但由于导数属于较为抽象的内容,学生在学习中有一定的困难。在教学过程中,教师更应当积极引导,帮助学生更好地理解、掌握和运用导数的相关知识。1创设情境,"导出"学习积极性导数是微积分学习的核心部分之一,但作为概念性的知识,其理论性和抽象性强,学生在学习过程中不易理解,因此教师应当积极创设情境,导入新课,以便加强学生对概念的理解。

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导数与极限（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2019全国高三竞赛）函数的最大值是_.2（2019全国高三竞赛）已知等比数列满足，则的取值范围为_.3（2019全国高三竞赛）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在上；（2）存在，使其在、上单调递增，在上单调递减则以下函数是好函数的有_，4（2019全国高三竞赛）函数在区间0，3上的最小值为_.5（2019全国高三竞赛）关于的不等式的解集为_.6（2019山东高三竞赛）设函数，那么f(x)的最大值是_

2、三竞赛）满足的整数n=_8（2019全国高三竞赛）设函数的图像关于直线对称.则对满足的任意实数，的最小值为_9（2019全国高三竞赛）设则当与两个函数图像相切时，_10（2019全国高三竞赛）已知过点的直线与曲线交于两不同的点、.则曲线在、处切线交点的轨迹为_.11（2019全国高三竞赛）若函数 的图像上存在互相垂直的切线，则实数 是_.12（2019全国高三竞赛）在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是_.13（2019全国高三竞赛）已知数列满足，且. 则_.14（2019全国高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退进行第二次射击，一直进行下去

3、.每次射击前都后退，直到命中为止，已知他第一次的命中率为，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_.15（2019全国高三竞赛）已知数列满足，记，其中，表示不超过实数的最大整数.则_.16（2019全国高三竞赛）设则_.17（2019全国高三竞赛）联结正多面体各个面的中心，得到一个新的正多面体，我们称这个新正多面体为原多面体的正子体一正方体的表面积为，它的正子体为，表面积为，的正子体为，表面积为，如此下去，记第个正子体的表面积为则_18（2019全国高三竞赛）四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列.则的所有根中最大根与最小根之差是_.19（2021全国高三竞赛）若数列是首项不为

4、零的等差数列，则_.20（2021全国高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，则为_.21（2021浙江高三竞赛）若，则_.22（2019四川高三竞赛）已知a为实数，且对任意k1，1当x(0，6时，6lnx+x28x+akx恒成立，则a的最大值是_ .二、解答题23（2019全国高三竞赛）已知函数.（1）求的极大值；（2）求的最大值.24（2019广西高三竞赛）已知函数.（1）设a1，讨论f(x)在区间(0，1)上的单调性；（2）设a0，求f(x)的极值.25（2021全国高三竞赛）求c的最大值，使得对任意的正实数x、y、z，均有，其中“”表示轮换对称求和26（2019全国高三竞赛）在锐角AB

5、C中，证明:.27（2019全国高三竞赛）求所有的正实数k，使得对于任意正实数a、b、c，均有.28（2019全国高三竞赛）已知函数，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.29（2019全国高三竞赛）已知,.求最大的正整数,使得对任意的正数,存在实数满足,且.30（2019全国高三竞赛）已知，对任意实数成立求的解析式31（2019全国高三竞赛）已知各项均不小于1的数列满足：，试求：（1）数列的通项公式；（2）的值.32（2019全国高三竞赛）已知，方程在上有唯一解.求的值.33（2019全国高三竞赛）设，对，有.求常数，使对一切正整数有，而对任何，都存在正整数

6、，使.34（2019全国高三竞赛）给定正整数，（即等于进制表示为的数）.试求的值.35（2019全国高三竞赛）求最小的实数，使得对每个满足条件的二次三项式，适合不等式36（2019全国高三竞赛）已知，其中，常数求所有的实数，使对任意、，恒有37（2019全国高三竞赛）设是一个给定的非零实数,在平面直角坐标系中,曲线的方程为且,点.(1)设是上的任意一点,试求线段的中点的轨迹的方程并指出曲线的类型和位置;(2)求出、在它们的交点处的各自切线之间的夹角(锐角)(用反三角函数式表示)38（2019全国高三竞赛）已知函数，其中，a为实数（1）当函数的图像在上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围；

7、（2）当时，求函数在上的最大值与最小值39（2019全国高三竞赛）已知抛物线上的动点P，及焦点求的内切圆半径r的最大值40（2019全国高三竞赛）设，其中，、为给定的实数（1）求的表达式（2）问：当为何值时，极限存在？如果存在，请求出其值41（2019全国高三竞赛）设函数的图像T上有两个极值点P、Q，其中，P为坐标原点.（1）当点Q(1，2)时，求f(x)解析式；（2）当点Q在圆上时，求曲线T的切线斜率的最大值.42（2019四川高三竞赛）已知函数f(x)=xlnxax2，aR.（1）证明：当1x3时，；（2）设函数F(x)=|f(x)|(x1，e)有极小值，求a的取值范围.43（2019江苏高三竞赛）证明：对任意x(，0)(0，+)，且等号成立的充要条件是.44（2020浙江温州高一竞赛）已知1a2，函数（1）证明：函数在(0，+)上有唯一零点；（2）设是函数在(0，+)上的零点，证明：45（2021全国高三竞赛）设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则.46（2019重庆高三竞赛）已知x，y0，x2019+y=1，求证：.注：可直接应用以下结论：（1）；（2）.47（2019福建高三竞赛）已知.（1）当时，不等式恒成立，求m的取值范围；（2）求证：当时，.48（2019全国高三竞赛）如果一个多项式的系数都是自然数，则称为“自然多项式”.对正整数，用表示满足的不同自然多项式

本课程是软件技术、人工智能等专业必修的一门专业基础课程，是在学习了中学数学课程、具备了数学基本概念理解与基本计算能力的基础上开设的一门理实一体课程，其功能是对接专业人才培养目标，通过对高等数学的基础理论和基本技能等内容的学习，着重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。

本课程的培养目标是通过本课程的学习，使学生比较系统地获得一元函数微积分、微分方程的基础知识、必要的基础理论和常用的运算方法,培养学生应用数学方法研究实际问题的思想和解决实际问题的能力，同时培养学生具有抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力，为后续课程提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力，帮助学生树立探索精神和创新意识。

（1）结合数学教学内容和学生实际对学生进行思想品徳教育，逐步树立实事求是、一丝不苟的科学精神；

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（1）理解函数、极限与连续、导数与微分、原函数与不定积分、定积分、微分方程等基本概念和模型；

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（3）掌握常用数学思想，包括：函数思想、数形结合思想、极限思想、变化率思想、最优化思想、建模思想等思想。

（1）能熟练计算一般函数的极限；

（2）会判断一般函数的连续性与间断点；

（3）能熟练计算一般函数的导数与微分；

（4）能熟练计算一般函数的积分；

（5）会求解简单的一阶微分方程；

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根据教学内容，结合学情分析以及教学重点、难点突破等，课程采用混合式教学模式，综合运用讲授法、案例教学法、启发式教学法、练习法教学方法。

以重难点讲授为主，对在线基础知识内容进行强化，通过重难点释疑等环节加强在线学习效果，突出重点、突破难点，深化专业知识的应用。

各个模块的应用部分采用案例教学法，培养学生灵活运用知识的能力、分析问题与解决问题的能力及团队合作精神。

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学生在教师的指导下课堂练习，巩固知识，加强技能。

在本课程的教学中，营造信息化教学环境，根据教学需要，采用在线微视频、图形图片、在线答疑讨论等多种信息化教学方法和手段，提高学生的学习兴趣与参与度；使用MATLAB、微软数学、MathStudio等软件辅助学习。

1. 本课程以过程性考核为主、终结性考核为辅，其中过程性考核检查学生知识能力素质的形成过程，包括教师评价、学生评价、模块测试与作业，终结性考核检查学生课程目标的总体达成情况。

本课程积极采用多种现代化的教学手段，提高教学的质量和效率，构建师生互动的教学平台。建议主要教学条件有：

教材编选应以本课程标准为基础依据，合理安排教材内容，突出实践性；同时根据各专业发展对数学知识的要求，不断更新教学内容。按照学生的学习基础与认识规律，做到教学练相结合。搭建教学平台，丰富数字资源，采用或编写新形态教材。

教材采用我院数学教研室编写的经济数学教材及各专业配套的实训手册。

1.《高等数学》（第七版），高等教育出版社，同济大学数学系主编，2014年7月.

2.《经济数学.微积分》（第三版），高等教育出版社，吴传生主编，2015年11月.