字推理主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规律，从而得出最后的答案。在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：

一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律：

1、 相邻两个数加、减、乘、除等于第三数

2、 相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数

3、 等差数列：数列中各个数字成等差数列

4、 二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列

5、 等比数列 ：数列中相邻两个数的比值相等

6、 二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列

7、 前一个数的平方等于第二个数

8、 前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数；

9、 前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数；

10、 隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，

11、 全奇 、全偶数列

二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律

1、 数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成。

2、 每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n。

3、 数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数。

以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢？这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答

第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b

2)深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。

3)看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如 7,9,40,74,，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 ,

4)如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数 7+14＝10+11＝9+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。

5)各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如6、24、60、 120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。

7)再复杂一点，如 0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。

8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如2就要看成2

1）中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略

2）数的平方或立方加减一个常数，常数往往是1，这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉

如看到2、5、10、17，就应该想到是1、2、3、4的平方加1

如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的立方减1

对平方数，个人觉得熟悉1~20就够了，对于立方数，熟悉1~10就够了，而且涉及到平方、立方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快

3）A＾2－B＝C 因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来

这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就考虑这个规律看看

4）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项

奇数位1、9、25 分别是1、3、5的平方

偶数位8、64、216是2、4、6的立方

5) 后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈2倍关系

如数列：1、2、3、6、12、24

由于后面的数呈2倍关系，所以容易造成误解！

数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案.

按照数字排列的规律, 数字推理题一般可分为以下几种类型:

一、奇、偶：题目中各个数都是奇数或偶数，或间隔全是奇数或偶数：

解析：答案是C ，整个数列中全都是奇数，而答案中只有答案C是奇数

解析：答案是D ，整个数列中全都是偶数，只有答案D是偶数。

解析：整个数列奇偶相间，偶数后面应该是奇数 ，答案是C

二、排序：题目中的间隔的数字之间有排序规律

解析：数列中34，35，36为顺序，21，20为逆序，因此，答案为A。

三、加法：题目中的数字通过相加寻找规律

1、前两个数相加等于第三个数

例题：4，5，（），14，23，37

注意：空缺项在中间，从两边找规律，这个方法可以用到任何题型；

2、前两数相加再加或者减一个常数等于第三数

例题：22，35，56，90，（） 99年考题

四、减法：题目中的数字通过相减，寻找减得的差值之间的规律

1、前两个数的差等于第三个数：

例题：6，3，3，（），3，-3

解析：通过相减发现：相邻的数之间的差都是5，典型等差数列；

3、二级等差：相减的差值之间是等差数列

解析：邻数之间的差值为5、4、3、（2），等差数列，差值为1

4、二级等比：相减的差是等比数列

后一个数减前一个数的差值为:1,2,4, 8,16,所以答案是13

5、相减的差为完全平方或开方或其他规律

例题：1，5，14，30，55，（ ）

相邻的数的差为4，9，16，25，则答案为55+36=91

6、相隔数相减呈上述规律：

注意：“相隔”可以在任何题型中出现

1、前两个数的乘积等于第三个数

前两个数的乘积等于第三个数，答案是256

2、前一个数乘以一个数加一个常数等于第二个数，n1×m+a=n2

3、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方,...

1、两数相除等于第三数

2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方，...

间序：1，1，2，4，3，9，4，（16）

2、前一个数的平方是第二个数。

1） 直接得出：2，4，16，（ ）

解析：前一个数的平方等于第三个数，答案为256。

2）前一个数的平方加减一个数等于第二个数：

1，2，5，26，（677）前一个数的平方减1等于第三个数，答案为677

3、隐含完全平方数列：

1）通过加减化归成完全平方数列：0，3，8，15，24，（）

前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案为6的平方36。

2）通过乘除化归成完全平方数列：

3）间隔加减，得到一个平方数列：

例：65，35，17，（），1

解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D.

技巧:把不包括根号的数(有理数),根号外的数,都变成根号内的数,寻找根号内的数之间的规律:是存在序列规律,还是存在前后生成的规律。

例题：1，8，27，64，（）

解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

2、立方加减乘除得到的数列：

例题：0，7，26，63 ，（ ）

解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

1、前一个数的组成部分生成第二个数的组成部分:

答案是：13/21，分母等于前一个数的分子与分母的和，分子等于前一个数的分母。

2、数字升高（或其它排序），幂数降低（或其它规律）。

例题：1，8，9，4，（），1/6

解析:1，8，9，4，（ ），1/6依次为1的4次方，2的三次方，3的2次方（平方），4的一次方，（ ），6的负一次方。存在1，2，3，4，（ ），6和4，3，2，1，（ ），-1两个序列。答案应该是5的0次方，选C

2021年10月自考《数论初步》模拟试题（一）

一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分。在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内)

1.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )

2.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( )

3.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )

A.奇数 奇数 B.奇数 偶数

C.偶数 奇数 D.偶数 偶数

4.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )

5.下列不属于二元二次不定方程的是( )

9.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。

11.若x为自然数，y为正实数，且x≤y，则下列结论不一定成立的是( )

12.下列关于质数、合数的说法，正确的是( )

A.两个质数之和一定是质数 B.质数一定是奇数

C.两个合数之和一定是合数 D.两个质数之积一定是合数

14.对于自然数n,下列结论不一定正确的是( )

18.设p为质数，则形如( )的数是梅森数。

19.设a是大于1的自然数，p是a的大于1的最小约数，则p一定是( )

21.若a为整数，n为任意自然数，以下关于奇、偶数的说法错误的是( )

A.若an为奇数，则a必为奇数

B.n个奇数与n个偶数之和必为奇数

能被2整除，同时又能被3整除，则a为( )

23.3在50!的标准分解式中的最高幂指数是( )

25.下列式子成立的是( )

26.下列同余式无解的是( )

28.下列不定方程一定无整数解的是( )

30.若今天是星期四，则1000天后的那一天是( )

A.星期四 B.星期三

C.星期二 D.星期五

二、填空题(每小题1分，共10分)

三、计算题(每小题8分，共32分)

41.求31202的十进位表示中的个位数字

四、证明题(每小题8分，共16分)

五、综合应用题(共12分)

基础巩固 能力提升 变式训练 拓展培优 真题演练