适用专业：数学与应用数学专业

开课单位：数学与物理系

《数学分析》课程是蚌埠学院数学与应用数学专业的一门基础课，也是现代数学的重要基础理论之一；它的任务是使学生获得极限理论、一元微积分、无穷级数、多元微积分等方面的系统知识，能为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。学生学好《数学分析》课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。特别地，学习数学分析还为深刻理解初等数学，指导中学数学教学与研究提供重要的方法。

二、课程教学内容的基本要求、重点和难点

理解函数的有关概念和具有特殊性质的函数，掌握函数的复合运算。

㈡ 教学重点  函数的概念，函数的表示，函数的复合运算，初等函数。

㈢ 教学难点  函数的复合运算，反函数与初等函数。

2、四类具有特殊性质的函数

深刻理解数列极限的概念，对于ε-N不仅要领会思想方法，而且要用定义来证明有关极限问题；熟悉收敛数列的性质，正确理解数列收敛性的判别法；掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；准确建立函数(包括单侧极限)概念，深刻理解函数极限的ε-δ等定义，明了其几何意义，并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述，能运用函数的极限定义证明与函数极限有关的某些命题；掌握函数的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；掌握Heine定理与Cauchy准则；掌握两个重要极限并牢记结论，了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用；作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

 数列极限的定义与性质，收敛判别的单调有界原理，函数极限的定义与性质，两个重要极限，无穷大与无穷小的定义与性质。

㈢ 教学难点  极限的概念，极限性质证明，无穷小的比较。

(2)收敛数列的四则运算

(3)数列的收敛判别法

(2)自变量的变化过程和函数的变化趋向

(6)(a,∞)类型和其他类型的无穷大

(2)函数极限与数列极限的关系

(3)函数极限存在判别法

(5)无穷小和无穷大的比较

深刻理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解，并能熟练准确地识别不同类别的间断点；明确函数在一区间上连续是函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分函数连续与连续函数的不同内涵；掌握连续函数的局部性质，连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性；深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的，并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限；掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。

㈡ 教学重点  连续性的概念和闭区间上连续函数的性质。

㈢ 教学难点  一致连续性概念。

(1)连续函数的运算及其性质

(2)闭区间连续函数的性质

(4)初等函数的连续性

深刻理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题；会用“闭区间套定理”的二分法证明；“致密性定理”的抽子列法证明，并能证明其它的一些定理；会用单调有界定理与数列极限的Cauchy收敛原理来证明一些极限存在与不存在；掌握运用基本定理证明闭区间上连续函数的性质，理解其证明的思想方法。

㈡ 教学重点  上、下确界的定义，实数连续性的基本定理及其证明，一致连续的概念。

㈢ 教学难点  闭区间连续函数的性质的证明。

2、闭区间上连续函数性质的证明

了解导数产生的客观基础，并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法；掌握求导的基本方法，熟记基本公式，熟练地解决一般的求导问题；了解连续性、可导性、可微性之间的关系；理解微分的意义。

㈡ 教学重点  导数与微分的定义，运算及应用，高阶导数与高阶微分。

㈢ 教学难点  复合函数求导法则。

2、求导法则与求导公式

(2)反函数的求导法则

(3)复合函数的求导法则

3、隐函数与参数方程求导法则

(2)参数方程求导法则

(2)微分的运算法则和公式

(3)微分在近似计算上的应用

5、高阶导数与高阶微分

第六章 微分学的基本定理及其应用

深刻理解并掌握中值定理的几何意义；能灵活运用洛必达法则处理不定式极限；掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项；掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，函数的凸性等；掌握利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。

㈡ 教学重点  微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，利用导数研究函数性质，作出函数图象。

㈢ 教学难点  微分中值定理的运用

(2)常用的几个展开式

4、导数在研究函数上的应用

(2)函数的极值与最值

掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握并能灵活应用基本积分公式；熟练掌握凑微分法；掌握分部积分公式；掌握部分分式法解有理函数的不定积分的方法；能灵活地处理三角函数的不定积分。

㈡ 教学重点  不定积分的定义及性质，不定积分的计算。

㈢ 教学难点  不定积分的计算。

2、分部积分法与换元积分法

3、有理函数的不定积分

(2)有理函数的不定积分

4、简单无理函数与三角的函数的不定积分

(1)简单无理函数的不定积分

(2)三角函数的不定积分

理解定积分的定义及其几何意义和物理意义；了解小和、大和的性质；掌握可积的充要条件，并能用以证明三类函数的可积性；掌握定积分的性质，并能进行简单的推理论证和计算；掌握积分上限函数的性质，并能在解题中应用这个性质；掌握牛顿－莱布尼兹公式，能熟练地进行积分计算；能综合运用换元法、分部积分法和定积分的性质进行定积分的计算；掌握用定积分计算面积、弧长，能算出截面面积的立体体积、旋转体体积和侧面积等应用；了解定积分的近似计算。

㈡ 教学重点  定积分的定义，存在条件及性质，定积分的计算及应用。

㈢ 教学难点  “微元法”的基本思想。

(1)按照定义计算定积分

(3)定积分的基本公式

(4)定积分的分部积分法

(5)定积分的换元积分法

(4)应用截面面积求体积

理解数项级数和数列极限的关系；牢固掌握Cauchy收敛原理，能用Cauchy原理证明级数收敛与发散，熟练掌握级数的必要条件；熟练掌握正项级数敛散的比较原则，Cauchy判别法，达朗贝尔判别法，Cauchy积分判别法；正确掌握Leibniz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法，判断级数的条件收敛；正确理解级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系，了解绝对收敛和条件收敛级数的主要性质；能用数项级数收敛判别法讨论函数项级数的收敛性，研究函数项级数与函数列收敛域；透彻理解一致收敛概念，能从定义出发证明函数列或函数项级数的一致收敛和非一致收敛；掌握Cauchy收敛原理，并能应用于判别一致收敛与非一致收敛；掌握各种判别法，研究函数列或函数项级数的一致收敛性；熟练掌握幂级数的收敛半径或方法，确定收敛区间端点的敛散性；掌握幂级数在收敛区间内的内闭一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；用等比数列求和公式，或通过利用幂级数逐项求导逐项求积的性质，可化为等比数列求和求出某些幂级数的和函数的初等形式；了解三角级数的正交性，并能在某些积分计算中加以应用；会计算可积函数的Fourier系数；掌握奇、偶函数的Fourier级数展开的特点，会将定义在某区间上的函数按要求展成正弦级数或余弦级数；能利用Fourier展开求一些简单级数的和。

收敛与发散的概念，收敛级数的性质，同号级数、变号级数收敛性判别法，函数项级数、一致收敛、一致收敛级数的性质，幂级数的概念，收敛半径，和函数的分析性质，函数的幂级数展开，傅里叶级数的概念收敛定理，函数展开成傅里叶级数。

级数收敛性概念；幂级数的一致收敛性；Fourier级数的收敛性判别。

(1)收敛与发散的概念

(5)绝对收敛级数的性质

(1)函数级数的收敛域

(4)函数列的一致收敛

(5)和函数的分析性质

(2)幂级数和函数的分析性质

(4)基本初等函数的幂级数展开

(4)奇偶函数的傅里叶级数

(5)以2l为周期的函数的傅里叶级数

第十章  多元函数微分学

掌握平面点集、邻域、中心邻域的表示法；会判别一般平面点集是开集还是闭集，有界还是无界，是否是区域、开区域、闭区域，会写出其边界；了解平面点集的矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，理解它们与直线上有关定理相互关系，掌握有关的不太复杂的命题的证明的思想方法；掌握平面点列收敛的ε-N定义及柯西收敛原理；深刻理解二元函数的概念及几何意义，并能推广到多元函数；会确定一般二元函数的定义域及连续范围；深刻理解二元函数极限ε-N定义，会依定义证明不太复杂的二重极限；掌握反映二元函数极限与平面点列极限之间关系的归结原则，会通过取特殊路径证明极限不存在；掌握累次极限概念；对偏导数及全微分有基本的认识，掌握求简单函数偏导数的基本技巧；掌握二元函数的偏导数存在性、可微性，以及偏导数连续性之间的关系；掌握二阶混合偏导数与求导顺序无关的条件；了解隐函数存在定理，掌握隐函数求导方法；理解并会应用Lagrange乘数法；理解并会使用最小二乘法。

多元函数的概念，二元函数的极限和连续概念与性质，偏导数、全微分，复合函数偏导数的链式法则，微分运算法则，极值的概念与计算。

㈢ 教学难点  二元函数连续性的定义、复合函数求偏导数的链式法。

(2)坐标平面的连续性

2、二元函数的极限与连续

(2)二元函数的连续性

4、二元函数的泰勒公式

(2)二元函数的泰勒公式

㈠ 基本要求  理解隐函数定理的有关概念，及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；会把实际问题抽象为条件极值并予以解决，掌握隐函数的微分法在几何方面的应用。

㈡ 教学重点  隐函数存在定理，函数行列式的性质，条件极值的概念与计算，曲线的切线与法平面和曲面的切平面与法线方程。

㈢ 教学难点  隐函数存在定理、条件极值。

(2)一个方程确定的隐函数

(3)方程组确定的隐函数

(2)函数行列式的性质

(3)函数行列式的几何性质

(1)条件极值与拉格朗日乘数法

4、隐函数存在定理在几何方面的应用

(1)空间曲线的切线与法平面

(2)曲面的切平面与法线

第十二章  反常积分与含参变量的积分

正确理解两种类型广义积分的定义、性质；会用定义与性质计算两种广义积分值；掌握两种广义积分收敛的判断法；掌握两类积分绝对收敛和条件收敛概念，能判别不太复杂的广义积分的绝对收敛和条件收敛；深刻理解含能变量常见积分作为参量的函数，掌握它的连续性、可微性和可积性的条件，并能应用这些条件讨论一些含参量常见积分的有关性质；深刻理解含参量广义积分及一致收敛概念，会从定义或Cauchy收敛原理出发证明积分的一致收敛性或非一致收敛性；熟练掌握和利用M－判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性；掌握含参量广义积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；了解Γ函数和Β函数。

无穷积分收敛与发散的概念及敛散性判别法，瑕积分收敛与发散的概念及敛散性判别法，含参变量的有限积分的概念与分析性质，含参变量的无穷积分的概念，一致收敛的定义与判别法，含参变量无穷积分的分析性质，Γ函数和Β函数。

两种广义积分的收敛性概念、含参量常义积分概念及一致收敛概念。

(1)无穷积分收敛与发散的概念

(4)无穷积分的敛散性判别法

(1)瑕积分收敛与发散的概念

(2)瑕积分的敛散性判别法

(1)含参变量的有限积分

(2)含参变量的无穷积分

熟练掌握将重积分化为累次积分的计算方法，并会交换积分顺序；熟练掌握二重积分的极坐标变换，三重积分的柱坐标、球坐标、广义球坐标变换，掌握一些简单的一般变换，以达到简化重积分计算的目的；能用重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积、物体的质量、重心、转动惯量等。

㈡ 教学重点  重积分的概念与性质，二重积分、三重积分的计算及柱面坐标与球面坐标。

㈢ 教学难点  二重积分、三重积分的计算。

第十四章  曲线积分与曲面积分

理解建立曲线积分的几何模型及物理模型，从而加深对积分思想方法的理解；掌握曲线积分的基本性质并能证明一些简单的命题；理解各类曲面积分的概念、背景；理解两类曲面积分之间性质上的异同；会选择和建立积分曲面的适当的参数方程，正确地使用相应的计算公式，以计算两类曲面积分；了解场论初步知识。

第一型曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二型曲线积分与曲面积分的定义及计算，格林公式，曲线积分与路线无关的条件，奥高公式，斯托克斯公式。

㈢ 教学难点  曲线积分和曲面积分思想的建立，两类积分的公式计算。

(3)第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系

(5)曲线积分与路线无关的条件

后期课程：复变函数、实变函数、常微方程、泛函分析、微分几何、概率论、数学建模、数学实验、数值分析等。

五、本课程的特点及教法、学法建议

本课程的特点：数学分析是数学专业最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。本课程的特点是：学习时间的跨度很大，一般是三个学期，内容极为丰富。

，作到熟能生巧。尤其要注意

1、正确理解以下概念和它们之间的联系

函数、极限、连续、实数集的确界、一致连续、导数、微分、不定积分、定积分、定积分的应用、两类广义积分的敛散性、数项级数的敛散性、函数列与函数级数的一致收敛性、偏导数、全微分、隐函数定理及其应用、含参量的积分、多变量积分——二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分和流形上微分学初步。

2、正确理解以下基本定理和公式，并能正确应用极限的主要定理、实数的基本定理、微分中值定理、泰勒定理、微积分基本定理、隐函数存在定理、一致连续与一致收敛性定理、格林公式、斯托克斯公式。

六、考核类型、考核方式与成绩评定

㈡ 考核方式与成绩评定：

1、考核方式：本课程采用理论考试的方式进行考核。其中，理论考核包括期末考试（闭卷笔试）与平时成绩。

2、课程考核的成绩评定：本课程以百分制计分，最终成绩的构成为平时成绩占30%、期末考试成绩占70%。

3、期末考试命题要求：笔试命题要有一定的题量以及知识点覆盖面，并要体现重点；试题的难度要求及其比例为：识记占20%，理解占30%，掌握与应用占30%，分析与综合占20%。根据本课程的特点，建议命题采用记忆，计算和部分证明题相结合等题型。

七、建议使用教材及主要教学参考资料

㈠ 教材: 《数学分析讲义》（第五版），刘玉琏、傅沛仁等编，高等教育出版社，2008年

㈡ 主要教学参考资料：

1、《数学分析》,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001年,第三版。

2、《简明数学分析》，王昆扬编，高等教育出版社，2002年

3、《微积分学教程》，菲赫金哥尔茨著，人民教育出版社，1980年

4、《数学分析》(第二版)，陈传璋，金福临，朱学炎等编，高等教育出版社，1983年

本课程教学中要注意重点和难点内容：

重点：基本概念与基本技能的掌握

难点：计算技巧、理论证明与实际应用对重点内容采用探究与启发相结合的方法，加深学生的记忆和理解。难点内容采用分散与直观相结合的方法组织教学，同时对相关内容加强训练。