高等数学(第5版)(上册)》是根据编者多年的教学实践，按照新形势下教材改革的精神，并结合《高等数学课程教学基本要求》在第四版的基础上修订而成的。这次修订更好地与中学数学教学相衔接，适当引用了一些数学记号和逻辑符号，增加了应用性例题和习题，对一些内容作了适当的精简和合并。修改较多的部分涉及函数、极限及向量代数等内容。

《高等数学(第5版)(上册)》分上、下两册出版。上册内容为函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、空间解析几何与向量代数等七章，书末还附有二、三阶行列式简介：几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示。

《高等数学(第5版)(上册)》仍保持了第四版结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂、例题较多、便于自学等优点，又在保证教学基本要求的前提下，扩大了适应面，增强了伸缩性，供高等院校工科类专业的学生使用。

一、数列极限的定义(23)二、收敛数列的性质(27)

一、函数极限的定义(31)二、函数极限的性质(36)

第四节 无穷小与无穷大

第六节 极限存在准则两个重要极限

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性(59)二、函数的间断点(62)习题1-8(64)

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性(65)二、反函数与复合函数的连续性(65)三、初等函数的连续性(67)习题1-9(68)

第十节 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与*值最小值定理(69)二、零点定理与价值定理(70)

一、引例(76)二、导数的定义(78)三、导数的几何意义(82)四、函数可导性与连续性的关系(84)习题2-1(85)

第二节 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则(86)二、反函数的求导法则(89)

三、复合函数的求导法则(91)四、基本求导法则与导数公式(93)

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

一、隐函数的导数(102)二、由参数方程所确定的函数的导数(106)

一、微分的定义(112)二、微分的几何意义(114)三、基本初等函数篚

微分公式与微分运算法则(115)四、微分在近似计算中的应用(118)

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、罗尔定理(126)二、拉格朗日中值定理(127)三、柯西中值定理(130)

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法(143)二、曲线的凹凸性与拐点(147)

第五节 函数的极值与*值最小值

一、函数的极值及其求法(152)二、*值最小值问题(156)

第六节 函数图形的描绘

一、弧微分(167)二、曲率及其计算公式(168)三、曲率圆与曲率

半径(171)。四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线(173)

第一节 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念(182)二、基本积分表(186)三、不定积

第四节 有理函数的积分

一、有理函数的积分(211)二、可化为有理函数的积分举例(216)

第一节 定积分的概念与性质

一、定积分问题举例(223)一二、定积分定义(225)三、定积分的性质(229)

第二节 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系(234)二、积分上限的函数及其导数(235)三、牛顿一莱布尼茨公式(236)习题5-2(240)

第三节 定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法(242)二、定积分的分部积分法(247)习题5-3(249)

一、无穷限的反常积分(250)二、无界函数的反常积分(253)

第五节 反常积分的审敛法r函数

一、无穷限反常积分的审敛法(256)二、无界函数的反常积分的审敛法(260)

第一节 定积分的元素法

第二节 定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积(269)二、体积(273)三、平面曲线的弧长(276)

第三节 定积分在物理学上的应用

一、变力沿直线所作的功(282)二、水压力(285)三、引力(286)

第七章 空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一、向量概念(289)二、向量的线性运算(290)三、空间直角坐标系(294)四、利用坐标作向量的线性运算(295)五、向量的模、方向角、投影(297)

第二节 数量积向量积。混合积

一、两向量的数量积(301)二、两向量的向量积(305)。三、向量的混合积(308)

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程(319)二、空间瞳线的参数方程(320)三、空间曲线在坐标面上的投影(323)习题7-4(324)

一、平面的点法式方程(325)二、平面的一般方程(326)三、两平面的夹角(328)习题7-5(329)

第六节 空间直线及其方程

一、空间直线盼一般方程(330)二、空间直线的对称式方程与参数方、程(330)三、两直线的夹角(332)四、直线与平面的夹角(333)

附录I 二阶和三阶行列式简介

附录Ⅱ 几种常用的曲线

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1、 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题()1. 设函数具有二阶导数, 且, 则.2. 设函数为可导函数, 且, 由参数方程所确定的函数的 导数.3. 极限.4. 微分方程的特解形式为(不需确定系数) .二 选择题()5. 设函数在内连续, 且, 则常数满足: . ; ; ; 6. 曲线, 没有水平渐近线但有铅直渐近线; 没有铅直渐近线但有水平渐近线; 没有水平和铅直渐近线; 有水平和铅直渐近线7. 将时的无穷小量排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: ; ; ; 8. 设函数在点的某个邻域内有定义, 且, 则在该点处 : 不可

2、导; 可导且; 取得极大值; 取得极小值.三. 解答题()9. 求极限, 10. 计算定积分 11. 计算反常积分 12. 试求微分方程的通解 四. ()求曲线上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小. 五. ()设不定积分, (1)计算; (2)利用变换, 建立的递推公式 (1); (2)六. ()设函数在上连续, 且在上, 证明至少存在一点 , 使. 七. ()过坐标原点作曲线的切线, 记该切线与此曲线及轴所围成的平 面图形为, 试求: (1)平面图形的面积; (2)平面图形绕直线旋转一周所成的旋转体的体积, 八. ()已知是某个二阶常系数线性非齐 次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的

3、通解并建立此微分方程. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题()1. 已知极限存在, 且函数满足: , 则 .2. 设函数, 则.3. 不定积分.4. 定积分.二. 选择题()5. 曲线的斜渐近线方程为 ; ; ; .6. 曲线上点处曲率 ; ; ; .7. 设为内连续的偶函数, , 则原函数 均为奇函数; 均为偶函数; 中只一个奇函数; 既非奇函数也非偶函数.8. 设为曲线上相应于的一段弧长, 为椭圆的周长, 则 ; ; ; .三. 解答题()9. 求极限. 10. 设是内的连续的奇函数, 且, 证明在处可导, 并求. 11. 求定积分, 其中表示不超过

4、的最大整数. 12. 判定反常积分的收敛性, 如果收敛, 求出其值. 四. ()设是内的连续函数, 且, 试求极限. 五. ()设可积函数在内满足关系式: , 且当 时, 试求. 六. ()设为正整数, 函数, 求曲线与直线 所围平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积. 七. ()求微分方程的通解. 八. ()令, 化简微分方程, 并求其通解. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限.2. 若极限, 则.3. 积分.4. 积分.5. 微分方程的通解为.6. 记, , , . 则这项积 分的大小关系为 ;.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是

5、 ; ; ; 8. 若函数在连续, 则常数 ; ; ; .二. 解答题()1. 计算由曲线与直线所围平面图形的面积. 2. 若函数与具有阶导数, 试写出计算阶导数的莱布尼茨公式, 计算的阶导数. 3. 求函数的单调区间以及函数的极大与极小值. 4. 计算反常积分. 5. 求微分方程的解. 三. ()在长度单位为米的坐标中, 由方程与直线围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中轴平行于水面且在水下米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. 四. ()求积分, 五. ()1. 试求常数, 使得函数在=在区间上可导; 2. 若由该曲线段绕轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量向容器均匀 的注水, 试求该

6、容器在水溢出前水深为时水面的上升速度. ;六. ()要建一个容积为, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知 顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省. ,七. ()函数在上具有二阶导数, 并且, 对于任意, 由拉格 朗日中值定理, 存在, 使得. 证明定义了 上的一个单调增加函数. 递减唯一确定(函数); 又可证, 可得递增 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 函数的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为2. 在所对应点的曲率3. 极限4. 由方程所确定的函数在点的导数

7、5. 函数在上连续, 则数列极限存在是函数极限存在的什 么条件? 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 在区间上, 函数连续的充分条件是: 存在; 可导; 具有原函数; 有界.7. 如果作换元, 则定积分等于 ; ; ; .8. 可导函数在区间上单调增加的充分条件是在该区间上 ; ; ; .二. ()1. 如图是函数的图像, 试在下列空格中填入恰当的符 号: ; 或. ; ; ; .2. 求极限 3. 计算不定积分 三. ()1. 求曲线的凹凸区间与拐点的坐标. ; 拐点:2. 计算反常积分. 3. 一个由曲线段绕轴旋转形成的容器内装满了比重为的均匀液体, 如果要将该容器内的

8、液体全部排空至少需要做多少功. 四. ()试用适当的换元法求微分方程的通解. 五. ()试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间 的函数未必连续. 最值定理; 介值定理; 反例略六. ()计算由曲线, 该曲线经过坐标原点的切线以及轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕轴旋转所得旋转体的体积. 切线:;切点:; 七. ()试求微分方程的通解. 八. ()是以为周期的连续函数, 若, 求极限. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题()1. 极限2. 利用定积分的几何意义，积分3. 微分方程的通解为4. 已知敌方的导弹阵地

9、位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线，我方 拦截导弹的阵地位于轴正向公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为，则该点满足的方程为 5. 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【】 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 是连续函数, 曲线段的弧长的计算公式为 【】 ; ; ; 无关条件.7. 函数具有三阶连续导数，如果，则下列四项积分中，积分值 确定为正数的积分为 【】 ; ; ; .8. 利用换元, 积分等于 【】 ; ; ; .二

10、. 计算下列各题()1. 试计算由所确定的曲线在点的切线方程. 2. 求由参数方程所确定函数的导数. 3. 求不定积分 4. 曲线段的弧长为, 是平面上与距离不超过的点集, 即,的面积为,求极限. 三. ()计算反常积分. 四. ()具有二阶导数, 如果极限, 求. 五. ()可导函数满足方程, 求函数. 六. ()求函数的单调区间与极值, 并求出该函数在区间上的最值. 极小,极大; 七. ()计算由曲线, 直线以及轴所围图形的面积; 并求出由该图 形绕轴旋转所得旋转体的体积. 八. ()计算极限. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限2

11、. 在对应点的曲率3. 反常积分收敛, 则常数的取值区间是4. 5. 在(其中)上具有二阶导数,且,下列不等式正确的是 【】 ; ; ; .6. 是连续函数, 极限等于下面的定积分 【】 ; ; ; .7. 如果数列在任意区间上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【】 是收敛数列; 是有界数列但不收敛; 是无界数列但是当时不是无穷大量; 极限.8. , 则在区间内有几个实根 【】 个; 个; 个; 至少个.二. 计算下列各题()1. 求函数的单调区间与凹凸区间. 2. 求曲线在点的切线方程. 3. 计算反常积分 4. 求微分方程的通解. 三. ()分析曲线是否有铅直、水平与斜渐近线, 如

12、果有则求出 相应的渐近线. 铅直渐近线; 斜渐近线四. ()已知都是非负的连续函数, 曲线与关于直线对 称,由曲线以及直线所围成的平面图形的面积为. (1)证明该图形绕轴旋转所得旋转体的体积为; (2)计算椭圆绕直线旋转所得旋转体的体积. 五. ()设是可导函数, 并且满足方程, 求函数. 六. ()(1)写出的带有佩亚诺余项的阶迈克劳林公式;(2)计算极限. (1);(2)七. ()由方程所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度 单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟米的速度开 始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率. (1);

13、(2)八. ()设所围图形在第一象限部分的面积为. (1)利用定积分写 出的计算公式(无需计算的值); (2)证明极限存在; (3)计算极限. (1);(2);(3) 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限.2. 积分.3. 函数的导函数.4. 曲线的弧长.5. 极限的定义是 【】 , 当时, 有; , 当时, 有; , 当时, 有; , 当时, 有.6. 若是二阶微分方程的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【】 , 其中是任意常数; , 其中是任意常数; , 其中是任意常数; , 其中任意常数.7. 若是连续函数, 则极限等于 【】

14、; ; ; .8. 若对于积分作换元, 则该定积分化为 【】 ; ; ; .二. 计算下列各题()1. 试求曲线在点处的切线方程. 2. 求不定积分. 3. 求微分方程的通解. 4. 求微分方程的通解. 三. ()计算由与直线所围图形的面积. 四. ()计算反常积分. 五. ()已知的函数图像如图, (1)求函数的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线的凹凸区间与拐点. 极大,极小 拐点六. ()在半径为的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的 底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值. 七. ()一椭球形容器由长半轴为, 短半轴为的半支椭圆曲线绕其短

15、半轴旋转而成, 若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功. 八. ()已知具有二阶导数, 且, 判断的情况, 并给出判 断的理由. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题()1. 具有二阶导数, 且. 若曲线在的曲率为, 其 反函数所表示的曲线在对应点的曲率为, 则有 【】 ; ; ; .2. 已知函数满足, 如果在任意点处, 当充分小时都有 , 则有 【】 ; ; ; 题中所给的条件无法得到确定的函数.3. 下面的极限式中哪项等于连续函数的定积分. 【】 ; ; ; .4. 要使反常积分收敛, 则实数的取值范围是 【】 ; ; ; .5. 如果作换元, 则积分.6. 微分方程的通解.7. 已知, 则.8. 定积分.二. 计算题()1. 求极坐标所表示的曲线在所对应点处的切线方程. 2. 计算定积分. 3. 可导函数满足等式, 求函数. 三. ()已知函数在点左连续, 同时该点是函数的跳跃间断点, 如 果该函数只有一个间断点, 试分析函数间断点的个数. 三个; 两个; 或一个四. ()求微分方程的解. 五. ()曲线. (1)求该曲线在点处的切线方程; (2)求该曲线与切线以及轴所围图形的面积; (3)求题