如何理解导数函数求导的几何意义义和物理意义？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-06 05:42 标签： 函数求导的几何意义

打开网易新闻 查看精彩图片

设二元函数 在点 的某邻域内有定义，向量 对应的单位为 ，其中 为向量 的角，则当极限

存在时，则称该极限为函数在点处沿方向的方向，记作

【注】从实际应用与通用性角度，这里定义方向导数 。有些教材对方向导数的定义 的取值可正可负，虽然可以视偏导数为其特殊情况，但是其条件对于实际应用来说太强！当然如果一个函数沿着指定方向及其反方向方向导数存在且互为相反数，则定义与 一样可得到有效结论. 对于一般向量与函数，可以定义为

2、二元函数方向导数的几何意义

设 表示空间曲面 ，则方向导数 表示过点 ，且平行于 面上的向量 和垂直于 的平面 与曲面 的交线在点 处的切线的斜率．

打开网易新闻 查看精彩图片

【注】特别地， 与 分别为函数 在点 处沿两坐标轴方向 及 的方向导数．

如果函数 在点 可微，那么函数在该点沿任意方向向量 的方向导数都存在，且有

其中 为向量 的方向余弦，由于 互余，故向量 的单位向量方向余弦也可记作 ，即

二元函数 与三元函数 的梯度（梯度向量），记作

5、多元函数方向导数与梯度的关系

方向导数是函数梯度在方向向量 上的投影：

(1)梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向．

(2)函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．

(3)与梯度方向成锐角的方向是函数上升的方向，与梯度方向成钝角的方向是函数下降的方向．

(4)二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。

6、函数可微、偏导数、方向导数存在的关系

打开网易新闻 查看精彩图片

  • 偏导数存在则沿着坐标轴方向的方向导数存在

  • 沿着坐标轴正负方向方向导数互为相反数，则偏导数存在

关于二元函数连续性，可导性，可微性，偏导数的存在性与连续性，方向导数等内容的详细讨论与实例分析，参见中“多元函数的基本性质与全微分”章节的视频教学。

该章节供包含如下10个教学视频：

  • 第1节：二元函数极限存在性的判定思路与方法

  • 第2节：二元函数连续性的判定思路与方法

  • 第3节：二元函数偏导数的存在性与偏导函数连续性的判定思路与方法

  • 第4节：二元函数的可微性的讨论

  • 第5节：二元函数连续、偏导数存在、可微关系的讨论实例分析

  • 第6节：全与多元函数的原函数计算思路与方法实例解析

  • 第7节：方向导数及常见物理量计算公式

  • 第8节：偏导数与函数的变化率之求解选择题的数形结合法实例解析

  • 第9节：应用二元函数的泰勒公式比较函数值的大小

  • 第10节：函数值大小比较之求解选择题的特殊法实例解析

公众号回复“在线课堂”，或者直接点击 进入在线课程列表，历届竞赛真题与专题在线课程不仅适用于大学生数学竞赛，也适用于全国硕士研究生招生考试与课程学习，不仅适用于基础阶段的学习、复习，也适用于学习、复习、备考的提高、深化与查漏补缺，更能学到探索问题求解思路的方法和提升问题求解思路探索的能力！

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

打开网易新闻 查看精彩图片

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“”查看该章节内容列表！

●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！

●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项

●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项

●全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下的在线课堂专题讲座选项了解！

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！

一、创设情境、导入新课

师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在处的导数的含义？

生：函数在处的瞬时变化率. 

师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1.

生：第一步：求平均变化率；

第二步：求瞬时变化率，即

师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当趋近于O时的极限.明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义.

二、引导探究、获得新知

师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率在图中有

生：平均变化率表示的是割线AB的斜率.

师：是的，平均变化率的几何意义就是割线的斜率.

师：请看教材第7页图1.1-2：P是一定点，当动点沿着曲线y=f(x)趋近于点时，观察割线 的变化趋势图. （多媒体显示【动画1】）

生：当点沿着曲线y=f(x)趋近于点时，割线趋近于在P处的切线PT.

师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点沿着曲线y=f(x)逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.”这就是切线的概念.

师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT有1个交点. 那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？

生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切.

师：观察图②，请指出（1）直线l1与曲线L是什么位置关系？（2）直线l2与曲线L是什么位置关系？

生：直线l1与曲线L相交，直线l2与曲线L相切.

师：直线l1与曲线L有唯一公共点但它不是曲线的切线，l2与曲线L不只一个公共点，但它是曲线在A处的切线.所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.

师：由切线的定义可知，

那么，割线的斜率趋近于……？

师：割线的斜率，当时，切线PT的斜率就是……？

师： 即. 至此，请同学们总结，导数有什么几何意义？

师：直线PT是曲线的……？

生：直线PT是曲线在处的斜率.

师：同学们说的非常好！（教师板书）

函数在处的导数就是切线PT的斜率，即

师：那么，通过导数的几何意义，我们可以通过函数在某点处的导数，来得到其图像在该点处切线的斜率.

师：说出曲线在处的切线的倾斜角.

四、知识应用、巩固理解

师：例1：求出曲线在处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢?

生：求出函数在处的导数，就知道了所求切线的斜率.

师：求切线的斜率之后呢？

生：（摇头，回答不出）

师：好，那我们不妨先求出斜率（教师板书）

那么，关于直线我们还知道哪些信息？

师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1

生：也是1，切点的坐标为（1，1）

师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程……？

生：点斜式 ，即（学生回答，教师板书）

师：今后我们如何求曲线在处的切线方程？

生：（1）求出，则就是曲线在切线的斜率；（2）求切点；(3)写出切线的点斜式方程，

师：同学们很棒！例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线在，，附近的变化情况.

生：作出曲线在这些点处的切线.

师：曲线在处有怎样的变化趋势？

师：我们观察在处附近曲线几乎与切线重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化情况，这种思想方法叫“以直代曲”.那么，平行于x轴，即，说明曲线在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.

生：在，切线斜率，，所以，在，附近曲线下降，即函数在，附近单调递减.

师：曲线在，处都是下降的，下降的速率一样吗？

生：不一样，在处都是下降的快.

生：图像在处的切线倾斜程度小于在处切线的倾斜程度，说明曲线在附近比在附近下降得缓慢.

五、分层练习、提升能力（看学案）

师：曲线 上有一点P，过P的切线平行于直线y=4x-5，求P的坐标.

师：非常好！这节课我们学习了哪些内容？

当点沿着曲线逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

导数就是函数的图象在处的切线的斜率，即

三、导数几何意义的应用.

（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；

（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.（“以直代曲”）

导数就是函数的图象在处的切线的斜率，即

三、导数几何意义的应用.

（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；

（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.

例1：求出曲线在处的切线方程.

解：曲线在处的切线斜率

因为，即切点的坐标为（1，1），所以 

函数极限就是个定义，就一个类型，如果硬要分的话，那就分为左极限和右极限，当左右极限存在并相等的时候称函数极限存在。几何意义，就是当自变量无限趋近于某个数（包括无穷大）时函数的取值。物理意义，没什么物理意义。 
导数也是一种极限。几何意义，当自变量趋近于某个数的时候（这是有增量=某个数-自变量，对应有函数值增量为对应两个数之差）函数值增量与增量比值的极限。物理意义：简要说就是变化率。当x变化时，y变化的快慢。比如路程时间函数s=s（t），导数表示当时间处于t时刻时，函数的快慢，也就是说该函数的导数表示瞬时速度。 
两者关系，函数可导则一定有极限，但有极限函数不一定可导

我要回帖

更多关于 函数求导的几何意义 的文章

 

随机推荐