四面体外接圆图一对对边垂直,有外接圆半径,四面体外接圆图的体积怎么求

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-08 07:10 标签： 四面体外接圆图

与内切球外接球半径相关的问题

有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。 我们就这部分问题，尽量总结全面。 1． 内切球和外接球的基本定义;

立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。

基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。 2.长方体的外接球：

长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为2

何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2

正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 4.正四面体的内切球、外接球

（1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 （2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =

直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

（1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 （2） 直棱柱的体对角线

=底面图形的外接圆直径

正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。

a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的

，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 7.补体法：

（1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。

（2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补

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1、精选文库四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。1、 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长

2、即： 所以球的表面积为2、 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，, 因为 所以知所以 所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。3、 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知

3、解得 所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：4、 四面体是正四面体 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题图1例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半

4、径为正四面体的表面积正四面体的体积， 在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。例2设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.图2解：平面，由此，面面.记是的中点，从而.平面，设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图2，得截面图及内切圆不妨设平面，于是是的内心.设球的半径为，则，设,.,当且仅当，即时，等号成立.当时，满足条件的球最大半径为. 练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体

5、的棱长。（答案为：）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例3.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.解：由已知可得、实际上就是球内接

6、正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线 练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得， ，练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，

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