1 复变函数可视化原理
2 MATLAB中的复变函数可视化方法
2.1 单值函数
2.2 根式函数
3 常见复变函数图像
4 孤立奇点的分类
4.1 可去奇点
4.2 m 阶极点
4.3 本性奇点
5 洛朗展开
附录 MATLAB代码1 复变函数可视化原理复变函数是一种复平面到复平面的映射。对于复平面上的点 z ，有 f:z\rightarrow w ，则可以称 w 为 z 的复变函数，可以表示为，w=f(z) 这是一种二维空间到二维空间的映射，总维数是四，所以在我们生活的三维空间中，复变函数图像并不能直观地画出，因而它们似乎略显“抽象”。但是仍然有一些方法可以帮助我们直观地认识这类函数。例如，我们可以将 z 看成复平面上的一个有序实数对，函数值 w 只取模 \left
w \right
，而用辐角利用颜色表示。这样就组成了一个新的二维至二维的映射，(x,y)\rightarrow(\left
w \right|,Color) 如果我们在一个问题中不是很关心辐角，那么这就变成了一个三元函数，\left
w \right|=f(x,y) 这样的函数与图形我们就很熟悉了。此外，复变函数还有着与实变函数不一样的性质，例如多值性。这里的多值性比较特殊，与实变函数不同，这里是由于辐角的周期变化导致的，例如，\ln(z)=\ln(\left
z \right|e^{i\theta}) =\ln\left
z \right|+\ln e^{i\theta} =\ln\left
z \right|+\ln e^{i(\varphi+2k\pi)}
=\ln\left
z \right|+i(\varphi+2k\pi),k=0,\pm1,\pm2,... 如果只是辐角相差 2k\pi ，那么在复平面上对应的是同一点，但函数值完全不同。这也为我们画图带来了困难。Figure1-1 复平面z到w的映射2 MATLAB中的复变函数可视化方法MATLAB中有现成的画复变函数图像的函数，我们可以直接调用，很方便。但库函数总有一些局限性，例如生成的复平面矩阵只是半径为1的圆面。如果想要更大的范围或是有其他方面的需求，我们可以直接修改MATLAB的源代码，源代码在附录中给出。2.1 单值函数由于复变函数的特殊性质，一些函数有多值性。对于单值函数或者多值函数的一个单值分支，我们可以利用调用MATLAB中的cplxmap函数画出复变函数的图像。调用方法z = cplxgrid(m);
cplxmap(z,f(z));首先，利用cplxgrid创建一个(m+1)×(2m+1)的复极坐标矩阵z，然后就可以直接调用cplxmap画出复变函数图像，其中f(z)是你自己填入的一个关于z的函数。这里需要注意的是，cplxgrid只能生成半径为1的区域，如果要得到更大的区域，代码如下。r = (0:0.02:m)';
theta = pi*(-m:0.02:m)/m;
z = r*exp(1i*theta);复余弦函数的图像f(z)=cos(z) Figure2.1-1 cos(z)的图像代码示例z = cplxgrid(40);
% 取点
cplxmap(z,cos(z)); %画图
% 让图更好看
colormap(parula)
xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('f(z)')
shading interp2.2 根式函数MATLAB中给出了一个画一种常见多值函数——根式函数图像的方法，即直接调用cplxroot。画出的图像又可以称之为“黎曼面”。调用方法cplxroot(n,m);MATLAB里可以直接调用cplxroot函数，画出根式的复变函数图像。其中n是根次数，m为矩阵大小，即生成m×m的矩阵。三次根号z的图像f(z)=\sqrt[3]{z} Figure2.2-1 三次根号(z)的图像代码示例cplxroot(3,30);
colormap(parula)
shading interp3 常见复变函数图像复反三角函数f(z)=arcsin(z) Figure3-1 arcsin(z)的图像复指数函数f(z)=e^{z} Figure3-2 exp(z)的图像复对数函数f(z)=log_{10}(z), \theta\in[0,2\pi] Figure3-3 log10(z)的图像4 孤立奇点的分类4.1 可去奇点以函数 f(z)=\frac{\sin z}{z} 为例，这个函数显然在 z=0 点不解析，是一个奇点。但是它在这点的任意方向的极限都是趋于1的， \lim_{z \rightarrow 0}{\frac{\sin z}{z}}=1 ，所以图像看起来是中间有个洞（图4.1-1）。Figure4.1-1 sin(z)/z函数图像如果我们把洞“补上”，就全部解析了，即f(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{\sin z}{z},z\ne0
\\ 1,z=0 \end{matrix}\right. 那么这个奇点似乎是可有可有无的，是“可去”的。它的洛朗展开无主要部分，可以说形式上和泰勒展开相同。而泰勒展开只有在展开区域内部全解析才能进行。从这个角度看，级数在环域内收敛，似乎这个奇点可有可无，因此称为可去奇点。4.2 m阶极点我们来观察函数 f(z)=\log_{10}\left( \frac{1}{z^2\sin z} \right) 注：这里我取对数纯属为了画图好看，不然奇点附近的数值太大了。Figure4.2-1 log(1/(z^2*sin(z)))函数图像显然，这个函数的 z=0 是一个奇点，但是极限趋于无穷大。我们把这个函数乘上一个 z^3 ，即，g(z)=z^3 \log_{10}\left( \frac{1}{z^2\sin z} \right) 它的图像如图4.2-2所示。可以发现 z=0 的变成了4.1中所述的可去奇点的情形。这样的奇点我们称之为极点。如果函数可以通过乘一个m次幂函数把奇点转化为可去奇点，那么这个极点称为m阶极点，例如在上面的例子中是一个三阶极点。Figure4.2-2 z^3*log(1/(z^2*sin(z)))函数图像4.3 本性奇点在一个奇点领域内展开，当它的洛朗展开有无穷多负幂次项时，该奇点称为本性奇点。例如函数 f(z)=\log_{10}\left( e^{\frac{1}{z}} \right) Figure4.3-1 log(exp(1/z))的函数图像本性奇点一个重要特点是奇点处的极限不存在，图中也能看出奇点附近的“扭曲”。并且无穷多负幂次项也意味着不可能通过乘一个幂函数化为可去奇点。下图展示的是奇点附近辐角的剧烈变化。说明奇点附近的模长和辐角都是不确定的。Figure4.3-2 log(exp(1/z))函数的俯视图5 洛朗展开洛朗展开可以在一个环形区域内展开成幂级数，这样是为了避开不解析的奇点，弥补泰勒展开必须要在展开点附近解析的欠缺。Figure5-1 洛朗展开示意图它比泰勒展开多出了负幂次部分，其表达式为，f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{a_n(z-b)^n},R_1<\left
z-b \right|<R_2 洛朗展开弥补了泰勒展开的局限性，扩大了函数展开的范围。接下来我们以一个简单的函数—— f(z)=\frac{1}{1-z} 为例，来说明这个情况。我们很容易得到，这个函数的泰勒展开为，f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{z^n},\left
z \right|<1 在区间 \left
z \right|<1 内，我们取展开式的前40项画图，并与原函数进行对比。注：这里同样取了对数。Figure5-2 泰勒展开与原函数对比(z小于1)图中展现的两个图像还是很相似的。但是如果我们看到更大的范围内，就并不相似了。下图是 \left
z \right|<5 的情形，两个图像差别很大，泰勒级数直接发散了。因为泰勒级数只是在 \left
z \right|<1 的范围内收敛。Figure5-3 泰勒展开与原函数对比(z小于5)我们接下来讨论它的洛朗展开。洛朗展开可以绕过奇点 z=1 ，从而在 \left
z \right|>1 时也能展开，这是泰勒展开做不了的，因为奇点的存在使得泰勒展开不能存在。f(z)=\left\{\begin{matrix} \sum_{n=0}^{\infty}{z^n},\left
z \right|<1
\\ -\sum_{n=-1}^{-\infty}{z^n},\left
z \right|>1 \end{matrix}\right. 我们查看它的负幂次部分，可以发现图像又和原函数相近了。即洛朗级数使得我们可以避开函数的奇点，从而获得在更大范围内收敛的级数。Figure5-4 洛朗展开的主要部分与原函数对比(z小于5)Figure5-5 洛朗展开的主要部分与原函数对比-俯视图(z小于5)附录 MATLAB代码注：在MATLAB中使用“hlep+函数名”可以查看官方文档教程，使用“doc+函数名”可以查看源代码。这里列出的是MATLAB的源代码，非本人所写。大家可以根据自己的需要更改下列代码，例如上文中z的模可以大于1即是我修改了cplxgrid函数。cplxgridfunction z = cplxgrid(m)
%CPLXGRID Polar coordinate complex grid.
%
Z = CPLXGRID(m) is an (m+1)-by-(2*m+1) complex polar grid.
%
See CPLXMAP.
%
Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.
r = (0:m)'/m;
theta = pi*(-m:m)/m;
z = r * exp(i*theta);cplxmapfunction cplxmap(z,w,B)
%CPLXMAP Plot a function of a complex variable.
%
CPLXMAP(z,f(z),(optional bound))
%
Used by CPLXDEMO.
%
%
See also CPLXGRID.
%
Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.
blue = 0.2;
x = real(z);
y = imag(z);
u = real(w);
v = imag(w);
if nargin > 2
k = find((abs(w) > B)
isnan(abs(w)));
if length(k) > 0
u(k) = B*sign(u(k));
v(k) = zeros(size(k));
v = v/max(max(abs(v)));
v(k) = NaN*ones(size(k));
end
end
M = max(max(u));
m = min(min(u));
axis([-1 1 -1 1 m M]);
caxis([-1 1]);cplxrootfunction cplxroot(n,m)
%CPLXROOT Riemann surface for the n-th root.
%
CPLXROOT(n) renders the Riemann surface for the n-th root.
%
CPLXROOT, by itself, renders the Riemann surface for the cube root.
%
CPLXROOT(n,m) uses an m-by-m grid.
Default m = 20.
%
C. B. Moler, 8-17-89, 7-20-91.
%
Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.
% Use polar coordinates, (r,theta).
% Cover the unit disc n times.
if nargin < 1
n = 3;
end
if nargin < 2
m = 20;
end
r = (0:m)'/m;
theta = pi*(-n*m:n*m)/m;
z = r * exp(i*theta);
s = r.^(1/n) * exp(i*theta/n);
surf(real(z),imag(z),real(s),imag(s));相关文章

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