高数有推翻了怎么证明1=0.99循环循环吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-08 05:26 标签： 怎么证明1=0.99循环
让我们用柯西序列来定义实数，并比较实数的相等。什么是“Cauchy序列”呢？一列有理数，任给一个误差界，序号足够大以后，后面任意两项的差距都小于这个误差界，那么它就是Cauchy序列。有限小数都是有理数。怎么描述“Cauchy序列定义实数”呢？ \lim_{n\rightarrow\infty}至少是这样的一个映射，将有理数列映射到实数。比如，对数列 \{q_n\} ，满足 \forall \varepsilon>0, \exists N: \forall n_1,n_2\ge N:|q_{n_1}-q_{n_2}|\le\varepsilon 条件后，定义 \hat q:=\lim_{n\rightarrow\infty}q_n 。这并不是“Cauchy序列的第无穷元 q_\infty ”的意思，因为∞不是自然数，所以 q_\infty 并没有意义。怎么描述实数的相等呢？两个等价的Cauchy序列决定的实数相等。那什么是等价的Cauchy序列呢？任给一个误差，序号足够大以后，两个序列对应项的差距都会小于误差。注意，这两个序列等价但不相等，两个序列的相等是说，相同序号的元素全都相同。循环小数 0.\dot 9 对应着一个序列 0.9, 0.99,0.999\cdots 它的通项是 a_n=\sum_{i=1}^n(9\times 10^{-i}) 。注意到 \forall \varepsilon>0, {\rm let\ }N=\min\{n\in\mathbb N|n\ge-\lg \varepsilon\} , \forall n_1, n_2\in\mathbb N:\\ N\le n_1<n_2\rightarrow
a_{n_1}-a_{n_2}|=\sum_{i=n_1+1}^{n_2}(9\times10^{-i})<10^{-N}\le\varepsilon 所以这个序列是Cauchy序列，它决定了一个实数。同时，记 1=1.\dot 0=1.000\cdots 对应着一个序列 1.0, 1.00, 1.000\cdots 它的通项是 b_n=1+\sum_{i=1}^n(0\times 10^{-i}) 。很显然这个序列也是Cauchy序列，它同样决定了一个实数。让我们判断这两个实数是否相等。\forall \varepsilon>0, {\rm let\ }N=\min\{n\in\mathbb N|n\ge-\lg \varepsilon\} , \forall n\in\mathbb N:\\ n\ge N\rightarrow
a_{n}-b_{n}|=1+\sum_{i=1}^{n}(0\times10^{-i})-\sum_{i=1}^{n}(9\times10^{-i})=1\times10^{-n}<10^{-N}\le\varepsilon 这就是说，序列 \{a_n\},\{b_n\} 确实是等价的Cauchy序列。因此，它们决定同一个实数：0.\dot9=1.\dot0\\ 事实上，所有的有限小数对应的有理数都存在两个小数表示，一个是这个有限小数本身（0的循环），另一个是这个有限小数末位减小一个单位，后面接一个9的循环。反之亦然：如果两个不同的小数表示决定同一个实数，那么这两个小数表示一定一个是0的循环（有限小数），另一个是9的循环，而且它们的非循环末位只差1。为什么振振有词？刚才定义的两个序列不是相等的。这些人故意混淆柯西序列的相等与柯西序列所决定的实数的相等的关系，最喜欢在这里喋喋不休，振振有词：“虽然偷书等价于窃书，但偷书不等于窃书，窃书不等于偷书”，云云。而且他说的还是真的，真拿他没办法。“相等”与“等价”的区别，在于前者多一个代入律。
1与0.9999…的大小争辩在于到底它们是相等还是1更大，持这两种不同观点的人数量都很多，互相都不能说服对方，都觉得对方是在挑战自己的科学信仰。支持1与0.9999…相等的 人，能给出很多1与0.9999…相等的证明，这里提一种比较简单的方法：但是学了数学分析似乎又会觉得没这么简单。这里涉及实数完备性的一些理论，比较复杂，我这里采取简单的方式叙述，区间套理论和戴德金分割就暂且不提了。首先我们知道实数是和数轴上的点一一对应的，且任意两个点之间都能有无数个点，也就是说任意两个实数间都有无数个实数，如果两个实数相等，则这两个实数之间没有其他数，这两个实数在数轴上用同一个点表示，意即表示这两个数的点之间没有“空隙”，这里我们先要对大于和等于分别作定义 ：我们先定义大于：若AB两数,A>B,那一定存在一个数X，使A>X>B.我们再定义等于：现在我们用上面大于和等于的定义来看1与0.9999…的关系，如果说1大于0.9999…，但1与0.9999…之间却不能找出“中间数”，而且1与0.9999…似乎也满足上面对等于的定义，即1与0.9999…之间的空隙小于任意给定的正数（无论这个正数可以有多么小），到这里我们发现已经不能反驳1与0.9999…相等了。出现上述矛盾的关键似乎在于无限靠近和相等到底是否等价。另外，其实0.9999…是否是一个确切的数都备受质疑，有人认为0.9999…是一个无限循环的过程，永远没有终点，所以它不是一个确切的数，或者说数轴上没有和0.9999…对应的点。那我们是否能设想给0.9999…一种数的定义呢，比如作如下定义：但在这种定义下0.9999…应该不等于1，否则分母为零，没有意义了。在这里我要顺便提一下“潜无穷”的概念，我们可以认为0.9999…是一种潜在的不断构造的过程，永远无法完结，不是一个实在的可完成的过程，这就将1和0.9999…的大小争辩变成了“潜无穷”与“实无穷”的争辩（数学分析中还有相应的标准分析与非标准分析）为方便理解，我们先谈谈“无穷小”，无穷小是潜在的还是实在的呢，意即无穷小是能达到的还是只能无限构造而无终结。关于这个，古希腊哲学家芝诺有著名的“芝诺悖论”，其中一个是说物体的运动是无法完成的，因为若物体要运动一段距离，则它需要先运动到这段距离的一半处，则它又需要先运动到一半的一半处，这个过程会一直持续无法终结，所以物体无法运动。不过现实是物体当然可以运动，难道无穷小的细分是能完结的？有种解释是，我们人类的思维是连续的，在思维过程中我们认为物质是可以一分为二，再分为二，无限细分没有终点的，但就目前而言已知宇宙中的物质却是离散的，不连续的，宇宙有最小的长度单元，即普朗克长度：所以好像思想上的无穷小是潜在的无法达到，而现实中的无穷小是实在存在的，它定义了宇宙的最小刻度，正因为“无穷小”的这种特点，导致它是那么令人琢磨不透，难以理解，也就使得当一个问题涉及到无穷时，也变得模棱两可，难以定论。至此，我们可以认为1与0.9999…的大小之争，也就是“实无穷”与“潜无穷”之间的争辩，其实两者之间没有严格的对错，只有选择的不同，意即在不同的“标准”下，会得到不同的结论。

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