在什么情况下可以使用等价什么时候不能用无穷小等价替换替换公式？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-28 21:25 标签： 什么时候不能用无穷小等价替换
1。等价无穷小的定义：在某一个极限过程，某一个量的极限为零，则这个量称为无穷小量。因此说某一个量是无穷小量首先必须指出在哪一个极限过程，比如当 x\rightarrow 0 时， x^2 是无穷小量；但是如果当 x\rightarrow \infty 时， x^2 就不是无穷小量。某一个极限过程，一般有以下几种情况：x\rightarrow x_0 ， x\rightarrow x_0^- ， x\rightarrow x_0^+ ， x\rightarrow \infty ， x\rightarrow + \infty ， x\rightarrow -\infty ， n\rightarrow+\infty 。这边顺便说一下 x\rightarrow \infty\Leftrightarrow
x|\rightarrow +\infty ，一般需要验证x\rightarrow + \infty ， x\rightarrow -\infty ，极限是否都存在并且是否相等的。还有人问0是不是无穷小量？显然，0在哪一个极限过程，它的极限都是0，所以0肯定也是无穷小量。2。需要大家记住常用的等价无穷小的公式：以下的公式的前提是：x\rightarrow0；其它的极限过程只需要做变换：(x\rightarrow a,x-a\rightarrow0;x\rightarrow\infty ,\frac{1}{x}\rightarrow0)；x\sim \text{sin}x\sim \text{tan}x\sim \text{arcsin}x\sim \text{arctan}x；这一行是与三角函数/反三角函数相关；x\sim e^x-1；x\text{ln}a\sim a^x-1这一行是与指数相关；x\sim \text{ln}(1+x)；\frac{x}{\text{ln}a}\sim\text{log}_a(1+x)这一行是与对数相关；\frac{1}{2}x^2\sim 1-\text{cos}x；\lambda x\sim (1+x)^\lambda -1；总结等价无穷小的特点：将比较复杂的指数函数，对数函数，三角函数/反三角函数转化为比较简单的幂函数，并且以上公式里面x可以代指任意无穷小量，比如： \text{sin}(\text{arctan}x)\sim \text{arctan}x\sim x 。3。可以使用等价无穷小的条件：要等价的部分使用等价无穷小替换之后还要和其他部分进行相乘除运算时，一般就能使用等价无穷小替换。而且在求极限的时候，能够使用等价无穷小的情况下应当尽量使用等价无穷小替换。例： \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\text{cos}x}{\text{sin}^2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2} 4。不能使用等价无穷小的条件：要等价的部分使用等价无穷小替换之后还要和其他部分进行相加减运算时，一般不能使用等价无穷小替换。例：\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\text{sin}x}{x^3}分子不能使用 \text{sin}x\sim x 替代。

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