前言这个笔记主要用作于我自己的期末考试。前两个部分(集合与逻辑、模型与关系)主要定义一些常用记号，大多关注定义而不关注证明。后几个部分(群论、环论、域论)则更多的关注证明和它的意义。1.基本数理逻辑1.1.命题逻辑的语义和语法概念1.1.1：命题一个仅有正确、错误两种解释的句子称作命题，我们一般使用命题符号来代表这个句子，命题符号常用 p,q,r 来表示，一般让某个命题符号代表某个命题，只需要在命题符号后加冒号再说明即可，如：数字 a 是自然数仅有正确、错误两种解释，所以它是一个命题，给定命题符号为 p ，写作如下形式即可： p:a\in\mathbb N 概念1.1.2：联结词多个语句可以通过连词连接成为一个语句，如：a 是自然数、 a 是有理数，我们下面设 q 指第二个命题，并写出常见的组合方式和其对应的联结词：否定符号：a 不是有理数： \neg q 合取符号：a 既是自然数也是有理数： p\wedge q 析取符号：a 是自然数或有理数： p\vee q 蕴含符号：a 只要是自然数就是有理数： p\to q 等价符号：a 同时为自然数和有理数： p\leftrightarrow q 定义：重言蕴含如果一个命题 \alpha 无论在什么情况下都是正确的，我们称其是一个重言式，写作 \models\alpha ，如果一个命题 \beta 无论在什么情况下都错误，那么称其为矛盾式，写作 \models\neg\beta。如果给定命题组成的集合 \Sigma ，集合内所有命题都正确的情况下，命题 \alpha 一定正确，那么称命题集合 \Sigma 重言蕴含 \alpha ，写作 \Sigma\models\alpha 。如果对于两个命题 \alpha,\beta 有 \alpha\models\beta 和 \beta\models\alpha 成立，那么称这两个命题重言等价语言：命题逻辑的语言命题逻辑的语言由下面三个部分构成：命题符号：是一个命题中的实词部分，它具有具体的含义命题联词：是一个命题中命题符号之间或单个命题的连接词，它主要用于构造更复杂的命题括号：括号用来将组合后的命题看成一个整体，从而与其它命题组合成更复杂的命题语法：合式公式的语法由上述三类符号随机组成的字串称作表达式，合乎语法的表达式称作合式公式，简称公式。上述三类符号仅能通过下述方式组成一个合乎语法的合式公式：第一级公式：每个命题符号自身都是一个合乎语法的合式公式下一级公式：对于合式公式 \alpha,\beta ，只有组成下述字串才能是一个合式公式：(\neg\alpha),(\alpha\wedge\beta),(\alpha\vee\beta),(\alpha\to\beta),(\alpha\leftrightarrow \beta) 公理&原理：归纳原理针对一个合式公式的性质，若满足下述条件，则一定正确：第一级成立：性质对于任何一个命题符号都成立下一级成立：成立的两个合式公式，其简单组合也成立说明：惯用表示一般的定理都可以解释为，在大前提 \Sigma 下命题 \alpha 一定成立，所以可以写作 \Sigma\models\alpha 名词 P 一般会被定义为，或等于某个值，或是一个事物的描述，或等价某个命题，我们都使用冒号进行定义，上述三种分别为： P:=value\quad P:describe\quad \Sigma\models \alpha\Leftrightarrow:P 在不引起歧义的情况下，我们可以认为等价符与推理符具有最低运算级，否定符具有最高运算级，并且可以任意的删除括号。大前提也可以直接展开写成 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots\models\beta ，并且可以不写上下文已经出现的以及公理1.2.命题逻辑的置换与推理公理&定义：真值表给定一个命题，它仅有正确、错误两种解释方式，我们可以把它的解释放进集合里面，直接使用 \{T,F\} 来代表这两种解释，称之为命题的真值。有时候我们也使用 \{0,1\} 代表命题的真值。给定一个命题的真值称作真值指派，给出两个命题的所有指派，结合语义理解的下一级合式公式的真值如下：\begin{matrix}p&q&\neg q&p\vee q&p\wedge q&p\to q&p\leftrightarrow q\\0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0\\1&0&1&1&0&0&0\\1&1&0&1&1&1&1\end{matrix} 定义1.2.1：指派函数合式公式的真值表可以看作是各命题真值到公式真值的一个对应，设一个公式由 n 个命题组合而成，那么这个对应 v:\{0,1\}^n\to\{0,1\} 称作命题的指派函数定义1.2.2：等值式如果两个公式 \alpha,\beta
的指派函数相同，那么这两个公式在同样的环境下拥有同样的解释，这意味着 \models\alpha\leftrightarrow\beta ，我们利用置换符号 \Leftrightarrow 并称 \alpha\Leftrightarrow\beta 为等值公式，不引起歧义的情况下也使用 \alpha=\beta 来代表等值公式，常见的等值公式有：其中的 \alpha,\beta,\gamma 为命题交换律： *\in\{\vee,\wedge,\leftrightarrow\}\models\alpha*\beta=\beta*\alpha 结合律： *\in\{\vee,\wedge,\leftrightarrow\}\models(\alpha*\beta)*\gamma=\alpha*(\beta*\gamma) 分配律： (*,\circ)\in\{(\wedge,\vee),(\vee,\wedge)\}\models\alpha*(\beta\circ\gamma)=(\alpha*\beta)\circ(\alpha*\gamma) 摩根律： \neg(\alpha\vee\beta)=\neg\alpha\wedge\neg\beta\quad\neg(\alpha\wedge\beta)=\neg\beta\vee\neg\alpha 定义1.2.3：推理式如果两个公式 \alpha,\beta 的指派函数满足 v_\beta(v^{-1}_\alpha(\{1\}))=1 ，也就是说当 \alpha 是正确时， \beta 也被解释为正确，这意味着 \models\alpha\to\beta ，我们利用推理符号 \Rightarrow 并称 \alpha\Rightarrow\beta 为推理公式，常见的推理公式有：其中的 \alpha,\beta,\gamma 为命题分离规则： (\alpha\to\beta)\wedge\alpha\Rightarrow\beta 拒取式： (\alpha\to\beta)\wedge\neg\beta\Rightarrow\neg\alpha 析取三段论： (\alpha\vee\beta)\wedge\neg\beta\Rightarrow\alpha 分类讨论： (\alpha\to\varphi)\wedge(\beta\to\psi)\wedge(\alpha\vee\beta)\Rightarrow\psi\vee\varphi 定义1.2.4：完备集如果一个集合中的符号，只选取一部分就有和原来所有符号相同的功能，那么我们称这一部分符号与原来的符号功能等价，并称这些符号组成完备功能集：联结词的一个完备功能集是 \{\neg,\vee\} 蕴含等值： \alpha\to\beta=\neg\alpha\vee\beta 等价等值： \alpha\leftrightarrow\beta=(\alpha\to\beta)\wedge(\beta\to\alpha) 系统：推演系统、可靠性与完备性由几个公理和推演规则组成的系统称作一个推演系统，我们选完备集 \{\neg,\to\} 的真值指派作为公理，分离规则 (\alpha\to\beta)\wedge\alpha\Rightarrow\beta 作为推理规则。对于公式集合 \Gamma 如果存在一个推演过程达到 \alpha ，那么称 \alpha 是 \Gamma 的一个定理，写作 \Gamma\vdash\alpha ，这个推演系统有如下几个性质：置换与推理：推理过程中所遇到的任何公式都可以使用等值式进行置换，并且可以使用推理式达到下一步可靠性与完备性：这个定理给出了以下结论 (\Sigma\models\alpha)\Leftrightarrow(\Sigma\vdash\alpha) ，它指出存在推演则一定正确，正确也一定存在推演1.3.谓词逻辑与三个范式概念：变元变元是一个占位符号，如果给定这个占位符号一个取值，将占位符号替换为这个元素，那么含有占位符号的形式字串就可以变成可解释的语言，所有变元的一切可能取值称作论域，变元必须能取到值定义：谓词含有变元 t 的字串，如果变元的每个替换，都使其变成一个合式公式，那么称这个字串是一个谓词，命题是特殊的谓词，谓词一般写作 F(t),G(t),H(t) 公理&定义：量词全称量词写作 \forall t ，我们可以认为公式 \forall t(F(t)) 的真值被定义如下：在论域下进行的所有可能的替换，得到的命题都为真，则公式是真的其它情况下上述公式都是假的，我们称存在量词为全称量词的否定 \exists t(F(t))=\neg\forall t(F(t)) 语言：谓词公式的语言谓词逻辑的语言由下的几个部分构成：括号(防止歧义)、联词(组合新语句)量词(特殊联词)、变元(构成谓词)、常元(构成谓词)谓词(语句的实词部分)、函数(对变元作用)语法：谓词公式的语法我们称由上述语言组成的合乎语法的字符串是一个谓词公式，简称公式，其语法如下：谓词符号本身就是一个谓词公式谓词公式的简单联结词组合也是谓词公式给定谓词公式 F， \forall t(F) 也是一个谓词公式性质：约束出现、自由出现如果谓词公式中，真值与变元有关，那么称这个变元是自由出现的，否则称其为约束出现的。一个谓词公式中含有变元真值却与变元无关，这说明：变元的论域只有一个元素，它本质上是一个常元变元受到量词的约束，公式的真确性被转换为与整个论域有关，而非单个变元的替换定理1.3.1：前束范式前束范式：一个谓词公式必然等价于一个由多个量词和不含量词的谓词组成的公式，这个公式被称为这个谓词公式的前束范式谓词公式 F(t_1,t_2,...) ，有一个形如 Q_1t_1Q_2t_2...\varphi 的谓词公式与它等价，其中 Q_i 为量词， \varphi 为不含量词的合式公式定理1.3.2：析取范式、合取范式析取范式、合取范式：称由各命题或其否定析取得到的式子为析取式，同理定义合取式。由合取式析取得到的是析取范式，同理定义合取范式，每个命题公式都必然存在唯一一个合取范式与析取范式与其等值针对由 p,q 组成的命题公式 p\to q ，有合取式 p\wedge q,\neg p\wedge q,p\wedge\neg q,\neg p\wedge\neg q 四个，与命题公式等价的析取范式为 (p\wedge q)\vee(\neg p\wedge q)\vee(\neg p\wedge\neg q) 说明：惯用表示针对 \Sigma\models F ，后方的谓词我们一般会使用前束范式在不影响歧义的情况下，前束范式会使用到这样的语法Q_1t_1[F_1(t_1)]\color{#f00}{,}Q_2t_2[F_2(t_1,t_2)]\color{#f00}{,}\color{#990}{\cdots}\color{#f00}{,}\varphi(t_1,t_2,...) 其中 Q_i 为量词， \varphi 不含量词，方括号内为变元要满足的性质2.集合定义与运算2.1.朴素集合的定义概念：元素、集合、属于、空集、集族我们把一些事物组成的集体称作集合，并称组成这个集体的事物为元素。如果一个元素 x 在集合 A 的内部，那么称这个元素属于这个集合，写作 x\in A 。如果一个集合中没有任何一个元素，那么称这个集合为空集，写作 \varnothing 。如果一个集合的所有元素都是集合，那么称这个集合是一个集族，一般用 \mathcal {A,B,C} 表示。定义2.1.1：包含、子集、幂集、超集如果集合 A 中的所有元素均在集合 B 中，我们称集合 A 包含于集合 B ，写作 A\subset B ，称集合 B 是集合 A 的超集。反之则称集合 A 包含了集合 B ，写作 A\supset B ，并称集合 B 是集合 A 的子集。集合 A 的所有子集组成的集合称作这个集合的幂集，写作 \mathcal P(A) 定义2.1.2：交集、不交、并集、划分拥有两个集合 A,B 所有公共元素的集合称作两集合的交集，写作 A\cap B ，若交集为空集则称两个集合是不交的。拥有两个集合 A,B 一切存在元素的集合称作两集合的并集，写作 A\cup B 。如果一个非空集族不包含空集，其中的任意两集合不交、若所有集合的并集是 K ，则称这个集族是集合 K 的一个划分。定义2.1.3：差集、论域、补集、称差给定 A 的超集 B ，超集中拥有的所有 A 以外的元素组成的集合称作 B 对 A 的差集，写作 B-A 或者 B\setminus A ，依上下文而定。如果一个集合是由一切我们关注的元素组成的，那么称它为论域，写作 \Omega 。论域对集合 A 的差集称作补集，写作 \complement A 或者 \overline A 或者 A^c ，依上下文定。给定两个集合 A,B 它们之中所有的不公共元素称作称差，写作 A\bigtriangleup B 或者 A\ominus B ，也是依上下文而定。性质：交并补运算律给定集合 A,B,C ，它们的交并差运算满足以下性质：交换律： *\in\{\cap,\cup\}\models A*B=B*A 结合律： *\in\{\cap,\cup\}\models A*(B*C)=(A*B)*C 分配律： (*,\circ)\in\{(\cap,\cup),(\cup,\cap)\}\models A*(B\circ C)=(A*B)\circ(A*C) 摩根律： (A\cup B)^c=A^c\cap B^c\quad(A\cap B)^c=A^c\cup B^c 合适的设置不同的论域，可以将补集的性质全部转换为差集的性质说明：数集的常用符号常用数集的符号我们一般使用黑板体，一般符号有这些：\mathbb N (自然数集)、 \mathbb N^* (非零自然数集)\mathbb Z (整数集)、 \mathbb Z^- (负整数集)、 \mathbb Z^+ (正整数集)\mathbb Q (有理数集)、 \mathbb R (实数集)、 \mathbb C (复数集)2.2.公理集合的定义语言&语法：集合的语言和语法集合的语言由集合符号和属于符号组成，属于给出了两个集合符号之间的关系，集合语言中的语法只有一个，这意味着公理集合中的元素只能是空集或者其它形式的集合：对于任何两个集合符号 x,A ， x\in A 是合乎语法的。不过在我们谈论集族和集合时，使用集族主要是为了强调这个集合之中，元素的元素是有意义的，座椅公理：ZF 00~04一个作为构造的基本元，一个创造了集合间的相等关系，后面三个给出了简单的构造法。00> 空集公理：\varnothing 是存在着的集合01> 外延公理：集合由其存在的元素唯一确定02> 对集公理：两个集合作为元素构成一个集合03> 并集公理：两个集合的并集构成一个集合04> 幂集公理：一个集合的所有子集构成一个集合公理：ZF 05~06这两条公理将集合与数理逻辑进行关联05> 分离公理：给定一个集合 A 和一个谓词 F ，集合中所有成真赋值构成一个集合，写作 \{x\in A|F(x)\} 06> 替换公理：给定集合 A 和一个函数 f ，函数所有在这个集合上的像构成一个集合，写作 \{f(x)|x\in A\} 下面给出的公式只关注条件部分，我们非歧义的写成\{|F\},\{f|\}交集与并集： \{|F\}\cap\{|G\}=\{|F\wedge G\}\quad \{|F\}\cup\{|G\}=\{|F\vee G\} 补集与差集： \{|F\}^c=\{|\neg F\}\quad\{|F\}-\{|G\}=\{|F\wedge\neg G\}=\{|F\}\cap\{|G\}^c 蕴含与等价： \{|F\to G\}=\{|F\}^c\cup\{|G\}\quad\{|F\leftrightarrow G\}=(\{|F\}\bigtriangleup\{|G\})^c 置换与推理： [F\Rightarrow G]\Leftrightarrow[\{|F\}\subset\{|G\}]\quad[F\Leftrightarrow G]\Leftrightarrow[\{|F\}=\{|G\}] 公理：ZF 07~08我们称集合 x 的后继为 x\cup\{x\} ，写作 S(x) 或者 x^+ ，依上下文而定。通过后继的定义我们能从空集出发得到无穷的不同的集合，也就是 \varnothing,\varnothing^+,\varnothing^{++},... ，我们称它们是自然数，所有的自然数能不能构成一个集合，我们需要下述公理的支持：07> 无穷公理：存在一个包含空集的集合，它所有元素的后继都在其中从上述公理通过分离公理我们可以直接得出，自然数集 \mathbb N 是存在的08> 正则公理：非空集合 A 总有元素 x 与自己的交为空， A\cap x=\varnothing它想要指出包含一切元素的集合是不存在的，因为会出现罗素悖论。我们可以简单的证明一下，如果存在包含一切的集合 \Omega 那么构造单点集 \{\Omega\}=I\cap\Omega\ne\varnothing ，矛盾。公理：ZFC 09我们可以用集合真类 \mathbf V 表示量 S 是一个集合，记作 S\in\mathbf V ，注意集合真类 \mathbf V 不是集合，若是集合显然会引起罗素悖论，集合的真类是集合论之外的概念，这里可以简单的认为 S\in\mathbf V 仅仅是一个一元谓词，它表示 S 是一个集合。09> 选择公理：总是存在集合与划分集族中的所有元素交为单点集我们可以用逻辑符号来描述选择公理，第一段说明集族不是空的且不包含空集，并且其元素是两两不交的，后一段说明有一个集合，这个集合与这个集族的所有集合都能交一个点：\forall\mathcal A\left[\begin{matrix}\forall A,B\in\mathcal A,A\cap B=\varnothing\\\varnothing\not\in\mathcal A\wedge\mathcal A\ne\varnothing\end{matrix}\right],\exists S\in\mathbf V,\forall A\in\mathcal A,\exists a\in A,S\cap A=\{a\} 除选择公理以外的称作 ZF 公理体系，包括选择公理的称作 ZFC 公理体系。2.3.集合的积与二元关系说明：各类省略在不引起歧义的情况下，如果条件是以合取式的形式出现，那么我们直接将其写为逗号定义中，直接使用替换公理或者选择公理，而不去特殊说明我们使用了哪个公理在省略变元取值时默认为变元的一切取值，这适用于量词和各类求和求积大符号定义2.3.1：序偶、前后件、多元组我们若要使用某种符号来描述两个元素之间的有序关系，那么这个符号至少要满足以下性质[(a,b)=(c,d)]\Leftrightarrow[a=c\wedge b=d] 可以验证 \{\{a\},\{a,b\}\} 是满足上述性质的，我们可以定义这种集合为序偶，就写作 (a,b) ，称 a 是序偶的前件， b 是序偶的后件。同理也可以定义多元的有序组，多元的有序组我们称作元组，它对于所有的元素都具有类似上述性质，于是我们定义多元组为：(a,b,\cdots):=\{\{a\},\{a,b\},\cdots\} 定义2.3.2：卡氏积、多元积、幂对于给定的两个集合 A,B ，我们称它们两个按照顺序可能得到的所有序偶组成的集合为这两个集合的卡氏积，卡氏积可以利用替换公里进行如下定义：A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\} 我们还可以定义多个集合的卡氏积，我们称多个集合按照顺序可能得到的一切多元组组成的集合为多元卡氏积，用替换公理描述如下：A_1\times A_2\times\cdots\times A_n:=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)|\forall k,a_k\in A_k\} 卡氏积显然不满足交换性，在不引起歧义的情况下，我们都简称积，同一个集合自身与自身相乘得到的结果称作这个集合的幂：A^n:=A\times A\times \cdots\times A 共有 n 个 A 定义2.3.3：二元关系、定义域、值域由序偶之间的顺序结构，我们可以构造出大量其它复杂的关系，称由序偶构成的集合为二元关系，一般用符号 P,Q,R 表示。更一般的，还有多元关系，但实际上多元关系也可以使用二元关系去描述，只要写成类似 ((a,b),c) 的形式就可以。我们称二元关系中一切元素的前件组成的集合为定义域，后件组成的集合为值域，它们分别被写作 dom(R),ran(R) ：A,B\in\mathbf V\models R\subset A\times B\Leftrightarrow:R 是二元关系R\subset A\times B\models dom(R):=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\} R\subset A\times B\models ran(R):=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\} 由于序偶构成的集合天然的具有定义域和值域，所以二元关系自然就是两个集合乘积的子集，于是我们可以直接这样定义二元关系，如果这两个集合是一样的，那么称这个关系是集合上的二元关系。如果一个序偶 (a,b) 在关系 R 中，我们记作 aRb ，否则记作 a\not Rb ，这是为了与 =,< 等关系符号的表示相同，从而为了强调它是一个关系。定义2.3.4：像、逆、逆象给定一个二元关系 R ，集合 A 中的一切元素作为前件，在这个关系中找到的对应的后件，一切后件做成的集合称作集合的像，写作 R[A] 。将二元关系中所有序偶的前后件调换得到的新序偶组成的新关系称作原关系的逆，写作 R^{-1} 。集合 B 在逆关系中的像称作集合的逆象，写作 R^{-1}[B] ：R\subset A\times B,Z\in\mathbf V\models R[Z]:=\{b|\exists a\in Z,aRb\} R\subset A\times B\models R^{-1}:=\{(b,a)|aRb\} R\subset A\times B,Z\in\mathbf V\models R^{-1}[Z]:=\{a|\exists b\in Z,aRb\} 显然像与逆象并不需要对输入的值进行定义域与值域上是限制，这个运算对一切的输入都是可计算的，因为它是使用替换公理来定义的。定义2.3.5：复合给定任意两个二元关系 Q,R ，通过对 Q 的输入得到输出，再重新输入 R 中得到输出。一切存在的输入输出组成序偶进而组成一个二元关系，这个二元关系称作 R 对 Q 的复合，写作 R\circ Q ，其中 Q 被称作内关系， R 被称作外关系：Q,R 是关系 \models R\circ Q:=\{(a,c)|\exists b,aQb\wedge bRc\} 复合的实际作用域是内关系值域和外关系定义域之交，所以有时候我们也会直接限定内关系值域在外关系定义域内部，不过这实际上并不会影响结果。定义2.3.6：限制、扩张给定一个二元关系 R 我们把它的定义域缩小到为 Z ，把其前件不为 Z 内元素的序偶全部去除，剩下的新关系我们称作为原关系的限制，写作 R|_Z 。反之如果存在一个关系 Q 使得 R 是它的限制，那么称 Q 是 R 的扩张R\subset A\times B,Z\in\mathbf V\models R|_Z:=\{(a,b)|a\in Z,aRb\} 3.映射定义及其性质3.1.映射关系的定义定义3.1.1：映射如果一个 X\times Y 上的二元关系 f 满足下述两个条件，那么我们称这个二元关系是一个映射，并将其写作 f:X\to Y 前者说明了 X 中所有元素的像是存在的，后者说明这个像还是唯一的：像的存在性： \forall x\in X,\exists y\in Y,xfy 像的唯一性： \forall x\in X,\forall y_1,y_2[xfy_1,xfy_2],y_1=y_2 定义3.1.2：像、原像、层我们称映射中的元素 xfy 中的 y 称作 x 的像，并写作 y=f(x) 或者 f:x\mapsto y 。若想要同时声明对应集合和对应关系，则可以写作 f:X\to Y:x\mapsto y 对于 y=f(x) 称 y 为 x 的原像，写作 f^{-1}(x) ，如果原像不唯一，则给出 \{x|xfy\} 为 y 的原像集，我们称它为 y 在 f 上的层，写作 f^{-1}(\{x\}) 。由于映射本身还是关系，所以来自于关系的运算，除特殊说明外，全部都可以使用。定义3.1.3：定义域、到达域、值域映射 f(x) 中变元的一切可取值我们称作映射的值域，写作 dom(f) ，同理它能够得到的一切值称作值域，写作 ran(f) 或者 Im(f) ，依上下文而定。给定映射 f:X\to Y ，前者显然就是定义域，而后者包含值域，我们称后者为映射的到达域，映射的到达域是不唯一的。定义3.1.4：单射、满射、双射、逆映射给定映射 f:X\to Y ，如果值域与到达域相同，那么称它是一个满射，它给出了原像的存在性。如果定义域中每个元素的像都不同，那么称它为单射，它给出了原像的唯一性。若同时满足上述两者，那么这个映射从原像到像的这个逆关系，也满足映射关系的定义，我们称其为逆映射。并称同时满足上述二者的映射是一个双射，也称它是一个一一映射。f:X\to Y\models \forall y\in Y,\exists x\in X,xfy\Leftrightarrow:f 是满射f:X\to Y\models \forall x_1,x_2[ x_1\ne x_2],f(x_1)\ne f(x_2)\Leftrightarrow:f 是单射定义3.1.6：复合、限制、扩张、乘积映射的复合我们在二元关系的复合之上，添加了 ran(f)\subset dom(g) 的设定，这保证了 g(f(x)) 是有意义的表示。映射的限制我们在二元关系的限制上，增加了 Z\in X 的设定，这保证了 f(z) 是有意义的表示：f:X\to Y,g:Y\to Z\models g\circ f:=\{(x,z)|\exists y,xfy,ygz\} f:X\to Y,Z\subset X\models f|_Z=\{(x,y)|x\in Z,xfy\} 上述定义的映射的复合一定也是一个映射，因为像的存在唯一性实际上是一个可复合的性质。在之后使用 g(f(x)) 类似的记号过程中，视函数 g,f
是对 x 的一种变换，与 dx,Ax 相似，都记作 gfx 我们将以下函数定义为函数的乘积，它也是一个函数，注意复合运算之间的区别：f:A\to B,g:X\to Y\models f\times g:=\\h:A\times X\to B\times Y:(a,x)\mapsto(f(a),g(x)) 3.2.常见映射与性质例子3.2.1：恒等、常值、置换、投影如果一个定义在集合 S 上的映射将输入直接输出，那么称它为恒等映射，写作 id_s 如果一个映射无论输入什么都输出同一个量，那么称它为常值映射，如 f:X\to\{y\} 如果一个映射定义域和值域是同一个元素有限的集合，那么称这个映射为置换输入一个多元组，能够将其中的某个分量输出的映射，我们将它称作称作投影，记作：p_i:A_1\times A_2\times\cdots\to A_i:(a_1,a_2,\cdots)\mapsto a_i 例子3.2.2：自然映射、二元运算给定集合 A 和它的一个划分 \mathcal A ，能够将 A 中的元素映射到 \mathcal A 中含有此元素的集合上去，称作自然映射：[x]\mapsto\{y|\exists D\in\mathcal A,x\in D,y\in D\} 给定一个集合 S ，我们称这个集合上的二元运算被定义如下：S^2\to S:(a,b)\mapsto a\circ b 我们省去了函数名称，因为它的使用并不涉及到到它的名称性质3.2.1：复合运算的结合律这个性质非常重要，我们有必要去证明它，这个定理被描述为： h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f 证明：设 f:X\to Y,g:Y\to Z,h:Z\to H 首先证明 (g\circ f)(x)=gfx ：由于 (g\circ f)(x) 的值 z 被 \exists y,xfy,ygz 唯一的定义着，而 xfy\wedge ygz\Rightarrow [y=fx]\wedge[z=gy]\Rightarrow z=gfx ，于是得证再证明定义域和对应关系唯一决定着映射：充分性显然，下证必要性。如果定义域相同，那么能构造两个映射关系中序偶前件相同时对应的序偶的一一映射，如果对应关系相同，那么与前件对应的两个后件是同一个，这说明此映射是恒等映射。恒等映射的定义域和值域是相等的，所以原映射相等。最后证明题设：由于定义域和对应关系唯一决定映射，所以只要证明对于每个输入输出相同即可，由于 (h\circ(g\circ f))x=h(g\circ f)x=hgfx=(h\circ g)fx=((h\circ g)\circ f)x ，故得证。由于与计算顺序无关，所以我们之后可以将复合统一写为 fg=f\circ g 并称其为函数的乘法性质3.2.2：单满性是可复合的对于任意两个可复合的映射，如果它们同时为单射、满射或双射，那么它们的复合也为单射、满射或双射证明：设 f:X\to Y,g:Y\to Z 对于一个单射，不同的输入一定带来不同的输出。在 f 中的不同输入带来的不同输出，放到 g 中继续做不同输入进行又得到不同输出，于是对于 gf 有不同输入带来不同输出，于是是单射。对于一个满射，到达域所有的值都有原像。在 g 中到达域的原像在 f 的到达域中，于是又得到了 f 的原像，于是对于 gf 给定到达域都有原像，于是是满射。由于单射与满射都是复合不变的，于是双射也是符合不变的，故得证。定义3.2.1：可逆、左逆、右逆给定函数 f:X\to Y 函数 f 可以左逆，是指存在一个函数 g 满足 gf=id_{X} 函数 f 可以右逆，是指存在一个函数 g 满足 fg=id_{Y}函数 f 可逆，是指这个函数不仅可以左逆而且可以右逆性质3.2.4：可逆的条件一个函数如果可逆，当且仅当是一个双射；一个函数如果可左逆，当且仅当是一个单射；一个函数如果可右逆，当且仅当是一个满射。证明：设 f:X\to Y 当 f 为单射，只要取 g 是 f 的逆关系即可，此时有 gf=id_X 。如果存在 g 满足条件，不同的输入根据恒等映射得到不同的输出，再根据函数 g 的像的唯一性，可以得到其在 g 的原像不同，也就是说在 f 的像不同，于是 f 是单射。当 f 为满射，取 f 的逆关系，每个不同的前件选取一个序偶组成新关系，这个新关系作为函数 g 满足 fg=id_Y 。如果存在 g 满足条件，由于恒等映射能取到全部的 Y ，所以外函数 f 也能取到全部的 Y ，于是 f 为满射。当 f 为双射，其本身存在逆映射，逆映射满足条件，所以可逆。当存在 g 满足条件，这意味着函数根据上两步得到的结论，这意味着函数既是单射又是满射，所以函数是双射。如果 f 是一个有限集上的函数，单射满射满足其一就是双射，这个证明需要用到鸽巢原理，即 n+1 个元素组成 n 个集合，必有一个集合至少 2 个元素，证明比较简单，我们不去论述。

一、两个率的比较（一）X2检验的基本公式下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X2检验。其基本步骤如下：1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H：π1=π2。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H1。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H1：π1≠π2因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。计算理论频数也可用下式（3.4）TRC=nRnC/N(3.4)式中，TRC为R行与C列相交格子的理论频数，nR为与计算的理论频数同行的合计数，nC为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T1１）为T1１＝75×70/200=26.25用两种方法计算，结果是相同的。4．计算χ2值，计算χ2值的基本公式为：X2=∑（A-T）2/t　（3.5）式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ2值。此例χ2=4.929。从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ2值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ2值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ2值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ2值表（附表1），查χ2值表前先要定自由度。5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：ν=（R-1）（C-1） （3.6）式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。6．求P值，作结论　根据自由度查χ2值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ2值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ2值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ2值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ2值也越大。χ2值与概率P呈相反的关系。χ2检验的常用界值为：χ220.05（）P>0.05 在α=0.05水准处接受H，差别不显著χ20.05≤χ220.01()0.05≥P>0.01在α=0.05水准处拒绝HO，接受H1，差别显著χ2≥χ20.01（）P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝HO，接受H1，差别显著这里α是预定的检验水准。χ20.05（）是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ2值，简称5%点，χ20.01（）是与P=0.01相对应的χ2值，简称1%点。当ν=1时，χ20.05（1）3.84，χ20.01（1）=6.63。本例自由度为1，求得χ2=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ20.05（1）220.01（1）。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ2=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H，接受H1，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。在α=0.05水准处拒绝H，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。下面将实例的检验步骤集中列出。例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较组别
治疗人数
死亡人数
病死率（%）
抗凝血组
75
19
25.33
对 照 组
125
51
40.80
总 计
200
70
35.00
检验步骤如下：1．将资料列成四格表形式，如表3.6。表3.6　四格表式样
死亡
生存
合计
抗凝血组
19(26.25)
56(48.75)
75
对照组
51（43.75）
74(81.25)
125
总 计
70
130
200
2．H：两疗法的总体病死率相同，即π1=π2H1：两疗法的总体病死率不同，即π1≠π2α=0.053．求理论频数抗凝血组：死亡人数为75×35.0%=26.25人存活人数为75-26.25=48.75人对照组：死亡人数为125×35.0%=43.75人存活人数为125-43.75=81.25人把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。4．求χ2值 将表3.6里的数值代入式（3.5）得，5．求自由度，确定P值，作结论ν=（2-1）（2-1）=1，χ20.05（1）=3.84,χ20.01（1）=6.63,本例χ2=4.929,χ20.05（1）220.01（1），则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H，接受H1，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X2检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ2值，二者相差越大，χ2值也越大。本例得χ2=4.929，根据自由度为1时的χ2分布推断，从同一总体内抽样，出现χ2值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。（二）连续性校正公式χ2检验是以连续的光滑曲线做根据的，当自由度为1时，χ2检验所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ2值比不校正的小一些，校正公式是：（3.7）公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。将表3.5资料代入式（3.7）得：检验两个率相差的显著性时（此时自由度为1），理论上都可用校正公式。但当用公式（3.5）求出的χ2值小于3.84时，相应的P值大于0.05，表示两个率相差不显著，校正后χ2值更小，仍得同样结构，就无须校正；当用未校正公式求出的χ2值远远超过3.84时，校正后的结论仍相同，在此种情况下也可不校正；当自由度为2及以上时，则不必校正。当用公式（3.5）求出的χ2值略大于3.84时，校正最为必要，往往会改变原来的结论，举例如下。例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。表3.7　六六六粉两种配方灭黄鼠的效果
烟薰后鼠洞情况
合 计(实验观察洞数)
灭洞率（%）
未盗开
盗　开
04号配方
13(16.63)
9(5.37)
22
59.1
05号配方
80(76.37)
21(24.63)
101
79.2
总 计
93
30
123
75.6
现用公式（3.5）及式（3.6）分别计算χ2值如下：校正后的χ2值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水准处接受H，认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异，这相结论是比较合理的，如果不经校正就会得出错误的结论。（三）四格表中求χ2的专用公式用上述基本公式（3.5）求χ2值，需要求出与实际频数一一对应的理论频数，运算较繁。在四格表中，用下列专用公式较为简便。（3.8）式中a、b、c、d为四格表中的实际频数，N表示总例数（即N=a+b+c+d）。现仍以表3.5资料为例，先写成四格表形式，如表3.8。表3.8　四格表求χ2值专用公式的符号
死 亡
生存
合 计
抗凝血组
19(a)
56(b)
75(a+b)
对照组
51(c)
74(d)
125(c+d)
70（a+c）
130(b+d)
200(N)
将实际频数代入式（3.8）得，这里用专用公式求得的χ2值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。前面已介绍了连续性校正公式（3.7），为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续性校正公式（3.9），并以表3.8资料代入计算如下：（3.9）所得结果与式(3.7)求得的一致。二、多个率或多个构成比的比较（一）2×K表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算χ2值较为简便。如果是多个率比较，就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数，2为每个组内所划分的类型数。求χ2值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便：（3.10） （3.11）表3.9　2×K表形式之一a1a2┆┆
b1b2┆┆
n1n2┆┆
∑ai
∑bi
N
公式中符号的意义参阅表3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂）预防疟疾复发的效果，用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表3.10，问三组复发率有无显著差别？表3.10　三个组的疟疾复发率组　别
观察例数
复发例数
复发率（%）
吡嗪磺合剂乙胺嘧啶对　照
1996473484
762753
3.815.7110.95
合　计
2953
156
5.28
χ2检验步骤如下：1．将表3.10资料写成2×K表形式，见表3.11。注意：这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分，这样表3.10就为写成2×3表。表3.11　三个组疟疾复发率的比较
复发
未复发
合 计
吡嗪磺合剂
76
1920
1996
乙胺嘧啶
27
446
473
对 照
53
431
484
合 计
156
2797
2953
2．H：三个总体复发率相同H１：三个总体复发率不全相同α=0.053．求χ2值 将表3.11的数值代入式（3.10）（因为在表3.11中，各组的a值较小，计算较方便）得：4．求自由度，确定P值，作结论ν=（K-1）（2-1）=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01(2)=9.21，本例χ2=39.92>χ20.01(2)，P1，即三个组的复发率有显著差别。本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是：吡嗪磺合剂与对照组比（P0.05），说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。表3.12　2×K表形式之二a1
a2
……
∑ai∑bi
b1
b2
……
n1
n2
……
N
例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？表3.13　某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较县名
弥漫型
结节型
混合型
合计
甲县
486
2
4
492
乙县
133
260
51
444
合计
619
262
55
936
检验步骤如下：1．H：两总体甲状腺肿型别构成相同H1：两总体甲状腺肿型别构成不同α=0.052．求χ2值， 将表3.13中的数值代入式3.10得：3．求自由度，确定P值，作结论。ν=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01(2)=9.21,本例，χ2=494.36，P1，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P
此类资料经χ2检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。（二）R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时，可用基本公式（3.5）,但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ2值，较为简便。（3.12）式中，Aij为i行第j列的实际频数，ni为第i行的合计数，nj为第j行列的合计数，N为总频数。这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2×K表资料的X2值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为简便。例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？表3.14　胆结石类型与部位的关系结石部位
总例数
例 数
百　分　比
胆固醇结石
胆红素结石
其它
胆固醇结石
胆红素结石
其它
胆囊
118
70
16
32
59.3
13.6
27.1
肝外胆管
75
12
39
24
16.0
52.0
32.0
肝内胆管
29
2
20
7
6.9
69.0
24.1
合计
222
84
75
63
37.8
33.8
28.4
检验步骤如下：1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.表3.15　胆结石类型与部位的关系结石部位
结 构 类 型
胆固醇结石
胆红素结石
其它
合计
胆囊
70
16
32
118
肝外胆管
12
39
24
75
肝内胆管
2
20
7
29
合计
84
75
63
222
2．H：胆结石的类型与部位没有关系H1：胆结石的类型与部位有关系α=0.013．求χ2值 将表3.15数值代入式（3.12）得：4．求自由度，确定P值，作结论。ν=（3-1）（3-1）=4，查χ2值表得χ20.01(4)=13.28，本例χ2=64.0620.01。在α=0.01水准处拒绝H，接受H1，胆结石类型与部位有显著关系存在（P
第二章　统计表与统计图练习题
第二章　统计表与统计图第一节　X2检验节一、两个率的比较节