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说明：^2——表示平方∵x^2+y^2-2xy=(x-y)^2>=0∴x^2+y^2>=2xy∴√(x^2+y^2)>=√(2|xy|)1/√(x^2+y^2)<=1/√(2|xy|)|xy|/√(x^2+y^2)<=|xy|/√(2|xy|)——即①<=②lim(x→0,y→0)|xy|/√(2|xy|)=lim(x→0,y→0)√|xy|/√2=0∴|xy|比√(2|xy|高阶无穷小。
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如lim(3x^3-2x-5）/(4^3+x^2+3)=3/4x—∞但是为啥lim(x^2/2)/(2x^2)=1/4这题是x无限趋于0的（不是上题一样趋于∞）x—0...
如lim (3x^3-2x-5）/(4^3+x^2+3)=3/4x—∞但是为啥lim (x^2/2)/(2x^2)=1/4 这题是x无限趋于0的（不是上题一样趋于∞）x—0
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展开全部楼主，教给你一个方法1.抓大头当x趋于无穷（可正可负）时，看分子分母x的最高次的次数①分子次数小于分母次数，极限为0（x/x^2=0)②分子次数等于分母次数，极限为最高次系数的比值。如第一个例子。③分子次数大于分母次数，极限不存在2.0/0型当x趋于0时看x的最低次数①分子次数高于分母次数，极限为0（x^2/x=0)②分子次数等于分母次数，极限为分子分母最低次系数的比值（如第二个例子）③分子次数低于分母次数，极限值不存在。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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最近有很多人纠结于等价无穷小的问题，主要在于分式的分子分母中有加减法时是否能用等价无穷小。这里我写了篇小干货，分享给大家。这篇文章中用到了我之前的浅谈相等关系与等价关系中的记号，～与一般书上等价无穷小的记号无关，请大家在日常考试中不要用本文的记号。出了事概不负责。这里我们以～来表示高阶无穷小，主要是为了表示“...【是】...的高阶无穷小”而非“...【等于】...的高阶无穷小”。此外， f(x)-g(x)\sim o(h(x)) 往往可被记作 f(x)\sim g(x)+o(h(x)) 用到的定理1.如果 \lim_{x \to x_0}f(x) 和 \lim_{x \to x_0}g(x) 都存在，那么 \lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=(\lim _{x \to x_0}f(x))(\lim _{x \to x_0}g(x)) 2.在 x \to 0 时，ko(x^m)\sim o(x^m)o(kx^m)\sim o(x^m) o(x^m)o(x^n)\sim o(x^{m+n}) x^mo(x^n)\sim o(x^{m+n}) \frac{o(x^m)}{x^n}\sim o(x^{m-n}) 在 x=0的某个邻域中有o(f(x)) \leq
f(x)
在 m \geq n 时，有 o(x^m)+o(x^n)\sim o(x^n) ， o(x^m+x^n)\sim o(x^n) 3.Taylor公式： f(x)\sim \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)Maclaurin公式: f(x)\sim \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n) 4.复合函数的等价无穷小设 y=f(x) 满足 f(0) ,f^{\prime}(0) , f^{\prime}(P(0)) 都存在且 f^{\prime}(0) \neq 0 ， P(x) 是最高项次数为m的多项式，那么在 x \to 0 时，有公式 f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))\sim o(f(x^m)-f(0)) 证明：\lim_{x \to 0}\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{f(x^m)-f(0)}=\lim_{x \to 0}\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)} 而 \lim_{x \to 0}\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}=f^{\prime}(P(0)) \lim_{x \to 0}\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{o(x^m)}{x^m}}{\frac{f(x^m)-f(0)}{x^m}}=\frac{0}{f^{\prime}(0)}=0 故原命题成立5.等价无穷小的复合函数设 P(x) 是最高项次数为m，最低项次数为n的多项式，那么o(P(x)+o(x^m))\sim o(x^n) 证明：\lim_{x \to 0}\frac{o(P(x)+o(x^m))}{x^n}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{o(P(x)+o(x^m))}{P(x)+o(x^m)}}{\frac{x^n}{P(x)+o(x^m)}}=0 6.带高阶无穷小的有理分式设 P(x) ， Q(x) 分别是最高项次数、最低项次数为 m_1,n_1 ， m_2,n_2 的多项式，即 P(x)=\sum _{k=n_1}^{m_1}a_kx^k , P(x)=\sum _{k=n_2}^{m_2}b_kx^k ，其中 a_{n_1},b_{n_2},a_{m_1},b_{m_2} \neq 0 , n_1,n_2 \geq 1 那么，\lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)}{Q(x)} 证明：我们仅讨论 n_1=n_2 时的情形，当其不等时，证明类似并且结论平凡。由于 \lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{n})}{Q(x)+o(x^{n})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{n})}{x^n}\frac{x^n}{Q(x)+o(x^{n})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)}{Q(x)} 正文我们在计算极限的过程中，最常遇见的，便是 \frac{0}{0} 型的极限。常用的做法有，约分、等价无穷小代换、L'Hospital法则、Taylor展开。事实上，根据我们的第3条定理，等价无穷小代换和L'Hospital法则其实只是Taylor展开的低阶形式，所以，我认为在计算这种极限的时候，还是用Taylor展开比较具有普适性。所以我建议大家在计算极限的时候，总是带上高阶无穷小，而非愣头愣脑地直接用等价无穷小。计算 \frac{0}{0} 型极限的步骤，是运用上述定理1、2、3、4、5，将其化成有理分式带上高阶无穷小的形式，再用定理6化简，或者用约分等方法得出结论。【例题】求 \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{1-\cos x } 解： \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{1-\cos x }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x\sin x+o(x\sin x)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) } 而 o(x\sin x)\sim o(x^2+xo(x))\sim o(x^2+o(x^2))\sim o(x^2) 故原式= \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2+xo(x)+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2+o(x^2)+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{\frac{1}{2}x^2 }=1 求 \lim_{x \to 0}\frac{2^{\sin x}-2^x}{x} 解： \lim_{x \to 0}\frac{2^{\sin x}-2^x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2^{x}-2^x+o(2^x-1)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{o(x\ln2+o(x))}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{o(x)}{x}=0 接下来我们对上述6个定理中的部分内容进行一定的阐释。首先，这其中的许多定理都是被限定在 x \to 0 的情况下，这是由于Maclaurin公式的存在，导致我们讨论极限只需要这样。即使不能在x=0处展开，我们也可以利用 t=x-x_0 来将极限化归为这种类型。其次，我们在多项式后的高阶无穷小总是与多项式次数相同。这也是Maclaurin公式决定的。对于不同的情况，我们要么把高阶无穷小利用定理2进行变化，要么就纯粹是高阶无穷小的题，而非一般函数的题，我们就不再讨论。还有就是，定理4和5其实是有关系的。对于复合函数来说，如果先对内函数用Taylor展开，那么就用定理4；如果先对外函数用Taylor展开，那么就用定理5.此外，还需声明的是，有时候用定理4或定理5之后得出的结论不一样，也就是先展开外函数和先展开内函数的结果所带的高阶无穷小不同。这个就看缘分吧。以及，定理4中有一个条件， f^{\prime}(0)\neq 0 。这个条件我总觉得有些辣眼睛。我试着规避这个条件，但总是找不到合适的替代条件。事实上，如果 f^\prime (0)=0 ，有反例 f(x)=x^2 , g(x)=\sqrt{1+x^2} , m=1 。对于定理6，事实上，它的公式我们不太需要记住。定理6的目的是告诉大家，只有 n_1,n_2 \geq 1 时才能出现有效的结果。在我们正规计算极限的过程中，实际上就是把定理6证了一遍。比如求 \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-e^x}{\sin x} ,正规过程即为 \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-e^x}{\sin x}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)-(e^x-1)}{x}\frac{x}{\sin x}=-\frac{1}{2} .【下述重要】此外，为什么等价无穷小只能用于乘除，而不能用于加减呢？事实上，这与我们定理6有关。在分式的分子或分母中，事实上是可以用等价无穷小的，但只有在不被抵消为0的情况下可以。比如说，如果分子或分母中是 x-\sin x ,那么只能通过等价无穷小代换至 \frac{1}{6}x^3+o(x^3) ,而不能代换成 o(x) ,因为此时高阶无穷小前多项式的最低次项的次数是0，不符合定理6中 n_1,n_2 \geq 1 的条件。【上述重要】我们讲了这么多定理，事实上，大多数都不是在标准课本上的（事实上，有些定理网络上也没有。。。）。所以在正规考试中也不能用。我用这些定理的目的，是让大家理解为什么在某种情况下能用等价无穷小，但在某种情况下用等价无穷小就是错的。接下来，我们看一些非 \frac{0}{0} 型的极限的求法：0\cdot\infty=\frac{0}{(\frac{1}{\infty})} , 1^\infty =e^{\infty \ln 1}=e^{0 \cdot \infty} 以及，一些灵活的技巧，如：求 \lim_{x \to \infty}(\sin \frac{4}{x}+\cos \frac{2}{x})^x 原式= \lim_{x \to \infty}((1+\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))^\frac{1}{\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x})})^{x(\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))}=e^{\lim_{x \to \infty}{x(\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))}} 而 \lim_{x \to \infty}{x(\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))}=\lim_{t \to 0}\frac{\sin (4t)-(1-\cos (2t))}{t} 就变成了正常的分式极限以上就是用等价无穷小求极限的我的一点思考。