多分支承力盘桩,multi branch pile by extrusion,音标,读音,翻译,英文例句,英语词典
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1)&&multi branch pile by extrusion
多分支承力盘桩
2)&&bearing disc pipe
3)&&bored pile with expanded branches
In this paper,the application of a bored pile with expanded branches in the soft soils was expounded.
阐述了挤扩多支盘桩在软土地区的应用情况,通过现场静载荷试验,分析了钻孔灌注桩和挤扩多支盘灌注桩的承载力,采用高应变动力试验方法,研究了多支盘灌注桩的承载性质,从而提高了支盘的承载力。
4)&&pile bearing force
The structure and working principle of hydraulic hammer,pile bearing force calculation and management method of relation construction are described in this paper.
介绍液压锤的构造、工作原理、打桩支承力的计算和相关的施工管理方
5)&&pile with branches and plates
挤扩多支盘桩
This paper introduces the use of cast-in-place pile with branches and plates in the actual engineering cases,and comparison is conducted between this particular type of usage and the common use of cast-in-place pile under the same working conditions.
介绍了挤扩多支盘桩在工程实例中的应用,并对工程同场地内的挤扩支盘桩与普通钻孔灌注桩进行承载力和沉降的对比试验研究。
Compared with column bored pile,the bored pile with branches and plates is a new type of piles with higher bearing capacity and lower settlement.
针对挤扩多级支盘桩相对于普通等截面直孔灌注桩具有较高承载力和较低沉降量的特性,采用自平衡静载荷试验方法,对浙江湖州市某工程同一场地中的挤扩多支盘桩与普通等截面直孔灌注桩进行极限承载力的对比试验研究。
6)&&branch-cement-soil pile
多支盘水泥土桩
Non-linear finite element method analysis on branch-cement-soil pile;
多支盘水泥土桩的非线性有限元分析
The analysis of finite element method of branch-cement-soil pile;
多支盘水泥土桩变形特性的非线性有限元分析
补充资料：桩的横向受力计算
&&&&　　桩除了支承轴向荷载外，有时还受到垂直于桩轴方向的横向力及弯矩的作用，如码头、海洋构筑物或挡墙下的桩基。分析地震对桩基的作用，亦有假定在桩顶施加等代横向静荷载的方法。桩是细长构件，在横向受力时的承载力远小于轴向受力时的承载力。但在近代海洋石油平台中应用的大直径厚壁钢管桩，使单桩横向承载力也能高达数百吨。　　　　在横向力或弯矩作用下，单桩可能因出现下列情况而破坏：①桩身由于荷载产生的弯矩过大而断裂；②桩周土被挤出，从而导致桩的整体转动、倾倒或桩顶位移过大。　　　　单桩的横向承载力与桩的入土深度、桩的截面强度和抗弯刚度、桩顶和桩底的嵌固条件、荷载性质、有无轴向荷载同时作用、桩周土的强度与变形性质以及上部构筑物特性等许多因素有关。常分别按刚性桩和柔性桩计算。　　　　刚性桩 　刚性桩（长径比L／d小于10～12）的破坏受土的强度控制，常按平面土压力理论或其他简化方法（如布罗姆斯理论）计算（图1）;破坏荷载可按桩在土中绕桩身某点旋转而使四周土体达到极限平衡的条件求得。　　　　　　柔性桩 　柔性桩（L／d远大于12）的上部尽管亦会使土因塑性挤出而破坏，但由于桩嵌固较深，不会出现整体转动，因此须计算桩身内弯矩沿深度的分布，并确定最大弯矩值及其位置，以及荷载与桩顶变位间的关系。柔性桩的计算方法有：基床系数法、弹性半空间法以及有限元法。后者，由于三维课题及土的参数选用等问题，还仅限于在弹性阶段作研究尝试，在工程中尚未应用。　　　　基床系数法 　利用1867年由E.温克勒提出的假定，将横向力作用下的桩视为支承在弹性地基上的梁进行分析（见地基上梁和板）。它完全忽略土体的连续性，假定桩身任何深度处单位面积上的土抗力 р仅和桩在该点的挠度у有关：　　　　　　　　　 　　р＝khy　　　　　　　　　　(1)式中kh为土的横向基床系数，与桩径及挠度大小或土中的应力水平有关。根据力学关系可得桩的挠曲微分方程式为　　　　　　　　　　　　　　(2)式中d为桩的计算宽度；EI为桩截面的抗弯刚度;рz为轴力。　　　　当无轴力同时作用或挠度很小时，第二项可略去不计；如将地基土模拟为均质线性弹簧，则按式(1)，得：　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)其中称为桩的形变系数,反映桩土的相对刚度，可用作划分计算方法适用范围的定量参数。式(3)在1931年由张有龄按已知边界条件求得不同荷载及桩顶嵌固条件下桩身各点的位移、转角、弯矩、剪力与荷载的关系：　　　　　　 　位移　　　 (4)　　　　　　 　转角　　　　(5)　　　　　 　　弯矩　　　　　　(6)　　　　　　 剪力　　　　　　　(7)式中H、M分别为作用在桩顶处的横向力及弯矩；A和B为有关的计算系数。　　　　基床系数法的特点之一是可将土视为不同刚度的弹簧，用比较简单的方法考虑土抗力与桩挠度间关系随深度的变化（图2）以及非线性特点,因此，土抗力可写为　　р＝kymzn　　　　　　　　　　(8)系数k、 m、n可分别按所取图式、桩顶位移条件及试桩水平荷载试验实测数据求得，并可与现场试验数据建立经验关系。中国交通部公路科学研究所提出的适用于计算大直径低配筋率钻孔灌注混凝土桩弯矩及桩顶位移的c值法，取m＝1，n＝0.5。　　　　　　借助电子计算机使式 (3)的数值解获得更深入的应用。在计算中直接给定各土层的土抗力р与位移y的经验关系，为模拟往复荷载下土抗力变化的复杂关系（如桩后空隙的形成等）创造了条件。此种方法简称为 р-y曲线法。目前存在的问题是难以从实际中确定具体工程条件下的р-y曲线。　　　　弹性半空间法 　将桩侧土视为均质连续体并忽略桩的影响。分析时将桩划分为若干单元(图3), 各单元中点的位移ρp及土抗力pj(对土体而言,则为引起土体该点处变形ρs的外荷载)均为待定未知值。计算ρs须用弹性半空间体内作用水平集中力的明德林解答。将水平集中力引起的位移在桩单元与土接触面范围内积分即可求得ρs，且可考虑各单元上土抗力间的相互影响。ρp按式 (3)用有限差分法列式。根据各点桩土位移ρp及ρs协调以及利用力与力矩平衡的条件即可解出各未知项。　　　　　　群桩的横向承载力涉及各桩间的相互影响。基床系数法一般采用减小单桩计算宽度的经验方法。弹性半空间法在计算土体位移时，利用叠加法计入。　　　　提高桩的横向承载力及减小位移的方法一般可加大桩身上部尺寸或刚度，增加上部土层对桩的抗力，或改用斜桩、叉桩。　　　　阻挡滑动土体的抗滑桩或受到地基土侧向变形（如由于大面积堆载引起的）挤压作用的桩，工程上习惯称作被动桩，以别于上述单纯支承横向荷载的桩(主动桩)。被动桩的破坏机理较为复杂，一般亦可用上述类似的方法分析，但在运动土体内的桩段上除土抗力外，另一侧尚需考虑土体的下滑压力。　　　　参考书目　　　卢世深、林亚超编：《桥梁钻孔桩试验》，人民交通出版社，北京，1980。　　　B.B.Broms，Precast　Pilinɡ Practice，Thomas Telford，London，1981.　　
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第一章& &绪&&论
一、教学目标和教学内容
1．& & 教学目标
& && &明确材料力学的任务，理解变形体的的基本假设，掌握杆件变形的基本形式。
2．& & 教学内容
○1&&材料力学的特点
○2 材料力学的任务
○3 材料力学的研究对象
○4 变形体的基本假设
○5 材料力学的基本变形形式
二、重点难点
构件的强度、刚度、稳定性的概念；杆件变形的基本形式、变形体的基本假设。
三、教学方式
& && & 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
& &&&1.5学时
五、讲课提纲
1、材料力学的任务
材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性计算的学科。
工程中各种机械和结构都是由许多构件和零件组成的。为了保证机械和结构能安全正常地工作，必须要求全部构件和零件在外力作用时具有一定的承载能力，承载能力表现为
强度是指构件抵抗破坏的能力。构件在外力作用下不被破坏，表明构件具有足够的强度。
刚度是指构件抵抗变形的能力。构件在外力作用下发生的变形不超过某一规定值，表明构件具有足够的刚度。
稳定性是指构件承受在外力作用下，保持原有平衡状态的能力，构件在外力作用下，能保持原有的平衡形态，表明构件具有足够的稳定性。
& & 材料力学的任务：以最经济为代价，保证构件具有足够的承载能力。通过研究构件的强度、刚度、稳定性，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供计算理论。
2、材料力学的研究对象
2.1研究对象的几何特征
构件有各种几何形状，材料力学的主要研究对象是杆件，其几何特征是横向尺寸远小于纵向尺寸，如机器中的轴、连接件中的销钉、房屋中的柱、梁等均可视为杆件，材料力学主要研究等直杆。
2.2研究对象的材料特征
构件都是由一些固体材料制成，如钢、铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会产生变形，称变形固体。其性质是十分复杂的，为了研究的方便，抓住主要性质，忽略次要性质材料力学中对变形固体作如下假设：
•均匀连续性假设: 假设变形固体内连续不断地充满着均匀的物质，且体内各点处的力学性质相同。
•各向同性假设:&&假设变形固体在各个方向上具有相同的力学性质。
•小变形假设:& & 假设变形固体在外力作用下产生的变形与构件原有尺寸相比是很微小的，称“小变形”。在列平衡方程时，可以不考虑外力作用点处的微小位移，而按变形前的位置和尺寸进行计算。
3、杆件的几何特征
3.1轴线：截面形心的连线
3.2横截面：垂直于轴线的截面
3.3杆的分类：
4、杆件变形的基本形式
& & 杆件在不同受力情况下，将产生各种不同的变形，但是，不管变形如何复杂，
常常是如下四种基本变形或是它们的组合。
1．拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形。
2．剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形。
3．扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形。
4．弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形。
杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。
第二章& &轴向拉伸与压缩
一、教学目标和教学内容
1、教学目标
& && & 正确理解内力、应力、应变等基本概念，熟练掌握截面法。正确理解并熟练掌握轴向拉压正应力公式、胡克定律、强度条件，掌握拉压杆的强度计算方法。掌握拉压时材料的力学性能，弄清材料力学解决问题的思路和方法。
2、教学内容
○1截面法、内力、应力
○2轴力、 轴力图
○3正应力、应力集中的概念
○4轴向拉（压）时斜截面上的应力
○5拉压杆的变形、胡克定律、泊松比
⑥拉压杆的强度计算
⑦材料拉压时的力学性能
⑧拉压杆件系统的超静定问题
⑨连接件的实用计算
二、重点难点
1、内力和截面法，轴力和轴力图。
2、 应力的概念，轴向拉压时横截面上的应力，轴向拉压时的变形。
3、 材料拉、压时的力学性能。
4、 轴向拉压的强度计算。
5、 应力集中的概念，拉、压静不定问题。
三、教学方式
采用启发式教学和问题式教学法结合，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题，激发学生的学习热情。
四、建议学时
& &12.5 学时
五、讲课提纲
1、轴向拉伸(压缩)的概念
& &&&受力特点：作用于杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合。
变形特点：构件沿轴线方向的伸长或缩短。
2、内力 、 截面法
2.1内力的概念
内力是构件因受外力而变形，其内部各部分之间因相对位移改变而引起的附加内力。
众所周知，即使不受外力作用，物体的各质点之间依然存在着相互作用的力，材料力学的内力是指在外力作用下上述相互作用力的变化量，是物体内部各部分之间因外力引起的附加的相互作用力，即“附加内力”。它随外力的增大而增大，达到某一限度时就会引起构件破坏，因而它与构件强度是密切相关的。
& & 截面法四部曲： 截（切开）、取（取分离体）、代（代替）、平（平衡）
3、轴力、 轴力图
3.1轴向拉压时的内力—— 轴力
轴力——垂直于横截面、通过截面形心的内力。
轴力的符号规则——轴力背离截面时为正，指向截面为负。
3.2轴力图&&
形象表示横截面上轴力沿杆轴线变化规律的图形。
4、正应力、应力集中的概念
4.1应力的概念：
定义：内力在截面上的分布集度。
& &&&数学表示：& && && && &
应力的三要素：截面、点、方向
应力分量；
正应力的代数符号规定：
拉应力为正，压应力为负。
应力的单位： Pa（N/m2）
4.2轴向拉（压）时横截面上的正应力：
应力计算公式：&&
公式的适用范围：
（1）外力作用线必须与杆轴线重合，否则横截面上应力将不是均匀分布；
(2) 距外力作用点较远部分正确，外力作用点附近应力分布复杂，由于加载方式的不同，只会使作用点附近不大的范围内受到影响（圣维南原理）。因此，只要作用于杆端合力作用线与杆轴线重合，除力作用处外，仍可用该公式计算。
(3) 必须是等截面直杆，否则横截面上应力将不是均匀分布，当截面变化较缓慢时，可近似用该公式计算。
4.3应力集中的概念、圣维南原理：
局部应力——截面突变处某些局部小范围内的应力。
应力集中——在截面突变处出现局部应力剧增现象。
应力集中对于塑性、脆性材料的强度产生截然不同的影响，脆性材料对局部应力的敏感性很强，而局部应力对塑性材料的强度影响很小。
圣维南原理——外力作用在杆端的方式不同，只会使杆端距离不大于横向尺寸的范围内应力分布受到影响。
5、轴向拉（压）杆斜截面上的应力
6、拉压杆的变形、胡克定律、泊松比
6.1纵向变形：
相对变形（线应变）
& && &&&拉伸 为“+”，压缩 为“-”
6.2横向变形及泊松比：
& && & 横向尺寸& && &
相对变形（横向应变）
& && &拉伸 为“-”，压缩 为“+”
柏松比（横向变形系数）
实验表明：在弹性范围内& && && &&&
是反映材料性质的常数，由实验确定，一般在-1——0.5之间。
6.3胡克定律：
在弹性范围内：& && &&&即& && && && && && && &胡克定律
E——弹性模量（Pa）
& && && && & 将& && &和& &&&代入得
& && && &胡 克定律的另一形式
—抗拉（压）刚度，反映杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，其它条件相同。
7、材料在拉伸和压缩时的力学性能
7.1低碳钢拉伸时的力学性能：
圆截面：& && && && && && && &&&
& &&&矩形截面：& &=11.3& && && && && &=5.65
& && && &—工作段长度（标距）& && & —直径& && &&&—横截面积
低碳钢拉伸时变形发展的四个阶段：
（1）弹性阶段（oa）
应力特征值： 比例极限 —材料应力应变成正比的最大应力值（服从虎克定律）
& && && && &&&弹性极限 —材料只出现弹性变形的应力极限值
& && && & 成比
（比例系数）
E为与材料有关的比例常数，随材料不同而异。当 时， ，由此说明表明材料的刚性的大小； 说明几何意义。
（2）屈服阶段（bc）
当应力超过弹性极限后，应变增加很快，但应力仅在一微小范围波动，这种应力基本不变，应变不断增加，从而明显地产生塑性变形的现象称为屈服（流动）。
现象：磨光试件表面出现与轴线成45倾角条纹——滑移线，是由于材料晶格发生相对滑移所造成。
材料产生显著塑性变形，影响构件正常使用，应避免出现。
应力特征值：屈服极限 ——衡量材料强度的重要指标
（3）强化阶段（cd）
强化现象：材料恢复抵抗变形的能力，要使应变增加，必须增大应力值。 曲线表现为上升阶段。
应力特征性：强度极限 ——材料能承受的最大应力值。
冷作硬化——材料预拉到强化阶段，使之发生塑性变形，然后卸载，当再次加载时弹性极限 和屈服极限 提高、塑性降低的现象。
工程上常用冷作硬化来提高某些材料在弹性范围内的承载能力，如建筑构件中的钢筋、起重机的钢缆绳等，一般都要作预拉处理。
（4）颈缩阶段（df）
在某一局部范围内，A& &（急剧）、& & ，用A计算的& & ，& && &&&试件被拉断。
7.2塑性变形的两个指标：
延伸率（伸长率） ：& && &&&材料分类
截面收缩率 ：&&
& && && && && &A1——颈缩处的最小面积
7.3其它材料拉伸时的力学性能：
16Mn钢也有明显的四个阶段；H62（黄铜）没有明显的屈服阶段，另三阶段较明显；T10A（高碳钢）没有屈服和颈缩阶段，只有弹性和强化阶段。铸铁拉伸时是一微弯曲线，没有明显的直线部分，拉断前无屈服现象，拉断时变形很小是典型的脆性材料。
对于没有明显的屈服阶段的材料，常以产生0.2%的塑性变形所对应的应力值作为屈服极限，称条件屈服极限，用 表示。
7.4材料压缩时的力学性能：
低碳钢压缩时的力学性能：
压缩时 曲线，在屈服阶段以前与拉伸时相同， 都与拉伸时相同，当 达到 后，试件出现显著的塑性变形，越压越短，横截面增大，试件端部由于与压头之间摩擦的影响，横向变形受到阻碍，被压成鼓形。得不到压缩时的强度极限。因此，钢材的力学性质主要时用拉伸试验来确定。
铸铁压缩时的力学性能：
与塑性材料相反脆性材料在压缩时的力学性质与拉伸时有较大差别。
铸铁在压缩时无论是强度极限还是伸长率都比拉伸时；曲线中直线部分很短；大致沿45的斜面发生剪切错动而破坏，说明铸铁的抗剪能力比抗压差。
7.5木材的力学性质：
木材的拉伸与压缩时的力学性质与低碳钢等一般材料不同的特性。其顺木纹方向的强度要比垂直木纹方向的高得多，是各向异性材料，而且其抗拉强度高于抗压强度。
材料在拉伸与压缩时力学性质特点：
& & 当应力不超过一定限度（不同材料其限度不同）时， 成正比；
& & 塑性材料的抗拉强度极限比脆性材料高，宜作受拉构件；表示其强度特征的是 和 ，而 是杆件强度设计的依据；
& & 脆性材料的抗压强度极限远大于其抗拉强度极限，宜作受压构件；唯一表示强度特征的是 ，它也是杆件强度设计的依据。
7.6温度和时间对材料力学性质的影响：
在室温下塑性材料的塑性指标随着温度的降低而减小，并随着温度的升高而显著地增大（个别材料也会有相反的现象）。与此相反，衡量材料强度的指标则随着温度的降低而增大，并随着温度的升高而减小。
蠕变——在高温和定值静载荷作用下，材料的变形将随着时间而不断地慢慢增加，此现象称蠕变。
松弛——在变形维持不变的情况下，材料随时间而发展的蠕变变形（不可恢复的塑性变形）将部分地代替其初始的弹性变形，从而使材料中的应力随着时间的增加而逐渐减小，这种现象称应力松弛。
8、轴向拉压时的强度计算
8.1极限应力、安全系数、许用应力：
材料破坏时的应力称为极限应力。
安全系数、许用应力
构件工作时允许达到的最大应力值称许用应力 。许用应力应低于极限应力。
（1）从安全考虑，构件需要有一定的强度储备；
（2）构件的实际工作情况与设计时所设想的条件难以完全一致，有许多实际不利因素无法预计。
—安全系数（大于1的数），其影响因素主要有：
（1）材料的均匀程度；
（2）载荷估计的准确性；
（3）计算方法方面的简化和近似程度；
（4）构件的加工工艺、工作条件、使用年限和重要性等。
8.2强度条件：
& && && &为了保证构件有足够的强度，杆内最大工作应力不得超过材料在拉压时的许用应力 ，即
它可解决工程上的三类强度问题：
& & 强度校核&&
& & 设计截面
& & 确定许可载荷
9、拉伸和压缩静不定问题
9.1静不定问题的解法：
& & 基本思路：静力学关系，变形几何关系，物理关系。
& & 解超静定问题，除列出平衡方程外，还要通过研究变形和内力的关系建立足够数量的补充方程，为此要找出变形的协调条件，即保持结构连续所必须满足的变形几何条件，在通过变形的物理条件（内力与变形的关系）就可以列出所需要的补充方程。
9.2装配应力：
杆件制成后，其尺寸有微小误差是难免的，这种误差使静定结构的几何形状发生微小改变，而不会引起内力。但对超静定结构，这种误差就会使杆件在承受载荷前产生较大的内力。
由于加工误差，强行装配而引起的内力称为装配内力，与之相应的应力叫装配应力。计算装配应力的关键在于根据结构的变形几何关系建立补充方程。这类超静定问题的变形几何关系中一定有一项与尺寸误差有关。
9.3温度应力：
热胀冷缩是金属材料的通性，在静定结构中杆件可以自由变形，温度均匀变化所产生的伸缩，不会在杆内引起内力。但在超静定结构中，杆件的伸缩受到部分或全部约束，温度变化将会引起内力，和它相应的应力称为温度应力。
10、连接件的实用计算
剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且于轴线垂直的外力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。
变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。构件只有一个剪切面的情况称为单剪切，有两个剪切面时称为双剪切。
可能被剪断的截面称为剪切面。
剪应力、挤压应力的计算
　　　& & [ ]　　　　　　　　　　　　　
　式中&&V ：剪切面上的剪力，它与P的关系由平衡方程确定。
& && && &A：剪切面面积（不一定是横截面的面积，且与外载荷平行）
P：挤压面上的挤压力
& && && &： 挤压面面积（与外载荷垂直）
第三章 扭&&转
一、教学目标和教学内容
3．& & 教学目标
掌握扭转内力的计算方法；正确理解并熟练掌握扭转剪应力、扭转变形的计算方法、剪切胡克定律和剪应力互等定理、扭转强度和扭转刚度计算。
4．& & 教学内容
○1 外力偶矩的计算，扭矩、扭矩图，纯剪切。
○2 圆轴扭转时的应力和变形，扭转的强度条件和刚度条件。
○3 扭转的强度计算和刚度计算。
○4 扭转静不定问题，非圆截面杆扭转。
二、重点难点
重点：圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度，圆轴扭转变形时的刚度和变形（相对扭转角）计算。
难点：扭转剪应力推导过程
重点处理：通过例子，关键理解 是指整个轴上的 面上的最外边缘点（等截面）；对变截面可用 ；严格区分刚度和扭转角的区别
难点处理：结合、对比 的推导过程，和薄壁圆筒横截面上 的推导，让学生思考可能采用的方法，然后在讲解。
三、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题，达到课堂互动。
四、建议学时
五、讲课提纲
1 、扭转的概念：
杆件发生扭转变形的受力特点是：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。图所示的就是杆件受扭的最简单情况。
& & 杆件扭转变形的特点是：当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移，称为该两个横截面的扭转角，用表示。图中的B-A表示杆件右端的B截面相对于左端A截面的扭转角。
2 、外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图
2.1外力偶矩的计算：
已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩 （N•m）
& && &N——功率，单位为千瓦（KW）
& && &n——转速，单位为r/min
2.2扭转时的内力——扭矩：
扭矩：受扭杆件横截面上的内力是作用在该截面上的力偶，该力偶之矩称扭矩（Mt）。
扭矩的计算方法——截面法（假设扭矩为正，即设正法）
扭矩的符号规则——右手螺旋法则
2.3扭矩图:
表示杆件各横截面上的扭矩沿杆轴的变化规律。
3 、薄壁圆筒的扭转、纯剪切
3.1薄壁圆筒扭转时的应力：
3.1.1实验研究
3.1.2变形特点：
（1）各纵向线倾斜了同一微小角度 ，矩形歪斜成平行四边形；
（2）各圆周线的形状、大小和间距不变，只是各圆周线绕杆轴线转动了不同的角度。
3.1.3应力分布：横截面上只有切于截面的剪应力，它组成与外加扭矩m相平衡的内力系。因壁厚 t很小，假设均匀分布且沿各点圆周的切线方向。
由平衡条件&&得
& && && && && && &
& && && && &试中：r为圆筒的平均半径。
3.2剪应力互等定理：
从薄壁中，用两个横截面和两个纵截面取出一个单元体，如图所示。
由平衡方程&&得
& && & •• 结论：在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称剪应力互等定理。该定理具有普遍性，不仅对只有剪应力的单元体正确，对同时有正应力作用的单元体亦正确。
& && & 规定：使单元体绕其内部任意点产生顺时针方向转动趋势的剪应力为正，反之为负。
& && && && & 单元体上只要剪应力而无正应力的情况称为纯剪切应力状态。
3.3剪切胡克定律：
剪应变的定义：在剪应力作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个直角的改变量 称为剪应变。
剪切胡克定律：
实验表明，当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 与 成正比，即
& && && &G——剪切弹性模量& && &
4、圆轴扭转时的应力及强度计算
4.1横截面上的应力
4.1.1变形几何关系
根据实验结果可以得到与薄壁圆筒相同的实验现象，可以认为这是圆轴扭转变形在其表面的反映，根据这些现象可由表及里地推测圆轴内部的变形情况。可以设想，圆轴的扭转是无数层薄壁圆筒扭转的组合，其内部也存在同样的变形规律，这样，根据圆周线形状大小不变，两相邻圆周线发生相对转动的现象，可以设想，圆轴扭转时各横截面如同刚性平面一样绕轴线转动，即假设圆轴各横截面仍保持为一平面，且其形状大小不变；横截面上的半径亦保持为一直线，这个假设称平面假设。根据圆轴的形状和受力情况的对称性，可证明这一假设的正确性。根据上述实验现象还可推断，与薄壁圆筒扭转时的情况一样，圆轴扭转时其横截面上不存在正应力，，仅有垂直于半径方向的切应力作用。
变形几何关系：
4.1.2物理关系
4.1.3静力关系
——单位长度上的扭转角（同一截面上为一定值）
——截面对形心的极惯性矩（与截面形状、大小有关的几何量）
——实心轴
（内外径之比）——空心轴
4.2强度计算
强度条件：& && &
& && && && && &
式中： ——抗扭截面模量（系数）
——实心轴
& && &&&——空心轴
对等直圆轴：
解决三类强度问题：
1、& & 校核强度&&
2、选择截面尺寸& &
3、计算许用荷载& &
5、圆轴扭转时的变形和刚度计算
5.1扭转变形
扭转角（ ）：任意两横截面相对转过的角度
& && && && && && &
在T=C，轴为等截面条件下
& && && &（弧度）
——截面的抗扭刚度（ 与 成反比、反映截面抵抗扭转变形的能力）
5.2刚度条件
构件除应满足强度条件外，有时还需满足刚度要求。特别在机械传动轴中，对刚度要求较高，如车床的丝杆，扭转变形过大就会影响螺纹加工精度；镗床主轴变形过大则会产生剧烈的振动，影响加工精度和光洁度。
为了避免刚度不够而影响正常使用，工程上对受扭构件的单位长度扭转角进行限制，即
& &&&（rad/m）
刚度条件：& && && && &&&
可解决三类刚度问题。
6、扭转静不定问题
7、非圆轴截面杆扭转的概念
7.1矩形截面杆扭转
矩形截面杆扭转后横截面不再保持为平面，要发生翘曲。材料力学方法不能研究这一问题，需用弹性力学知识来解决。
矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束，翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。
矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特点：
(a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)；
& && &(b)截面角点处的剪应力等于零；
(c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处，其计算式为
式中& &——矩形截面长边的长度；
& && && && & ——矩形截面短边的长度；&&——与截面尺寸的比值 有关的系数。
7.2薄壁杆件的自由扭转
7.2.1开口薄壁杆件的自由扭转& &
从上式看出，当 为最大值时，剪应力 也最大。所以，整个截面上最大剪应力发生在厚度最大的狭长的长边中点处，其值为& &=
7.2.2闭口薄壁杆件的自由扭转
横截面上任意点处的剪应力与壁厚的乘积为一常数C= ，称为剪力流
第四章& & 弯 曲 内 力
一、教学目标和教学内容
5．& & 教学目标
①掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念；
②熟练掌握用截面法求弯曲内力；
③熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；
④利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；
⑤掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。
6．& & 教学内容
○1 平面弯曲等基本概念；
○2 截面法及简便方法求弯曲内力；
○3 剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；
○4 用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；
○5 叠加法绘制剪力图和弯矩图。
二、重点难点
1、平面弯曲的概念；
2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；
3、剪力图和弯矩图；
4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；
5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。
三、教学方式
& && & 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
五、讲课提纲
1、平面弯曲的概念
弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷或位于纵向平面内的力偶作用下，相邻两横截面绕垂直于轴线的轴发生相对转动的变形。
梁：以弯曲为主要变形形式的构件。
& &平面弯曲：杆变形之后的轴线所在平面与外力所在平面重合或平行的弯曲变形。
2、梁的计算简图
2.1几何结构的简化
以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、阶梯等。
2.2载何的简化
载荷按作用方式可以简化成三类
2、分布载荷
3、集中力偶
2.3约束的简化
三种基本形式
1、可动铰支座
2、固定铰支座
2.4静定梁及其分类
4、多跨静定梁
3、梁的内力——剪力和弯矩
3.1、弯曲内力
根据梁的平衡条件，可以求出静定梁在载荷作用下的支反力，再应用载面法，求得梁的各个载面上的弯曲内力。
3.2&&Q、M正负号规定：
使梁段绕其内任意点有顺时针转动趋势的剪力规定为正，反之为负，如图所示；
使梁段的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负，如图所示。
3.3用直接法计算梁内力的规律
横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力在平行于横截面方向投影的代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力，产生正的剪力；反之产生负的剪力。左上右下， 为正；左下右上， 为负。
横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。截面左侧顺时针转向外力偶，或右侧逆时针转向外力偶，产生正的弯矩；反之产生负的弯矩。上正下负；左顺右逆， 为正。
4、内力方程& &内力图
4.1内力方程
一般情况下，截面上 、 是随截面位置变化的，若横截面的位置用x表示，则 、 可写成x的函数：
& && && && &
这种内力与x的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程，统称内力方程。
为了形象地表明梁各横截面上的 、 沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各横截面上的 、 用图形来表示，分别称为剪力图和弯矩图。
画剪力图和弯矩图时，首先要建立&&和&&坐标。一般取梁的左端作为&&坐标的原点， 坐标和&&坐标向上为正。然后根据截荷情况分段列出 和&&方程。由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数值标在&&、 坐标中相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明 和 的数值。
5、剪力、弯矩和载荷集度间的关系
5.1剪力、弯矩和载荷集度间的关系推导
图表示一根普通的梁。以梁的左端为坐标原点，选取右手坐标系如图中所示。规定分布载荷 向上（与 轴方向一致）为正号。
用坐标为 和 的两相邻截面从梁中截取出长为 的微段，并将其放大如图所示。其中 为 的截面的形心。在坐标为 的截面上，剪力和弯矩分别为 和 ；在坐标为 的截面上，剪力和弯矩则分别为 ， 。图中所示微段的各截面上，剪力和弯矩均为正的，且设该微段内无集中力和集中力偶作用。
由于梁处于平衡状态，因此截出的 微段亦
应处于平衡状态。因此，根据该微段的平衡方程有：
省略去上面第二式中的二阶微量 ，整理后可得
& && && && && && && && && && && && && && && && && && &&&
& && && && && && && && && && && && &
上式中就是载荷集度 ，和剪力 及弯矩 间的微分关系。
5.2 几何意义
１．剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度 。
２．弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。
３．弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度 。
１．若某段梁上无分布载荷，即 ，则该段梁的剪力 为常量，剪力图为平行于 轴的直线；而弯矩 为& &的一次函数，弯矩图为斜直线。
２．若某段梁上的分布载荷 （常量），则该段梁的剪力 为&&的一次函数，剪力图为斜直线；而 为& &的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的 坐标中，当&&（&&向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当& &（ 向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。
３．若某截面的剪力 ，根据 ，该截面的弯矩为极值。
利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：
1．求支座反力；
2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；
3．求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；
4．确定 和 。
6.1 叠加原理：
当荷载引起的效应为荷载的线性函数时，则多个荷载同时作用所引起的某一效应等于每个荷载单独作用时所引起的该效应的代数和。
6.2 叠加技巧
第 五 章& & 弯曲应力
一、教学目标和教学内容
7．& & 教学目标
掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。
掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力的分布和计算。
熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
理解等强度梁的概念。
确定薄壁杆件切应力流的方向。
理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方法。
8．& & 教学内容
梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力
& && & 梁横力弯曲时横截面上的切应力
提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
二、重点难点
重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。
横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算。
弯曲的强度计算。
弯曲横截面上的剪应力。
难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念。
重点处理：从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义，计算方法，结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练。
难点处理： 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照 , 的推导消化难点，以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心。
三、教学方式
& && & 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
五、讲课提纲
1、弯曲正应力
1.1 纯弯曲时的正应力
图所示简支梁CD，载荷 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为平面弯曲，其计算简图如图所示。从CD梁的剪力图和弯矩图可以看到， 和 梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在AB梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时， 。
可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于 ，可知梁的各截面上弯矩为一不变的常数值，即 =常量。
下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。
纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力 组成的内力系的合力矩即为弯矩 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超静定的。和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关系、物理关系和静力关系进行分析。
1.1.1变形几何关系
& && && && && && &&&
& && && && && && && && && && && &
1、实验观察
为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面。在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察以下现象：
（1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠近凸侧一边的纵线伸长。
& & （2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直。
（3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大。
中性层 ：梁内某一层纤维既不伸长也不缩短，因而这层纤维既不受拉应力，也不受压应力，这层纤维称为中性层。
中性轴：中性层与梁横截面的交线。如图
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设：
& & （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
3、几何关系
为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面m-m和n-n从梁中截取出长为 的一个微段。从图中可以看到，横截面m-m和n-n间相对转过的角度为 ，中性层 曲率半径为 ，距中性层为 处的任一纵线（纵向纤维） 为圆弧曲线。因此，纵线 的伸长为
而其线应变为
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && &&&
由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变 即为横截面上坐标为 的所有各点处的纵向纤维的线应变。
1.1.2&&物理关系
根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限 时，可由胡克定律得到横截面上坐标为 处各点的正应力为
& && && && && && && && && && && && && &
该式表明，横截面上各点的正应力 与点的坐标y成正比，由于截面上 为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴上各点的正应力均为零，中
性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
1.1.3&&静力关系
图所示梁的横截面的形心直角坐标系 中，Z轴为截面的中性轴。横截面上坐标为 的点的正应力为&&，截面上各点的微内力 组成与横截面垂直的空间平行力系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，O为横截面的形心）。这个内力系只可能简化为三个内力分量，即平行于 轴的轴力 ，对 轴的力矩 和对y轴的力偶矩 ，分别为
& && && && && && && &
& && && && && && && && && && &
& && && && && && && && && && &
在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩 ，而轴力&&和&&皆为零。
& && && && && && && && && && &
将物理关系代入上式可得：
由于弯曲时 ，必然有
& && && && && && && && && && &&&
此式表明，中性轴z通过截面形心。
同时，由 ，可得
称为截面对y、z轴的惯性积。使 的一对互相垂直的轴称为主轴。而z轴又通过横截面形心，所以z轴为形心主轴。
最后，根据 ，将物理关系代入下式
& && && && && && && && && && &
是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率；
称为截面对z轴的惯性矩； 称为截面的抗弯刚度。，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。
将该式代入式物理关系，即可得到纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式
& && && && && && && && && &
上式中正应力 的正负号与弯矩&&及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩 的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及 和y的正负。
公式的适用范围：
1、平面弯曲& &&&2、 材料在线弹性范围内的梁&&3、单向应力
1.1.4最大应力的计算
设 为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，则截面上的最大正应力为
& && && && && && && && && && &&&
& && && && && && && && && && && &
则截面上最大弯曲正应力可以表达为
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &
式中， 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为 。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为：
高为 ，宽为 的矩形截面：
& && && && && && && && && &&&
直径为 的圆截面：
& && && && && && && && && &&&
至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
& & 若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如 形截面。这时，应把 和 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：& && && &&&
& && && && && && && && && && && && && &
最大压应力为：& && && && &&&
& && && && && && && && && && && && && &&&
1.2、横力弯曲时的正应力
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁， ， 为梁长， 为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计。而且，用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，即
& && && && && && && && && && && && &
来计算细长梁横力弯曲时的正应力，和梁内的真实应力相比，并不会引起很大的误差，能够满足工程问题所要求的精度。所以，对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁（ ， 为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。
2、弯曲剪应力
横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应力。
2.1．矩形截面梁的弯曲剪应力
& && && && && &&&
& & 分析图所示横力弯曲的矩形截面梁截面上某点处的剪应力时，需要先分析截面上剪应力的分布规律。矩形截面上，剪力 截面的纵向对称轴 轴重合。在截面两侧边界处取一单元体（尺寸分别为 ）的微小六面体，设在横截面上剪应力 的方向与边界成一角度，则可把该剪应力分解为平行于边界的分量 和垂直于边界的分量 。根据剪应力互等定理，可知在此单元体的侧面必有一剪应力 和 大小相等。但是，此面为梁的侧表面，是自由表面，不可能有剪应力，即 。说明矩形截面周边处剪应力的方向必然与周边相切。因对称关系，可以推知左、右边界 轴上各点的剪应力都平行于剪力 。所以，当截面高度 大于宽度 时，关于矩形截面上的剪应力分布规律，可作如下假设：
（1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力 的方向。
& & （2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与 坐标有关。
从图所示横力弯曲的梁上截取长为 的微段梁，设该微段左、右截面上的弯矩分别为 及 ；剪力均为 。再在 和 两截面间距中性层为 处用一水平截面将该微截开，取截面以下部分进行研究。在六面体 上，左、右竖直侧面上有正应力 、 和剪应力 ；顶面上有与 互等的剪应力 。在左、右侧面上的正应力 和 分别构成了与正应力方向相同的两个合力 和&&，它们为
& && && && && && && && && &
式中， 为横截面上距中性轴为 的横线以外的面积，如图所示。式中积分
& && && && && && && && && &&&
是 的截面积对矩形截面中性轴 的静矩。因此，上式简化为
& && && && && && && && && && && && &&&
同理，& &&&
& && && && && && && && &
因微段的左、右两侧面上的弯矩不同，故 和 的大小也不相同。 只有和水平剪应力 的合力一起，才能维持六面体在 方向的平衡，即
& && && && && && & ，& &
将 和 代入上式，有&&
& && && && && && && &
整理、化简后有
& && && && && && && && && && &
根据梁内力间的微分关系 ，可得
& && && && && && && && && && && &&&
由剪应力互等定理 ，可以推导出矩形截面上距中性轴为 处任意点的剪应力计算公式为& && && &
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &
式中& &——横截面上的剪力
& && & ——横截面 对中性轴 的轴惯性矩
& && & ——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度）
& && & ——横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积 对中性轴的静矩
现在，根据剪应力公式进一步讨论剪应力在矩形截面上的分布规律。在图所示矩形截面上取微面积 ，则距中性轴为 的横线以下的面积 对中性轴z的静矩为
& && && && && && && && && &
将此式代入剪应力公式，可得矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && &
& & 从该式可以看出，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化，如图所示。可以看到，当 时，即矩形截面的上、下边缘处剪应力 ；当y=0时，截面中性轴上的剪应力为最大值：
& && && && && && && && && && && && && &
将矩形截面的惯性矩 代入上式，得到
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &&&
说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力的 倍。
2.2．工字形截面、T形截面、槽形截面梁的弯曲剪应力
2.2.1 腹板上剪应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。实验表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图所示。
腹板上剪应力仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式
其中b取腹板的宽度。
最大剪应力在中性轴上，其值为
式中（S ） 为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的 可以从型钢表中查得。
2.2.2翼缘上剪应力
计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）Q，因此翼缘上的竖向剪应力很小，可忽略不计。
水平剪应力
2.3&&圆形截面梁
在圆形截面上，任一平行于中性轴的横线aa 两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。
& && && && && && && &
式中 ，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的 倍。
3.梁的强度校核
3.1梁的正应力强度条件
为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件
式中 为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险截面，危险截面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件可表达为
对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。
根据强度条件可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。
3.2 剪应力强度条件
对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的 一般发生在&&截面的中性轴上，此处弯曲正应力 ，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为
式中 为材料的许用剪应力。此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，然后按剪应力强度条件校核。
4、截面的弯曲中心概念
横力弯曲时，梁的横截面上不仅有正应力还有剪应力。对于有对称截面的梁，当外力作用在形心主惯性平面内时，剪应力的合力，即剪力作用线通过形心，梁发生平面弯曲。对于非对称截面（特别是薄壁截面）梁，横向外力即使作用在形心主惯性平面内，剪应力的合力作用线并不一定通过截面形心。此时，梁不仅发生弯曲变形，而且还将产生扭转，如图所示。只有当横向力作用在截面上某一特定点 时，该梁才只产生弯曲而无扭转，如图所示。这一特定点A称为弯曲中心或剪切中心，简称弯心。
& && && && && && && &
弯曲中心的位置只取决于截面的形状和尺寸，而与外力无关。
当截面有两个对称轴时，两个对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心与形心重合，如工字形截面。当截面有一个对称轴时，可假定外力垂直于该对称轴，并产生平面弯曲，求得截面上剪应力合力的作用线，该作用线与对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心一般与形心不重合，如槽形截面。对于没有对称轴的薄壁截面应这样求弯曲中心：
（1）确定形心主轴。
（2）设横向力平行于某一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出截面上弯曲剪应力合力作用线的位置。
（3）设横向力平行于另一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出对于此平面弯曲截面上剪应力合力作用线的位置。
（4）两合力作用线的交点即为弯曲中心的位置。
几种常见截面的弯曲中心位置
5、提高弯曲强度的措施
一、合理安排梁的受力情况
& &&&梁的弯矩与载荷的作用位置和梁的支承方式有关，适当调整载荷或支座的位置，可以降低梁的最大弯矩Mmax的数值.
二、选择合理截面形状
知梁可能承受的最大弯矩与抗弯截面系数成正比，W越大越有利，而W又与截面面积和形状有关。因此应选择W/A较大的截面（工字形、槽形&矩形&圆形）。
应使截面的上、下缘应力同时达到材料的相应容许应力。
三、采用变截面梁
&&在横力弯曲下，弯矩是沿梁轴变化的。因此在按最大弯矩设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面材料的强度均未得到充分利用。为了节省材料，减轻梁的重量，可根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁设计成变截面的。若变截面梁的每一横截面上的最大正应力均等于材料的许用应力，这种梁就称为等强度梁。
& & 在工程实践中，由于构造和加工的关系，很难做到理论上的等强度梁，但在很多情况下，都利用了等强度梁的概念即在弯矩大的梁段使其横截面相应地大一些。例如厂房建筑中广泛使用的鱼腹梁和机械工程中常见的阶梯轴等。
第 六 章& &弯 曲 变 形
一、教学目标和教学内容
9．& & 教学目标
掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。
10．& & 教学内容
有关弯曲变形的基本概念
积分法和叠加法
明确叠加原理
力法求解静不定梁。
二、& & 重点难点
梁的变形分析。
挠曲轴近似微分方程。
积分法求变形。
叠加法求梁的变形。
静不定梁。
三、教学方式
& && & 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
五、讲课提纲
关于梁的弯曲变形，可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究。
图示一根任意梁，以变形前直梁的轴线为 轴，垂直向下的轴为 轴，建立 直角坐标系。当梁在 面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为 面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线，或弹性曲线。第六章中曾经指出，梁弯曲后横截面仍然垂直于梁的挠曲线，因此，当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了线位移，而且还产生了角位移，如图6.1所示。
& & 横截面的形心在垂直于梁轴（ 轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号 表示。关于挠度的正负符号，在图示坐标系下，规定挠度向下（与 轴同向）为正；向上（与 轴反向）为负。应该指出，由于梁在弯曲时长度不变，横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下，这种位移极小，可以忽略不计。梁弯曲时，各个截面的挠度是截面形心坐标 的函数，即有
& && && && && && && && && && && && && &&&
上式是挠曲线的函数表达式，亦称为挠曲线方程。
& & 横截面的角位移，称为截面的转角，用符号 表示。关于转角的正负符号，规定在图示坐标系中从 轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角 为正的；反之，为负的。
& & 显然，转角也是随截面位置不同而变化的，它也是截面位置 的函数，即
& && && && && && && && && && && && &
此式称为转角方程。工程实际中，小变形时转角 是一个很小的量，因此可表示为
& && && && && && && && && &
综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程
2、& & 挠曲线近似微分方程
对细长梁，梁上的弯矩 和相应截面处梁轴的曲率半径 均为截面位置 的函数，因此，梁的挠曲线的曲率可表为
即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比，与截面的抗弯刚度EI成反比。
& & 另外，由高等数学知，曲线 任一点的曲率为
显然，上述关系同样适用于挠曲线。比较上两式，可得
& && && && && && && && && && && &
上式称为挠曲线微分方程。这是一个二阶非线性常微分方程，求解是很困难的。而在工程实际中，梁的挠度 和转角 数值都很小，因此， 之值和1相比很小，可以略去不计，于是，该式可简化为
式中左端的正负号的选择，与弯矩 的正负符号规定及 坐标系的选择有关。根据弯矩 的正负符号规定，当梁的弯矩 时，梁的挠曲线为凹曲线，按图示坐标系，挠曲线的二阶导函数值 ；反之，当梁的弯矩 时，挠曲线为凸曲线，在图示坐标系中挠曲线的 。可见，在图示右手坐标系中，梁上的弯矩M与挠曲线的二阶导数 符号相反。所以，上式的左端应取负号，即
上式称为挠曲线近似微分方程。实践表明，由此方程求得的挠度和转角，对工程计算来说，已足够精确。
3、& & 积分法求弯曲变形
积分法计算梁的变形
积分一次： &=θ
再积分一次：
C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定
边界条件 ：
（1）固定端约束：限制线位移和角位移
(2)铰支座：只限制线位移
连续条件 ：
4、叠加法求梁的变形
在第五章介绍用叠加法作弯矩图时，曾介绍了材料力学的一个普遍原理——叠加原理。在线弹性小变形前提下，构件的支反力、内力、应力和变形都可以用叠加法的方法计算。
& & 弯曲变形时，梁的挠度与转角都与载荷成线性关系。
因此，可以用叠加法计算梁的弯曲变形。当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。
应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便的。
5、 梁的刚度校核
5.1刚度条件
[ ]——构件的许用转角
[ ]、 ——分别为构件的许用挠度、单位长度许用挠度
5.2刚度校核
& && & 刚度校核是检查梁在荷载作用下产生的变形是否超过容许值，在机械工程中，一般对 都进行校核；在建筑工程中，大多数只校核挠度 。
5.3提高梁刚度的措施
从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩&&、材料的弹性模量&&有关。故提高梁刚度的措施为：
（1）改善结构形式，减小弯矩&&；
（2）增加支承，减小跨度& &；
（3）选用合适的材料，增加弹性模量&&。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；
（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩&&，如工字形截面、空心截面等。
6、简单超静定梁的解法
超静定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。
第 七 章& &应力状态与强度理论
一、教学目标和教学内容
1．& & 教学目标
& && & 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。掌握强度理论的概念。了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。掌握常用的四个强度理论的相当应力。了解莫尔强度理论的基本观点。会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。
2．& & 教学内容
应力状态的概念；平面应力状态分析；三向应力状态下的最大应力；广义胡克定律•体应变；复杂应力状态的比能；梁的主应力•主应力迹线的概念。讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。简单介绍莫尔强度理论。
二、重点难点
1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。
2、广义胡克定律及其应用。
1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。
2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。
3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。
4、广义胡克定律及其应用。
强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算
三、教学方式
& && & 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
五、讲课提纲
1、应力状态的概念
& & 所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。
　　应力状态分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。
　　一点处的应力状态，可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述，通常是用围绕该点取出一个微小正六面体（简称单元体element）来表示。单元体的表面就是应力作用面。由于单元体微小，可以认为单元体各表面上的应力是均匀分布的，而且一对平行表面上的应力情况是相同的。例如，图7.1截面mm上a~d点的应力状态表示方式，如图（c）所示。
　　7.2节中的分析将表明，一点处不同方向面上的应力是不相同的。我们把在过一点的所有截面中，切应力为零的截面称为应力主平面，简称为主平面（principal plane）。例如，图（c）中a、d单元体的三对面及b、c单元体的前后一对表面均为主平面。由主平面构成的单元体称为主单元体（principal element），如图（c）中的a、d单元体。主平面的法向称为应力主方向。简称主方向（principal direction）。主平面上的正应力称为主应力（principal stresss），如图（c）中a、d单元体上的 及 。用弹性力学方法可以证明，物体中任一点总可找到三个相互垂直的主方向，因而每一点处都有三个相互垂直的主平面和三个主应力；但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况下，主平面及主方向便会多于三个。
　　一点处的三个主应力，通常按其代数值依次用 来表示，如图（c）中a、d单元体，虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力，但须分别用 ， 表示。根据一点处存在几个不为零的主应力，可以将应力状态分为三类：
　　1）单向（或简单）应力状态：三个主应力中只有一个主应力不为零，如图7.2（a）所示。
　　2）二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不为零，如图7.2（b）所示。
　　3）三向（或空间）应力状态：三个主应力均不为零，如图7.2（c）所示。
　　单向及二向应力状态常称为平面应力状态（plane state of stresses）。二向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。因为，一个单向应力状态与另一个单向应力状态叠加，可能是单向、二向或零应力状态；一个单向应力状态与一个二向应力状态叠加，可能是单向、二向或三向应力状态；……。也就是说，一个应状态与另一个应力状态叠加，不一定属于原有应力状态。
　　对于平面应力状态，由于必有一个主应力为零的主方向，可以用与该方向相垂直的平面单元来表示单元体，例如图7.1（c）示各单元体，可以用图7.1（d）示平面单元表示。这时，应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度。
　　在材料力学中所遇到的应力状态，主要为平面应力状态。本章重点讨论平面应力状态有关问题。
2、平面应力状态分析
& & 在本节中,将介绍在平面应力状态下，如何根据单元体各面上的已知应力来确定任意斜截面上的应力。
　　在以下讨论中，取平面单元位于xy平面内，如图7.3（a）所示。已知x面（法线平行x轴的面）上的应力 及 ，y面（法线平行于y轴的面）上有应力 及 。根据切应力互等定理 。现在需要求与z轴平行的任意斜截面ab上的应力。设斜截面ab的外法线n与x轴成 角，以后简称该斜截面为 面，并用 及 分别表示 面上的正应力及切应力。
　　将应力、 角正负号规定为：
　　 角：从x方向反时针转至 面外法线n的 角为正值；反之为负值。 角的取值区间为 或 。
　　正应力：拉应力为正，压应力为负。
　　切应力：使微元体产生顺时针方向转动趋势为正；反之为负。或者，截面外法线矢顺时针向转 后的方向为正；反之为负。
　　求 面上的应力 、 的方法，有解析法和图解法两种。分别介绍如下：
　　利用截面法，沿截面ab将图7.3（a）示单元切成两部分，取其左边部分为研究对象。设 面的面积为dA，则x面、y面的面积分别为 及 。于是，得研究对象的受力情况如图（b）示。该部分沿 面法向及切向的平衡方程分别为：
　　　　　（a）
由 ， ， 及 ，式（a）可改写为：
　　　　& & 　（7.1）
&&这就是斜面上应力的计算公式。应用时一定要遵循应力及 角的符号规定。如果用 替代式（7.1）第一式中的 ，则：
　　　　& & 　
　　& & （7.2）
可见，在平面应力状态下，一点处与z轴平行的两相互垂直面上的正应力的代数和是一个不变量。
　　由式（7.1）可知，斜截面上的应力 、 均为 角的函数，即它们的大小和方向随斜截面的方位而变化。现在来求它们的极限及平面应力状态的主应力。
　　对于斜截面上的正应力 ，设极值时的 角为 ，由 得
可见， 取极值的截面上切应力为零，即 的极值便是单元体的主应力。这时的 可由上式求得为：
　　　　& & 　　　　　　　　　　　（7.3）
式（7.3）的 在取值区间内有两个根 及 ，它说明与 有关的两个极值（主应力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（7.3）求 时，可以视 ，并按 、 、 的正负号来判定 、 、 的正负符号，从而唯一地确定 或 值。于是有
　　将以上各式代入式（7.1）的第一式，得 的两个极值 （对应 面）、 （对应 面）为：
& && && && && && && & （7.4）
可以证明，式（7.4）中 的指向，是介于仅由单元体切应力 产生的主拉应力指向（与x轴夹角为 或 ）与单元体正应力 、 中代数值较大的一个正应力指向之间。
　　式（7.4）的 、 为平面应力状态一点处三个主应力中的两个主应力，它的另一个主应力为零。至于如何根据这三个主应力来排列 、 、 的次序，应视 、 的具体数值来决定。
　　平面应力状态下，切应力极值可按下述方法确定。设极值时的 角为 ，由 得：
& && && && && && && && && && & （7.5）
比较式（7.3）和式（7.5），有 ，可见 ，即斜截面上切应力 的极值作用面与正应力 的极值作用面互成 夹角。将由式（7.5）确定的代入式（7.1）的第二式，可以求得斜截面上切应力极值 （对应 ）、 （对应 ）为：
& && && & （7.6）
这说明，斜截面上切应力极值的绝对值，等于该点处两个正应力极值差的绝对值的一半。另外，由式（7.5）可得 ，代入式（7.1）第一式得：
& && && && && && && && &&&（7.7）
可见在 极值作用面上的正应力相等，且为 、 的平均值。
2.2图解（莫尔圆）法
平面应力状态分析，也可采用图解的方法。图解法的优点是简明直观，勿须记公式。当采用适当的作图比例时，其精确度是能满足工程设计要求的。这里只介绍图解法中的莫尔圆法，它是1882年德国工程师莫尔（O. Mohr）对1866年德国库尔曼（K. Culman）提出的应力圆作进一步研究，借助应力圆确定一点应力状态的几何方法。
2.2.1应力圆方程
将式（7.1）改写为：
& && && && && && && && && && & （a）
于是，由上述二式得到一圆方程：
& && && && && && && && && &&&（b）
据此，若已知 、 、 ，则在以 为横坐标， 为纵坐标轴的坐标系中，可以画出一个圆，其圆心为 ，半径为 。圆周上一点的坐标就代表单元体一个斜截面上的应力。因此，这个圆称为应力圆或莫尔圆（Mohr circle for stresses）。
2.2.2应力圆的画法
在已知 、 及 （图7.4（a）），作相应应力圆时，先在 坐标系中，按选定的比例尺，以( , )、( , )为坐标确定x（对应x面）、y（对应y面）两点，（在应力圆中，正应力以拉应力为正，切应力以与其作用面外法线顺时钟转向 后的方向一致时为正）。然后直线连接x、y两点交 轴于C点，并以C点圆心，以 或 为半径画圆，此圆就是应力圆，如图7.4（b）。从图中不难看出，应力圆的圆心及半径，与式（b）完全相同。
2.2.3几种对应关系
应力圆上的点与平面应力状态任意斜截面上的应力有如下对应关系：
1）& & 点面对应
应力圆上某一点的坐标对应单元体某一方面上的正应力和切应力值。如图（7.4（a））上的n点的坐标即为斜截面 面的正应力和切应力。
2）转向对应
应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，斜截面外法线亦沿相同方向旋转，才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。
3）二倍角对应
应力圆上半径转过的角度，等于斜截面外法线旋转角度的两倍。因为，在单元体中，外法线与x轴间夹角相差 的两个面是同一截面，而应力圆中圆心角相差 时才能为同一点。
2.2.4应力圆的应用
1）应用应力圆能确定任意斜截面上应力的大小和方向。如果欲求 面上的应力 及 ，则可从与x面对应的x点开始沿应力圆圆周逆时针向转2 圆心角至n点，这时n点的坐标便同外法线与x轴成 角的 面上的应力对应。 的方向按如下方法确定：过x点作 轴的平行线交应力圆于P点，以P为极点，连接 两点，则射线 便为n点对应截面的外法线方向，即为的 方位线。
2）确定主应力的大小和方位。应力圆与 轴的交点1及2点，其纵坐标（即切应力）为零，因此，对应的正应力便是平面应力状态的两个正应力极值，但是，在图7.4示情况，因 ，所以用单元体主应力 、 表示，这时的 应为零。至于在别的情况时，图7.4（b）中的1、2点应取1、2、3中的哪两个数，按类似原则确定。主应力的方位按如下方法确定：从极点P至1点引射线 为 作用面外法方向， 为主应力 作用面的外法线方向。从图7.4（b）中不难看出，主应力 、 的作用面（主平面）的外法线（主方向）相互垂直。
由图7.4（b）不难看出，应力圆上的 、 两点，是与切应力极值面（ 面和 面）上的应力对应的。不难证明：正应力极值面与切应力极值面互成 的夹角。
3、三向应力状态的最大应力
& & 组成工程结构物的构件都是三维体，能按材料力学方法进行受力分析的，只是一般三维构件的特殊情况，但属三维问题。既然这样，在建立强度条件时，必须按三维考虑才符合实际。因此，在研究了三向应力状态的一种特殊情况——平面应力状态后，还应将它们返回到三向应力状态，作进一步的分析，才能符合工程实际。另外，在工程中还是存在不少三向应力状态的问题。例如，在地层的一定深度处的单元体（图7.5），在地应力作用下便是处于三向应力状态；滚珠轴承中的滚珠与外环接触处、火车轮与轨道接触处，也是处于三向应力状态的。
本节只讨论三个主应力 均已知的三向应力状态，对于单元体各面上既有正应力，又有切应力的三向应力状态，可以用弹性力学方法求得这三个主应力。对于材料力学中的问题，可以用7.2节的方法以求得三个主应力 、 及 。
对于图7.6（a）示已知三个主应力的主单体，可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态，分析平行于三个主应力的三组特殊方向面上的应力。在平行于主应力 的方向面上，可视为只有 和 作用的平面应力状态；在平行于主应力 的方向面上可视为只有 和 作用的平面应力状态；在平行于主应力 的方向面上，可视为只有 和 作用的平面应力状态。并可绘出图（b）示三个应力图，并称为三向应力状态应力圆（stress circle of three dimensional stress state）。用弹性力学方法可以证明，主单元体中任意斜截面上的正应力及切应力，必位于以这三个应力圆为界的阴影区内。
由三向应力圆可以看出，在三向应力状态下，代数值最大和最小的正应力为：
，& && && && && && && && && & （7.8）
而最大切应力为
& && && && && && && && && && && && & （7.9）
式（7.8）、（7.9）也适用于三向应力状态的两种特殊情况：二向应力状态及单向应力状态。
4、广义胡克定律 • 体应变
在后续课程中要考虑单元体的变形，本节将讨论应力与应变间的关系。
4.1广义胡克定律
在三向应力状态下主单元体同时受到主应力 、 及 作用，如图7.6（a）所示。这时，我们把沿单元体主应力方向的线应变称为主应变（principal strain），习惯上分别用 、 及 来表示。对于连续均质各向同性线弹性材料，可以将这种应力状态，视为三个单向应力状态叠加来求主应变。由工程力学Ⅰ知，在 单独作用下，沿主应力 、 及 方向的线应变分别为：
，& &&&，& &&&
式中E、 为材料的弹性模量及泊松比（Poisson ratio）。
同理，在 和 单独作用时，上述应变分别为：
，& &&&，& &&&
，& &&&，& &&&
将同方向的线应变叠加得三向应力状态下主单元体的主应变为：
& && && && && && && && &&&（7.10）
式（7.10）中的 、 及 均以代数值代入，求出的主应变为正值表示伸长，负值表示缩短。主应变的排列顺序为 ，可见，主单元体中代数值最大的线应变为：
& && && && && && && && && && && && &&&（7.9）
如果不是主单元体，则单元体各面上将作用有正应力 、 、 和切应力 、 、 ，如图7.7所示。图中正应力的下标表示其作用面的外法线方向；切应力有两个下标，前一个下标表示其作用面的外法线方向，后一个下标表示其作用方向沿着哪一个坐标轴。如果某一面的外法线沿坐标轴的正方向，该面称为正面，正面上的各应力分量便以指向坐标轴正方向为正，反之为负；如果某一面的外法线沿坐标轴的负方向，则称该面为负面，负面上的各应力便以指向坐标轴的负方向为正，反之为负。须说明，这里的约定与7.2节的约定是各自独立的。对于图7.7，单元体除了沿x、y及z方向产生线应变 、 及 外，还在三个坐标面xy、yz、zx内产生切应变 、 及 。
& && && && && && && && && && & 图7.7
由理论证明及实验证实，对于连续均质各向同性线弹性材料，正应力不会引起切应变，切应力也不会引起线应变，而且切应力引起的切应变互不耦联。于是，线应变可以按推导式（7.10）的方法求得，而切应变可以利用剪切胡克定律得到，最后有
& && && && &&&（7.12）
式中G为剪切弹性模量。E， 及G均为与材料有关的弹性常数，但三者这中只有两个是独立的，可以证明这三个常数之间存在着如下关系：
& && && && && && && && && && && && &（7.13）
式（7.10）或（7.12）称为广义胡克定律（generalization Hooke law）.
广义胡克定律对于二向及单向应力状态也适用。在二向主单元体中，有一个主应力为零，例如，设 ，则式（7.10）变为：
& && && && && && && && && && &（7.14）
在一般平面应力状态下，单元体必有一个主应力为零的主平面，设为z面，这时有 ， 及 ，如图（7.8）所示。于是，式（7.12）写成：
& && && && && && && && && &&&（7.15）
而 ，由式可以解得：
& && && &（7.16）
体应变又称体积应变（volume strain），是指在应力状态下单元体单位体积的体积改变，设单元体各棱边的变形前长度分别为dx、dy和dz，变形前的单元体体积便为
在三向应力状态下，主单元体变形后的各棱边长度将分别为 、 及 ，因此，变形后主单元体的体积为
因为 、 及 均微小，略去高阶微量后
根据主单元体体应变的定义，有
& && && & （7.17）
将式（7.10）的三个主应变代入上式，化简后得
& && && && && && && && && && & （7.18）
上述表明，小变形时的连续均质各同性线弹性体，一点处的体应变 与该点处的三个主应力的代数和成正比。
在纯剪切平面应力状态下，因 ， ，由式（7.18）可得该应力状态下单元体的体变 =0。因此，在图（7.13）示的一般形式的空间应力状态下，切应力 、 及 的存在均不会影响该点处的体应变 ，并可仿照以上推导求得
& && && && && && && && && && & （7.19）
可见，小变形时连续均质各向同性线弹性体内，一点处的体应变，只与过该点沿三个相互垂直的坐标轴方向正应力的代数和成正比，而与坐标方位和切应力无关。
5、复杂应力状态下的应变比能
& & 弹性体在外力作用下将产生变形，在变形过程中，外力便要通过外力作用方向的位移做功，并将它积蓄在弹性体内，通常称积蓄在物体内的这种能量为应变能（strain energy），而把每单位体积内所积蓄的应变能称为比能（strain.energy density）。与应变能有关的问题将在第十五章能量法中详细介绍。
在单向应力状态中，如果棱边边长分别为dx、dy、dz的单元体，作用于x面的应力为 。如图7.9（a）所示，作用在单元体上的外力为 ，沿外力方向的位移为 ，外力所做的功为
根据能量守恒定律，外力功全部积蓄到弹性体内，变成了弹性体的应变能。
单元体的应变能
单元体的应变比能为
应变比能为图7.17（b）示阴影面积。
在三向应力状态下，如果已知 、 及 三个主应力（图7.18a），各对力通过其对应位移所做的功的总和，便为积蓄在物体内的应变能。因此
单元体的比能为
式中的 、 、 分别表示沿 、 、 方向的线应变，应按广义胡克定律（式7.10）计算，用三个主应力 、 、 表示主应变 、 、 ，化简后有
& && && && && && && && && && &&&（7.20）
由于单元体的变形有体积改变和形状改变，因此，可以将比能分为相应的两部分。与体积改变对应的比能称为体积改变比能（strain.energy density corresponding to the change of volume），用 表示；与形状改变对应的比能称为形状改变比能（strain.energy density corresponding to the distortion），用 表示。即
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &&&（a）
现在来推导体积改变比能和形状改变比能的计算公式。将图7.18（a）示单元体表示为图b、c两部分叠加。图7.18（b）中的三个主应力相等，其值为平均应力 ，有
由式（7.18）知，图7.18（b）与图7.18（a）的体应变是相等的，那么体积改变比能 也应相等。因此图7.18（b）的三个主应力相等，变形后的形状与原来的形状相似，只发生体积改变而无形状改变，则全部比能应为体积改变化能。这样，图7.18（a）的体积改变比能 为：
& && && && && &&&（7.21）
将式（7.21）代入式（a），并注意到式（7.20），化简后得单元体的形状改变能 为
& && &&&（7.22）
读者自己证明，式（7.22）即为图c的比能。式（7.22）将在强度理论中得到应用。
6 、梁的主应力•主应力迹线的概念
6.1梁的主应力
梁在平面弯曲时，横截面上一般将有正应力 和切应力 ，而纵截面上无正应力。由于它为平面应力状态，如果取图7.19示坐标系，则 、 、 。这时，不管 及 为正或负，按式（7.4）求得的正应力极值，总是 ， ，所以梁的主应力总是为
& && && && && && && && && &（7.23）
由式（7.23）求得的梁内任一点处的两个不等于零的主应力中，显然， 必为拉应力，而 必为压应力，两者是相互垂直的。
6.2梁的主应力迹线
按式（7.23）求出的梁内主应力，不仅各点处大小不同，而且方向也是不同的。以图7.19示矩形截面梁某截面mm上的1~5点为例，可以用莫尔圆法确定其主应力及主方向，如图所示。从图可以看出，主应力方向沿梁的高度是连续变化的，从梁顶到梁底，主拉应力 和主压应力 的方向均变化了 。
根据梁内主应力方向是连续变化的特性，可以在梁的xy平面内绘出两族正交曲线，一族曲线的切线方向为该点处的主拉应力方向，另一族曲线的切线方向为该点处的主压应力方向。这样的曲线称为主应力迹线，如图7.20（b）所示。掌握梁的主应力迹线的变化规律，对于结构设计是有用的。例如，在设计混凝土梁时，可以根据主拉应力方向判断可能产生裂缝的方向，从而合理的布置钢筋。
绘制主应力迹线的方法为（图7.20（a））：从梁内任一截面上的任一点a处开始，确定该点的主应力之一，如 的方向ab后，将它的作用线延长至邻近截面，交于b点；再求b点处的 方向，延长至下一个邻近截面，交于c点。依次进行下去，便得到一条折线abcd……。它近似地表示了主拉应力 方向的一条迹线。若各截面相隔很近，并作一条与折线相切的曲线，这条曲线就表示主拉应力 的一条迹线。按同样的方法，可以绘出主压应力 的迹线。图b就是均布荷载矩形截面简支梁的主应力迹线图。实线为主拉应力 的迹线，虚线为主压应力 的迹线。
须注意，所有的主应力迹线均与梁轴（中性层）成 ，而与梁的顶、底表面相垂直或平行。主应力迹线只显示了主应力的方向，而不反映主应力的大小。
7、强度条件与强度理论
7.1材料在单向应力状态或纯剪切应力状态时的强度条件：
　　轴向拉（压）杆件的最大正应力发生在横截面上各点处；而横力弯曲梁的最大正应力发生在最大弯矩横截面的上、下边缘处，如图10.1（a）、（b）所示，其应力状态皆为单向应力状态，强度条件为：
　　　拉压杆：
　　　　　梁：
式中 ， 为材料破坏时的极限应力， 称为安全系数。对于塑性材料， = （屈服极限）；对于脆性材料， = （强度极限），皆可由试验确定。
　　纯扭转圆轴的最大切应力发生在横截面周边各点处；而梁的最大切应力发生在最大剪力横截面的中性轴上，如图10.1（c）、（d）所示，为纯剪切应力状态，强度条件为：
　　　　扭转轴：
　　　　　　梁：
式中 ， 或 由实验确定。　　　　
& && && && && && && && && &&&图7.21
7.2材料的破坏形式
以上列举的强度条件，用于简单应力状态，是直接根据试验结果建立的。然而工程实际中许多构件的危险点都处于复杂应力状态，其破坏现象较复杂，但材料的破坏形式可分为如下二类：
& & 脆性断裂：材料失效时未发生明显的塑性变形而突然断裂。如：铸铁在单向拉伸和纯剪切应力状态下的破坏。
　　塑性屈服：材料失效时产生明显的塑性变形并伴有屈服现象。如低碳钢在单向拉伸和纯剪切应力状态下的破坏。
　　注意：材料的破坏形式并不是以材料为塑性材料或脆性材料为准来区分的。如：大理石为脆性材料，在单向压缩时发生的破坏为脆性断裂，图10.2（a）；若表面受均匀经向压力，施加轴向力后出现明显的塑性变形，成为腰鼓形，显然其破坏形式为塑性屈服，图10.2(b)。
& && && && && && && &图7.22
7.3强度理论的概念
　　在复杂应力状态下，一点的3个主应力 、 、 可能都不为零，而且会出现不同的主应力组合。此时如果采用直接试验的方法来建立强度条件，是非常困难的，原因在于：进行复杂应力状态试验的设备和加工比较复杂；不同的应力组合需要重新做试验；不同的材料需重新试验。
& & 人们经过长期的生产实践和科学研究，总结材料破坏的规律，提出了各种不同的假说：认为材料之所以按某种形式破坏，是由于某一特定因素（应力、应变、形状改变比能）引起的；对于同一种材料，无论处于何种应力状态，当导致它们破坏的这一共同因素达到某一极限时，材料就会发生破坏。这样的一些假说称为强度理论。
7.4 常用的强度理论
　　由于材料存在着脆性断裂和塑性屈服两种破坏形式，因而，强度理论也分为两类：一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论，其中有最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；另一类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论，其中有最大切应力理论和形状改变比能理论。
7.4.1第一强度理论——最大拉应力理论
该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大主拉应力。即在复杂应力状态下，只要材料内一点的最大主拉应力 达到单向拉伸断裂时横截面上的极限应力 ，材料发生断裂破坏。破坏条件为：
　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　
强度条件为：
　　&&　　　　　　　　　　　　　　　（10-1）
式中　　 ——单向拉伸时材料的许用应力： 。
　　试验表明，该理论主要适用于脆性材料在二向或三向受拉（例如铸铁、玻璃、石膏等）。对于存在有压应力的脆性材料，只要最大压应力值不超过最大拉应力值，也是正确的。
7.4.2第二强度理论—最大伸长线应变理论
　　该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大伸长线应变。即在复杂应力状态下，只要材料内一点的最大拉应变 达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极限值 时，材料就发生断裂破坏。由广义胡克定律可知
单向拉伸断裂时
于是破坏条件为
即：& && && && && && && && &
所以，强度条件为
& && && && && && && && && & （10.2）
　　此理论考虑了三个主应力的影响，形式上比第一强度理论完善，但用于工程上其可靠性很差，现在很少采用。
7.4.3第三强度理论—最大切应力理论
　　该理论认为材料屈服的主要因素是最大切应力。在复杂应力状态下，只要材料内一点处的最大切应力 达到单向拉伸屈服时切应力的屈服极限 ，材料就在该处发生塑性屈服。由11章可知：复杂应力状态下最大切应力为
单向拉伸时
破坏条件为
于是强度条件为
& && && && && && && && && & （10.3）
　　该理论对于单向拉伸和单向压缩的抗力大体相当的材料（如低碳钢）是适合的。
7.4.4第四强度理论—最大形状改变比能理论
　　该理论认为材料屈服的主要因素是该点的形状改变比能。在复杂应力状态下，材料内一点的形状改变比能 达到材料单向拉伸屈服时形状改变比能的极限值 ，材料就会发生塑性屈服。由11章可知
单向拉伸时：&&， 可得
破坏条件为
于是强度条件为
& && && && && &（10.4）
　　试验表明，对于塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果。
　　综合以上四个强度理论的强度条件，可以把它们写成如下的统一形式：
其中 称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为
对于梁来讲，
　　注意：
　　1、对以上四个强度理论的应用，一般说脆性材料如铸铁、混凝土等用第一和第二强度理论；对塑性材料如低碳钢用第三和第四强度理论。
　　2、脆性材料或塑性材料，在三向拉应力状态下，应该用第一强度理论；在三向压应力状态下，应该用第三强度理论或第四强度理论。
　　3、第三强度理论概念直观，计算简捷，计算结果偏于保守；第四强度理论着眼于形状改变比能，但其本质仍然是一种切应力理论。
　　4