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2012高考总复习物理课件23 静电现象 电容器及其电容
课时23 静电现象 电容器及其电容考点一 静电现象 ?基础梳理? 1．静电感应 现象：当把一个不带电的导体放入电场中时， 导体的两端分别感应出等量的正、负电荷， “近端”出现与施感电荷Q异号的感应电荷， “远端”出现与施感电荷Q同号的感应电 荷．性质：(1)导体两端感应电荷的电荷量q、q′， 始终相等，一般情况下都比施感电荷的电量 少，即|q|≤|Q|； (2)把导体接地时会有瞬间电流出现，始终是 远端电荷被中和或导入大地．2．静电平衡 导体放入电场中时，导体内的自由电荷(如金 属导体中的自由电子)在电场力的作用下产生 定向移动而重新分布，在导体表面出现感应 电荷，当感应电荷产生的附加电场与原电场 在导体内部大小相等而方向相反，使得叠加 场强为零时，自由电荷停止定向移动，导体 处于静电平衡状态．3．静电屏蔽定义：导体处于静电平衡，如果用金属网罩 (或金属壳)将一部分空间包围起来，在这一 包围空间以外的区域里，无论电场强弱如何、 方向如何，而被包围的空间内部电场强度必 然为零，因此金属网罩(或金属壳)对外电场 有屏蔽作用，这种现象称为静电屏蔽． 实质：外部电场使金属网罩或金属壳上的电 荷重新分布，形成感应电场(附加电场)，当4．静电现象 概念：静电现象是一种常见的自然现象，例 如用塑料梳子梳头发时梳子会吸引头发，有 时还会听到响声；脱下尼龙衣服时有时也会 听到响声，而且在黑暗中还能够看到火花． 实质：静电一般是由于摩擦而产生的，当两 个物体相互摩擦时分别带上异号电荷，它们 之间就产生了电势差．电荷积累到一定数量， 电势差达到一定的数值时，带电体之间发生 放电现象，此时就可以看到火花、听到响声 了．?疑难详析? 1．静电现象的防止 静电会给人们带来麻烦和危害．如印刷工业 中纸张上的静电吸引空气中的尘埃和带颜色 的颗粒而使印刷质量下降、合成纤维以及制 药生产的过程中由于静电吸引空气中的尘埃 而使产品质量下降、带静电多的人从电视机 旁边走过时，会给电视的图像和声音带来干 扰；静电最大的危害是有可能因静电火花而 引起火灾和爆炸．如石油在管道中流动时、含有煤尘的空气在 风管中流动时、向油罐内灌油时都会因摩擦 而产生静电，一旦电荷积累过多达到相当高 的电压时(可以达到上千伏甚至上万伏)就会 发生放电引起爆炸，在手术台上就曾经出现 过静电火花使乙醚爆炸的事故． 防止静电的危害最可靠的办法是利用导线把 设备接地，避免电荷积累．例如大型油罐需 要有很多接地线、油罐车的尾部拖一根铁链 等；调节空气的湿度也是防止静电危害的有 效方法，湿度增大时电荷随时放出而无法积2．静电现象的利用 利用静电除尘来回收物资和水泥粉尘、利用 静电喷涂对汽车以及电气产品等进行高质量 的涂漆、利用静电分选对微观粒子进行辨别， 静电复印，静电摄影等．考点二 电容器及其电容 ?基础梳理? 1．电容器 概念：两个彼此绝缘而又相隔很近的导体， 都可以构成一个电容器． 功能：电容器的基本功能是能够储存电荷和 能量．使电容器带电的过程叫做充电(储存电 能)；使充电后的电容器失去电荷的过程叫做 放电(放出电能)．参数：电容、额定电压、击穿电压(额定电压 是电容器长期工作所能够承受的电压，电容 器的击穿电压是电容器所能够允许的极限电 压，额定电压低于极限电压)． 分类：按电容能否变化分为固定电容器和可 变电容器；固定电容器有聚苯乙烯电容器和 电解电容器．平行板电容器是最简单、最基 本的电容器． 特例：平行板电容器的板间形成匀强电场(不 考虑边缘效应)，场强大小E＝U/d，方向垂 直于板面．2．电容器的电容 定义：电容器的带电量(一个极板所带电荷量 的绝对值)跟它的两板间的电势差的比值． 公式：C＝ ＝ 单位：法拉(F),1F＝1C/V,1F＝106μF,1μF＝ 106pF 特例：平行板电容器的电容，和介电常数成 正比，和正对面积成正比，和极板间的距离 成反比，C＝?疑难详析? 对电容器储存能量的理解 1．若把一个充电的电容器用导线短路，可 见放电火花(注意电容器在实际使用中，两个 极板不允许直接相连)，放电火花的能量必然 是充了电的电容器中储存的电能转化而 来．在电容器充电的过程中电源必然做功， 才能克服静电力把电荷从一个极板搬运到另 一个极板上．这时能量以电势能的形式储存 在电容器中，放电时把这部分能量释放出 来．在一定的电压下，电容器的电容C越大，2．电容大小由电容器本身的介质特性与几 何尺寸决定，与电容器是否带电、带电量的 多少、板间电势差的多少等均无关．
2．关于电容器的题目，常见的有两类典型 问题：(1)电容器始终与电源相连时，两板间 的电势差等于电源的电动势．(2)电容器充电 后与电源断开时，通常认为其电荷量保持不 变．题型一 静电现象的有关解释[例1] 如图所示，使带电的金属球靠近不带 电的验电器，验电器的箔片张开．下列各图 表示验电器上感应电荷的分布情况，正确的[解析] 本题以高中教材经常涉及的验电器 为切入点，通过和带电体靠近这一物理过程 考查了静电感应现象．验电器处在带电金属 球的电场中，验电器本身不带电，验电器的 小金属球为该电场中靠近施感电荷的“近 端”，所以感应出与施感电荷异号的电荷， 验电器的箔片(为“远端”)感应出与施感电 荷同号的电荷，且验电器小金属球和箔片上 的感应电荷量相等，验电器整体仍然不带电， 当感应电荷的电场与施感电荷的电场在验电 器内合场强为零时，自由电子停止定向移动， 达到静电平衡状态．根据以上分析，正确选题后反思：处理该题时注意联系区别带电体 和验电器接触时的静电现象，两者有明显区 别：前者是感应起电，后者是接触起电．如 果带电体和验电器的小金属球接触后位置如 左图中B图所示，则由于同种电荷相斥，验 电器的小金属球上不会带电，箔片会带有负 电，此时验电器的净电荷即为负电荷．如图1所示，不带电的枕形导体的A，B两端各 贴有一对金箔．当枕形导体的A端靠近一个带 电导体C时 ( )图1A．A端金箔张开，B端金箔闭合 B．用手触摸枕形导体时，A端金箔仍张开， B端金箔闭合 C．用手触摸枕形导体后，将手和导体C都移 走，两端金箔均张开 D．选项A中两端金箔分别带异种电荷，选 项C中两端金箔带同种电荷解析：根据静电感应现象，将带正电的导体 C放在枕形导体的附近，在A端出现了负电荷， 在B端出现了正电荷，这并不是因为导体中 有了新的电荷，而是由于电荷的重新分布， 选项A错误． 用手摸枕形导体时，B端不是最远端，人是 导体，人的脚部甚至地球是最远端，这样B 端就不再有电荷，金箔会闭合．选项B正 确．题型二 电容器相关物理量的变化问题图2[例2] 如图2所示，电源的电动势为U，电路 中的开关为K，平行板电容器的板间距离为d， 正对面积为S，介电常数为ε，电容为C.求： (1)K未闭合前，平行板电容器的电容、电势 差、电荷量、内部电场强度分别为多大？ (2)K闭合后，平行板电容器的电容、电势差、 电荷量、内部电场强度分别为多大？ (3)K闭合后又断开时，平行板电容器的电容、 电势差、电荷量、内部电场强度分别为多大？(4)保持K始终闭合，使平行板电容器板间距 离由d变成2d，平行板电容器的电容、电势 差、电荷量、内部电场强度分别为多大？ (5)保持K闭合后断开，使平行板电容器板间 距离由d变成2d，平行板电容器的电容、电 势差、电荷量、内部电场强度分别为多大？[解析] (1)K未闭合前，电容器还没有充电， 此时电势差、电荷量、内部电场强度皆为零， 但是电容是由电容器本身的性质决定的，故 仍为C. (2)K闭合后，电容器被充电，依据题意可知， 电容器的电压为U；依据电场强度与电势差 的关系可得：电场强度E＝ ；依据C＝ 可得：Q＝CU. (3)K闭合后又断开，并没有其它变化，则U、 E、Q、C都不会变化，答案与(2)中相同．
[答案] 见解析
图3 两块大小、形状完全相同的金属平板平行放 置，构成一平行板电容器，与它相连接的电 路如图3所示．接通开关K，电源即给电容器A．保持K接通，减小两极板间的距离，则 两极板间电场的电场强度减小 B．保持K接通，在两极板间插入一块介质， 则极板上的电荷量增大 C．断开K，减小两极板间的距离，则两极板 间的电势差减小 D．断开K，在两极板间插入一块介质，则 两极板间的电势差增大解析：场强E＝ ，保持U不变(K接通)，减小 d，E增大，故A错．插入介质后，C增大， 据Q＝CU可知极板上的电荷量增大，故B项 正确．当K断开时，极板电荷量(Q)不变，减 小板间距离，则C增大，据U＝ 可知U减小， 故C项正确．断开K时，Q不变，在两极板间 插入介质，则C增大，则据U＝ 可知U减小， 故D项错． 答案：BC题型三 带电粒子在电容器中的运动问题 [例3] 下述为一个观察带电粒子在平行板电 容器板间电场中的运动状况的实验．现进行 下述操作：图4第一步，给如图4所示真空中水平放置的平 行板电容器充电，让A、B两极板带上一定的 电量，使得一个带电油滴P在两板间的匀强 电场中恰能保持静止状态． 第二步，给电容器继续充电使其电量突然增 加ΔQ1，让油滴开始竖直向上运动t秒． 第三步，在上一步基础上使电容器突然放电 ΔQ2，观察到又经2t秒后，油滴刚好回到原 出发点．设油滴在运动过程中未与极板接 触．求ΔQ1和ΔQ2的比值．[解析] 设油滴质量为m，带电量为q，电容 器板间距离为d，电容量为C.在第一步过程 中，设电容器的充电量为Q，板间电压为U0， 场强为E0.受力情况如图5(1)所示．图5
题后反思：综观近几年高考对电场部分考查， 特别是新课标实施的广东、海南、山东等省 份，总体印象是：回归经典、突出双基、关 注发展，试题既保持了良好的连续性和稳定 性，又体现出命题的创新性和灵活性．新高 考的选拔愈来愈注重考查考生的能力和素质， 所以高考命题愈加明显地渗透着物理思想、 物理方法的考查，上述样题就是通过对电场 中的带电粒子多运动过程的考查，间接考查 了同学们综合分析问题的能力．解决这类问题的关键是要掌握基本运动的特 点．中学物理常见的基本运动有匀速直线运 动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周 运动等，这些基本运动中的任何两种运动都 可以构成一个多运动过程问题，所以复习时 应加强此类型的训练，以提高分析和解决问 题的能力．2010?淮南一模)如图6所示，两块竖直放置的 平行金属板A、B，两板相距d，两板间电压为 U，一质量为m的带电小球从两板间的M点开 始以竖直向图6上的初速度v0运动，当它到达电场中的N点 时速度变为水平方向，大小变为2v0，求M、 N两点间的电势差和电场力对带电小球所做 的功(不计带电小球对金属板上电荷均匀分布 的影响，设重力加速度为g)．
1．(2009?福建高考)图7 如图7所示，平行板电容器与电动势为E的直 流电源(内阻不计)连接，下极板接地．一带 电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡 状态．现将平行板电容器的上极板竖直向上A．带电油滴将沿竖直方向向上运动 B．P点的电势将降低 C．带电油滴的电势能将减小 D．若电容器的电容减小，则极板带电量将 增大解析：本题考查平行板电容器的动态变化、 匀强电场的电势差与场强关系、物体的平衡 条件等物理规律及电容、电势和电势能等物 理概念；意在考查考生对基本规律和基本概 念的理解，以及综合分析、推理、判断的能 力．当平行板电容器的上极板竖直向上移动 一小段距离时，两极板之间的距离d增大， 由C＝ 可知，电容C减小，由于移动过 程中两极板与电源相连，两极板间的电压U场强E场减小时，P点到电势为零的负极板的 距离dP没变，由UP＝E场dP，P点的电势将降 低，故选项B正确；由油滴所受电场力方向 可知，油滴带负电，油滴在P点的电势能εP ＝－qUP，降低UP，－qUP的绝对值减小，则 油滴的电势能增大，故选项C错误；由电容 的定义式C＝ ，U不变C减小时，Q要减小， 故选项D错误． 答案：B2．(2008?广东高考)关于电容器的电容C、 电压U和所带电荷量Q之间的关系，以下说 法正确的是 ( ) A．C由U确定 B．C由Q确定 C．C一定时，Q与U成正比 D．C一定时，Q与U成反比 解析：由公式C＝ 知，C一定时，Q∝U， C正确，D错误，电容C是由电容器自身决定 的物理量，与Q和U无关 ，A、B错误．图8 3．(2008?宁夏高考)如图8所示，C为中间插 有电介质的电容器，a和b为其两极板，a板 接地；P和Q为两竖直放置的平行金属板，在 两极间用绝缘线悬挂一带电小球；P板与b板 用导线相连，Q板接地．开始时悬线静止在 竖直方向，在b板带电后，悬线偏转了角度α.A．缩小a、b间的距离 B．加大a、b间的距离 C．取出a、b两极板间的电介质 D．换一块形状大小相同、介电常数更大的 电介质解析：已知电容器C带电量不变，a、Q两极 均接地，电势为零，b、P两极电势相等．当 ab间距离缩小时，电容器C的电容变大，电 压U变小．即b、P两板电势减小，即P、Q间 电压减小，电场强度E减小，悬线偏角α减小， 所以A错误，B正确．取出a、b两极板间电介 质时，电容器C的电容变小，电压U变大，悬 线偏角α增大，所以C正确．当换一块电介常 数更大的电介质时，电容器C的电容变大， 电压U变小，悬线偏角α减小，所以D错误． 答案：BC4．(2008?全国Ⅱ高考)一平行板电容器的两 个极板水平放置，两极板间有一带电量不变 的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻 力的大小与其速率成正比．若两极板间电压 为零，经一段时间后，油滴以速率v匀速下 降；若两极板间的电压为U，经一段时间后， 油滴以速率v匀速上升．若两极板间电压为 －U，油滴做匀速运动时速度的大小、方向 将是 ( ) A．2v、向下 B．2v、向上 C．3v、向下 D．3v、向上解析：设电容器两板间距离为d，小油滴质 量为m、带电量为q，速度为v时所受空气阻 力为f＝kv，当两板间电压为零时，液滴在重 力作用下向下运动，速度为v时有mg＝kv； 当两板间电压为U时，液滴以v匀速上升，说 明所受电场力向上，有mg＋kv＝q ；当两 板间电压为－U时，即电容器上电压大小不 变而反向，液滴受电场力向下，液滴匀速向 下运动的速度为v′时，有mg＋q ＝kv′，综 上解得v′＝3v.速度方向向下，所以正确选项 为C.5．如图9甲所示，空中相距d＝5 cm的两块 平行金属板A、B与电源连接(图中未画出)， 其中B板接地(电势为零)，A板电势变化的规 律如图乙所示． 将一个质量m＝2.0×10－27 kg，电荷量q＝＋ 1.6 ×10－19 C的带电粒子从紧临B板处释放， 不计重力．求：(1)在t＝0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒 子加速度的大小； (2)若A板电势变化周期T＝1.0×10－5 s，在t ＝0时将带电粒子从紧临B板处无初速释放， 粒子到达A板时动量的大小； (3)A板电势变化频率多大时，在t＝ 到t＝ 时间内从紧临B板处无初速释放该带电粒子， 粒子不能到达A板．
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第八部分 静电场第一讲 基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。一、电场强度1、实验定律a、库仑定律内容；条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr）。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。b、电荷守恒定律c、叠加原理2、电场强度a、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。b、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E = k结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如——⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E =&，其中r和R的意义见图7-1。⑶均匀带电球壳内部：E内&= 0外部：E外&= k&，其中r指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R1&、外径R2），在壳体中（R1＜r＜R2）：E =&&，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E =&⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ二、电势1、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即U =&参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能。2、典型电场的电势a、点电荷以无穷远为参考点，U = kb、均匀带电球壳以无穷远为参考点，U外&= k&，U内&= k3、电势的叠加由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。4、电场力对电荷做功WAB&= q（UA&－&UB）= qUAB&三、静电场中的导体静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。四、电容1、电容器孤立导体电容器→一般电容器2、电容a、定义式&C =&b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容⑴平行板电容器&C =&&=&&，其中ε为绝对介电常数（真空中ε0&=&&，其它介质中ε=&），εr则为相对介电常数，εr&=&&。⑵柱形电容器：C =&⑶球形电容器：C =&3、电容器的连接a、串联&&=&+++&…&+b、并联&C = C1&+ C2&+ C3&+&…&+ Cn&4、电容器的能量用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E&，所以E =&q0U0&=&C&=&电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器&E总&=&E2&认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能&w =&E2&。而且，这以结论适用于非匀强电场。五、电介质的极化1、电介质的极化a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H2&、O2&、N2和CO2），后者则反之（如气态的H2O&、SO2和液态的水硝基笨）b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示。2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。第二讲 重要模型与专题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图7-5所示，在球壳内取一点P&，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2&，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为ΔE1&= kΔE2&= k为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ&，显然&=&ΔΩ&=&所以&ΔE1&= k&，ΔE2&= k&，即：ΔE1&=&ΔE2&，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元ΔS3和ΔS4&、ΔS5和ΔS6&…&激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS&，它在球心O点激发的场强大小为ΔE = k&，方向由P指向O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ&=&Σ&= 0&，最后的ΣE =&ΣEz&，所以先求ΔEz&=&ΔEcosθ= k&，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为ΔS′所以&ΣEz&=&ΣΔS′而&ΣΔS′=&πR2&【答案】E = kπσ&，方向垂直边界线所在的平面。〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为&kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣEx&…〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P ，设&= r1&，&= r2&，则大球激发的场强为E1&= k&=&kρπr1&，方向由O指向P“小球”激发的场强为E2&= k&=&kρπr2&，方向由P指向O′E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场。〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？〖解说〗上面解法的按部就班应用…〖答〗πkρq〔?〕。二、电势、电量与电场力的功【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，&= r&，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP&。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL&，它在P点形成的电势ΔU = k环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP&=&〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？〖答〗UP&=&&；结论不会改变。〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？〖解说〗（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5ΔU1&= k= k·= kσΔΩΔU2&= kσΔΩ它们代数叠加成 ΔU = ΔU1&+ ΔU2&= kσΔΩ而 r1&+ r2&= 2Rcosα所以 ΔU = 2RkσΔΩ所有面元形成电势的叠加&ΣU =&2RkσΣΔΩ注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——ΣU =&4πRkσ= k（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k&；（2）球心电势仍为k&，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2&，带有净电量+q&，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q&，外壁的电荷量为+Q+q&，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…【答案】Uo&= k&－&k&+ k&。〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB&，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有UO&= k&+ k&+ k&=&0QB应指B球壳上的净电荷量，故 QB&= 0所以 QA&= －q☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——UB&=&k&+ k〖答〗（1）QA&= －q ；（2）UB&= k(1－) 。【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB&。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。所以，取走ab前& 3U1&= UA& & & & & & & & &2U2&+ U1&= UB取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以& UA′= 2U1& & & & & & & & &UB′= U1&+ U2【答案】UA′=&UA&；UB′=&UA&+&UB&。〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1&、U2&、U3和U4&，则盒子中心点O的电势U等于多少？〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1&+ U2&+ U3&+ U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为U′= U1&+ U2&+ U3&+ U4&最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U =&&U′〖答〗U =&（U1&+ U2&+ U3&+ U4）。☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP&，试求Q点的电势UQ&。〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。考查P点，UP&= k&+ U半球面其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ&以上的两个关系已经足以解题了。〖答〗UQ&= k&－ UP&。【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L&，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系WAB&= q（UA&－&UB）= qUAB的基本应用。UO&= k&+ k&= 0UD&= k&+ k&=&－U∞&= 0再用功与电势的关系即可。【答案】（1）；（2）。&【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2&，质量分别为m1和m2&，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）【答】（1）k；（2）Ek1&=&k&，Ek2&=&k；（3）k&。〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1&、q2和q3&，两两相距为r12&、r23和r31&，则这个点电荷系统的静电势能是多少？〖解〗略。〖答〗k（++）。〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则动量关系 mv + 2m v′= 0能量关系 3k&= 2 k&+ k&+&mv2&+&2m解以上两式即可的v值。〖答〗v = q&。三、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S&，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1&，B板带尽电量+Q2&，且Q2＜Q1&，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ1&、σ2&、σ3和σ4&，显然（σ1&+ σ2）S = Q1&（σ3&+ σ4）S = Q2&A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1&?&σ2&?&σ3&?&σ4）= 0A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1&+&σ2&+&σ3&?&σ4）= 0解以上四式易得 σ1&=&σ4&=&& & & & & & & &σ2&= ?σ3&=&有了四个面的电荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如EⅡ&=2πk（σ1&+&σ2&?&σ3&?&σ4）= 2πk〕。最后，UAB&= EⅡd【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量，B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkd，A板电势高。〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）？如果在板间充满相对介电常数为εr的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？〔答：可以；以A为对象，外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F =&Q1Q2&，排斥力。〕【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器，极板面积为S&，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1&，介质部分电量为Q2&，显然有Q1&+ Q2&= Q两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有U1&= U2&即&&=&&，即&&=&解以上两式即可得Q1和Q2&。场强可以根据E =&关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k&、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2&，所以E2&= 4πk（σ&?&σ′）= 4πk（&?&）请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；②&E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。【答案】（1）真空部分的电量为Q&，介质部分的电量为Q&；（2）整个空间的场强均为&；（3）Q&。〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为εr的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。〖解〗略。〖答〗Q′=&Q 。四、电容器的相关计算【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1&，于是&+&&=&&解C′即可。第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程&+&&=&【答案】（1）C&；（2）C&。【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知C1&= C2&= C3&= C9&= 1μF&，C4&= C5&= C6&= C7&= 2μF&，C8&= C10&= 3μF&，试求A、B之间的等效电容。【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——Δ→Y型：Ca&=&& & & & & Cb&=&& & & & & Cc&=&Y→Δ型：C1&=&& & & & &C2&=&& & & & &C3&=&有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——【答】约2.23μF&。【物理情形2】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1&= 3.0V&，ε2&= 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao&、Ubo和Uco各为多少。【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。电量关系：++= 0电势关系：ε1&= Uao&+ Uob&= Uao&? Ubo&& & & & &&ε2&= Ubo&+ Uoc&= Ubo&? Uco&解以上三式即可。【答】Uao&= 3.5V&，Ubo&= 0.5V&，Uco&= ?4.0V&。【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总&= Ck&= C所以，从输入端算起，第k单元后的电压的经验公式为 Uk&=&再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足——电量关系：Q1′= Q3′& & & & & Q2′+ Q3′=&电势关系：+&&=&从以上三式解得 Q1′= Q3′=&&，Q2′=&&，这样系统的储能就可以用得出了。【答】（1）Ek&=&；（2）&。〖学员思考〗图7-23展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）☆第七部分完☆
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